Methoden der Skalierung

1. Annahme einer latenten (nicht empirisch beobachtbaren) Variablen "z" = Logit
   • z erzegt Ausprägungen der KV in Abhängigkeit der PVs
2. Erstellen der Wahrscheinlichkeitsfunktion (logistische Funktion p)
   • einsetzen von z in eine logstische Funktion 
   • Funktion gibt Wahrscheinlichkeitsaussage für y=1

z = ß₀ + ß₁x₁ + ... ß_kx_k + u_i

• ß = Regressionskoeffizienten, x = Variablen, a = Ausgangspunkt
• logarithmierung des Chancenverhältnis: y=1: (p(y=1)/p(y=0)
• Zusammenhang z und Eintrittswahrscheinlichkeit = logarithmisch
• Eigenschaften:
  • y_i = 1, wenn z_i > 0
  • y₀ = 0, wenn z_i ≤ 0
• werden noch Interaktionen mitbetrachtet: 
  • zusätzlich den Term ß₃x₁x₂ anhängen, um Wechselwirkungen zu beachten

p = 1/(1+e^-z) 

• e = eulersche Zahl (2,718)
• Einsetzen von z in die Funktion, um Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten
• Ergebnis: logistische Regressionsgleichung für Eintrittswahrscheinlichkeit (y = 1)
• Wertebereich von y: 0-1
• Funktion: s-förmiger Verlauf mit Wendepunkt um p = 0.05

1. Modellformulierung
2. Schätzung der logistischen Regressionsfunktion
3. Interpretation des Regressionskoeffizienten
4. Prüfung des Gesamtmodells
   1. LogLikelihood-Funktion
   2. Klassifikationsergebnisse
   3. Pseudo-R-Quadrat Statistiken
5. Prüfung auf Ausreißer
6. Prüfung der Merkmalsvariablen/Prädiktoren
   1. Likelihood-Quotienten Test
   2. Wald Statistik

• sachlogische Festlegung der relevanten Prädiktoren/UVs und mögliche Ausprägungen der KVs durch den Anwender
• Annahme eines Zusammenhangs zwischen PV und Eintrittswahrscheinlichkeit für Ergebnis y = 1

• Schätzung der Regressionsgewichte (ß) durch Maximum-Likelihood-Methode
  • Parameter werden so bestimmt, dass die Wahrscheinlichkeit, die beobachteten Daten zu erhalten, maximiert wird
  • durch iterativer Newton-Raphson Algorithmus
• Zuordnung: p_i > 0.5: y = 1; p_i ≤ 0.5: y = 0
• Logit-Transformation führt zu einer sigmoidalen Kurve, die die Trennung der beiden Gruppen verbessert 

• mit Regressionsschätzung lassen sich mit den erhobenen Daten die z-Werte für die Probanden erreichnen
• mit logistischer Funktion kann die personenbezogenen Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis y = 1 bestimmt werden

• Koeffizienteninterpretation nicht einfach
• Gründe:
  • Zusammenhang zwischen Prädiktor und Eintrittswahrscheinlihckeit ist indirekt und nicht linear
  • Regressionskoeffizienten sind untereinander nicht vergleichbar
  • geben nicht das globale Maß der Einflussstärke des Prädiktors an
• stattdessen: Koeffizienten geben nur Richtung des Einflusses an
  • Konstante (a): je größer, desto mehr nach links verschoben (Hochpunkt)
    • Konstante = y-Achsen Schnittpunkt
  • Regressionsgewicht (ß): je größer, desto steiler die Kurve
    • 0x: parallel zur x-Achse
    • negativ: Steigung verläuft anders herum (fällt)

• nicht die Eintrittswahrscheinlichkeit, sondern das Wahrscheinlichkeitsverhältnis (Chance/Odds) betrachten
  • Odds: p(y=1)/(1-p(y=1))
• Logarithmierung der Odds: Angabe, wie hoch die Gewichte sind 

• Einflussstärke der Prädiktoren über Effekt-Koeffizienten bestimmen
  • Odds, nachdem der Prädiktor um eine Einheit gestiegen ist/Odds vorher
  • steigt ein Prädiktor i um eine Einheit, verändert sich die Chance von y = 1 um Faktor e^{bj (=Regressionskoeffizient)}
• Odds Ratio kann zwischen 0 bis + unendlich gehen

• Odds Ratio:
  • = 1: kein Unterschied, ob Prädiktor steigt/nicht steigt
  • = 2: Anstieg der PV um eine Einheit führt zu Erhöhung der Odds, dass das Ereignis eintritt auf 2
    d.h. ist zweimal so groß (um 100% erhöht)
  • = 1.05: Anstieg auf 1.05, d.h. um 5%
  • = 0.8: Anstieg sinkt auf 0.8, d.h. 80% so groß wie vorher

• z.B. Präferenz für Parteien (= multinominal)
  • Bilden einer Referenzkategorie und dann dichotom vergleichen
• Odds Ratio gibt Chancenverhältnis zur Referenzgruppe an
• z.B.: CDU als Referenzgruppe, vgl. mit SPD und Linke
  • = 1.12: für SPD Wähler im Vergleich zu CDU Wählern steigen Odds, dass Ereignis eintritt auf 1.12, als um 12% erhöht
  • = 0.06: für Linke Wähler im Vergleich zu CDU Wähler sinkt Odds, dass Ereigniss eintritt auf 0.6, d.h. auf 60% des vorherigen Wertes

1. LogLikelihood Funktion
   • bestehendes Modell vs. Nullmodell
2. Klassifikationsergebnisse
   • Inwieweit können Prädiktoren das Kriterium korrekt vorhersagen?
   • Trefferquote
   • Hosmer-Lemeshow-Test (Goodness of Fit)
3. Pseudo-R-Quadrat Statistik
   • Wie viel Varianz kann durch Regressionsmodell aufgeklärt werden?
   • McFaddens R²
   • Cox and Snell R²
   • Nagelkerke R²

• bestehendes Modell vs. Nullmodell
  • Modell, dass Einfluss aller Prädiktoren auf 0 setzt
• H0: alle Regressionskoeffizienten = 0
• Ziel: möglichst große Differenz zum Nullmodell
• Tabelle:
  • Omnibus-Tests der Modellkoffizienzen
  • signifikant: logistisches Modell = signifikant

• Wie gut können Prädiktoren das Kriterium korrekt vorhersagen (bei = 50% nicht besser als Zufall)
  • hier betrachten des Baseline-Modells
  • Verbesserung der Klassifikation muss im Vgl. zur Basisverteilung betrachtet werden

• Tabelle: "Klassifizierungstabelle"
• Prozentsatz der richtigen Zuordnungen 
• Block 0: Anfangsklassifizierung, d.h. zufällig richtige Klassifikationen
• Trennwert: ab diesem Wert wird y=1 angenommen (darunter: x=1)
• Sensitivität: Person mit dem Merkmal wird korrekt als solche klassifiziert
• Spezifität: Person ohne Merkmal wird korrekt klassifiziert

• Goodness of Fit
• Anpassungsgüte des Modells: signifikantes Ergebnis = schlechte Anpassungsgüte
• H0: Differenz zwischen vorhergesagten und beobachteten Zuordnungen = 0

• Wie viel Varianz kann durch das Regressionsmoell aufgeklärt werden?
  • Aussage, inwieweit Modell mit den Prädiktoren bessere Vorhersagen trifft als das Nullmodell (Klassifizierungstabelle, Block 0)
• McFaddens-R²
  • relatives Gütemaß
  • Verbesserung des Modells gegenüber Nullmodell
  • Wertebereich: 0-1
  • akzeptabel: > 0.2, gut >0.4
• Cox and Snell R²
  • Vergleich des Vollständigen mit dem Nullmodell
  • Maximalwert von 1 kann nicht erreicht werden
  • akzeptabel: > 0.2, gut >0.4
• Nagelkerke-R²
  • setzt vollständiges mit Nullmodell in Beziehung
  • besser als Cox, (Varianzaufklärung kann 1 erreichen)
  • akzeptabel: > 0.2, gut >0.4

• Individuelle Residuen (für Person k) geben Aufschluss
• Abweichungen > .5: verzerrende Einflüsse sind wahrscheinlich
• bessere Erkennung durch Gewichte der Residuen
  • z.B. standardisierte Residuen (ZResid)

• Bestimmung der Trennfähigkeit einzelner Prädiktoren
• Welche Faktoren tragen signifikant zur Klassifikationsleistung des Modells bei 
  • Tabelle: Variablen in der Gleichung
• Methoden
  1. Likelihood Quotienten Test
  2. Wald Statistik

• Vergleicht vollständiges Modell mit reduzierten Modellen (jeweils ein Regressionskoeffizient wird auf 0 gesetzt)
• Testet H0, dass Regressionskoeffizient b_j = 0
• Differenz zwischen dem vollständigen und dem reduzierten Modellen = Testgröße

• Prüfung der Signifikanz einzelner Koeffizienzen
• Testet H0, dass Regressionskoeffizienten b_j = 0
• Testgröße (W): setzt Regressionskoeffizienzen zu dessen Standardfehler in Beziehung
• nur interpretieren, wenn signifikant

• statistische Verfahren setzen Unabhängigkeit der Daten und Residuen voraus
  • oft verletzt 
  • kontextuelle Variablen erhöhen die Dependenz zwischen Residuen
• Nutzung von MEM
  • wenn mehrere Ebenen angenommen werden können
  • wenn es Abhängigkeiten auf höherer Ebene gibt

y_i = b₀+b₁x_1i+r_i

• b_o = Intercept, Regressionskonstante (vorhergesagter Wert von y, wenn PV = 0)
• b₁x_1i = Slope, Regressionskoeffizient (Veränderung in y, wenn PV x₁ um eine Einheit erhöht wird)
• r_i = Residual (individuelle Abweichung beobachteter Wert vom vorhergesagten Wert)
• Variationen sind in intercept, slope und im Zusammenhang zu finden
  • Fehlinterpretationen, wenn nur auf individueller Ebene interpretiert wird, obwohl es Abhängigkeiten auf höherer Ebene gibt

• Level 1:
  • Mitarbeitende
  • Schülerinnen
  • Lehrkräfte
  • Familien
  • Patienten
  • Messzeitpunkte
  • experimentelle Bedingungen
• Level 2
  • Firma
  • Klassen
  • Schule
  • Nachbarschaften
  • Ärzte
  • Probanden

• Art von linearen Regressionen
• werden bei hierarchischen (geschachtelten/genesteten) Daten eingesetzt
• Ziel: Abhängigkeit von Residuen berücksichtigen

• Intraclass Correlation Coeffizient (ICC)
  • Systemische Level 2 Unterschiede
    Wie ähnlich sind sich zwei Werte aus der gleichen Level-2 Einheit?
  • Berechnung, indem Varianz auf Level 2 ins Verhältnis zur Gesamtvarianz gesetzt wird
  • >.1 = mittlere Intraclass Correlation
    >.2 = hohe Intraclass Correlation

1. intervallskalierte KV/AV
2. Linearität von Zusammenhängen
3. NV der Residuen
4. Unabhängigkeit  (wichtige Einflussfaktoren mit aufnehmen)
5. Outlier anschauen und ggf. eliminieren
6. keine Multikollinearität (sonst zentrieren)
7. Stichprobengröße (mind. 20 Ausprägungen der Level 2 Variablen bei Interaktionen zwischen Levels)

1. weniger Anforderungen
   1. Abhängigkeit durch höhere Level kann modelliert werden
   2. Sphärizität kann modelliert werden
2. Missing Data kein Problem
   1. Drop-Out, ungleiche Zellbesetzung
   2. Parameter in MEM auf Basis verfügbarer Daten geschätzt 
3. sehr flexibel und mächtig
   1. PV egal welches Skalenniveau
   2. Interaktionen egal welches Skalenniveau

• Fixed: alle relevanten Bedingungen sind im Experiment
  • Generalisierung geht nicht über getestete Bedingungen hinaus
• Random: Bedingungen des Experiments nur Auswahl
  • Generalisierung

• Fixed Coefficients: intercept und slope für alle VP gleich (= Level 1 Daten)
• Random: Koeffizienten variieren je nach Level 2 Kontext
  • random intercept: Ausgangspunkte unterscheiden sich je nach Level 2 Gruppe (PV = 0)
  • random slope: Stärke des Zusammenhangs PV mit KV ist je nach Level 2 Gruppe unterschiedlich

• Intercept = Ausgangspunkte zwischen Gruppen (Level 2)
  • bsp.: Einfluss auf alle Gruppen gleich, aber grundsätzliche Ausprägung ist verschieden

• Slopes = Stärke des Zusammenhangs zwischen PV und KV unterscheidet sich zwischen Gruppen
  • gleicher grundsätzlicher Ausgangspunkt, aber Einfluss ist unterschiedlich

• Intercepts und Slopes unterscheiden sich zwischen Gruppen
• MEM schätzen die Regressionsparameter und deren Variabilität