Methoden der Skalierung

1. Backhaus:
   1. Anzahl Fälle ≥ Anzahl Variablen
      Anzahl Fälle ≥ 3* Anzahl Variablen
2. Nunally: 10-15 Fälle pro Variable
3. Tabachnik & Fidell: mind. 300 Fälle
4. Comrey & Lee: 
   1. 100 = armselig
   2. 300 = gut
   3. 1000 = exzellent
5. Guadagnoli und Velicer 
   1. Abhängigkeit der Faktorladungsgröße
   2. Faktoren ≥ 4 Ladungen, die > .6 sind: Stichprobengröße egal
   3. Faktoren mit ≥ 10 Ladungen mit > .4: mind. 150 Fälle
   4. wenige, geringe Ladungen: mind. 300 Fälle
6. MacCallum:
   1. Kommunalitäten
   2. alle Kommunalitäten > 0.6: < 100 
   3. Komunalitäten ± 0.5: 100-200 Fälle
   4. Kommunalitäten < 0.5 und viele Faktoren: > 500 Fälle

• Personen/Objekte in Zeilen, Merkmale in Spalten
• Ziel: Gruppierung der Merkmale (= Variablen)
  • Frage: Welche Merkmale sind sich ähnlich?
• Über die VP hinweg Mittelwerte bilden und so eine Objekt x Merkmale - Matrix erstellen

• Zusammenhänge der Variablen in der Korrelationsmatrix erkennbar
• Prüfkriterien basieren auf Korrekationsmatrix
  1. Korrelationskoeffizienzen
  2. Bartlett-Test/Test of Sphericity
  3. Kaiser-Meyer-Olkin-Kriterium (KMO)
• wichtig: betrachten von mehr als einem Prüfkriterium

• Wertebereich: -1 bis 1
• nicht nur kleine Korrelationen (r < .2)
• nicht zu viele große Korrelationen (r > .8), sonst Konglomerat
• Lösung: Variablen eliminieren

• H0: Korrelationsmatrix weicht nur zufällig von der Einheitsmatrix ab
  • Stichprobe stammt aus Grundgesamtheit, wo Variablen unkorreliert sind
  • signifikant = es gibt Korrelationen zwischen den Ausgangsvariablen
• Voraussetzng: Normalverteilung der Variablen
• p-Wert < 0.05

• Zeigt Umfang der Varianz an, den die Variablen teilen
• Wertebereich: 0-1
• KMO ≥ 0.9 = erstaunlich
• KMO ≥ 0.8 = verdienstvoll
• ...
• KMO ≥ 0.5 = kläglich
• KMO < 0.5 = untragbar

• Beobachtete Werte der Personen/Objekte in den Variablen lassen sich als lineare Kombinationen der dahinterliegenden Faktoren beschreiben
  • Annahme: additives Modell der Messwerte

• x_ik = a_i1p_1k + a_i2p_2k + ... + a_iqp_qk + (Rest)
  • mit k Personen, i Merkmalen, q Faktoren
  • Beobachtungswert: x
• Gewichtung ist abhängig von:
  • Wie hoch Merkmale mit entsprechenden Faktoren korreliert sind (a) = Faktorladung
  • WIe hoch Faktoren bei Objekt/Person ausgeprägt sind (p) = Faktowert

• a_iq = Korrelation Faktor und Variable
  • wie viel hat Merkmal/Item mit Faktor zu tun?

• p_qk = Ausprägung des Faktors bei einem Objekt/Person k
• Die Faktorwerte eines Objekts/Person sind die lineare Kombination der Variablenausprägung dieser Person/Objekt
  • p_k1 = a₁x_1i + a₂x_2i + ... + (Rest)
  • Wert von Person (p) auf allen Merkmalen (i), gewichtet durch Ladungen der Merkmale auf Faktor (a)

• Korrelationen als Vektoren
  • Korrelationskoeffizienzen = Winkel zwischen Variablenvektoren (standardisierte Länge = 1)
• Korrelation = Cos des Winkels zweier Vektoren
  • Cos(60°) = AD/AC = AD/1 = 0.5
  • Winkel: 90° = Cos/r = 0
  • Winkel: 0° = Cos/r = 1

• Faktor = Resultante (Schwerpunkt) der Variablenvektoren
• Cos des Winkels zwischen Resultante und Vektor = Faktorladung

1. Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis)
2. Faktorenanalyse (Hauptachsenanalyse, Principal Axis Factoring)

• Ziel:
  • Reproduktion der Datenstruktur durch möglichst wenige Faktoren (Sammelbegriff)
  • Daten gruppieren
• Merkmale:
  • kausal zugrundeliegende Strukturen sind egal
  • keine Generalisierung der Befunde
• Annahme: gesamte Varianz der Ausgangsvariablen werden von Fatoren erklärt

• Ziel:
  • Erklärung der Varianz in Ausgangsvariablen durch hypothetische Größen 
    Faktoren = latente Variablen
  • Wie lässt sich Ursache für die Ladungend der Variablen auf diesem Faktor bezeichnen?
• Merkmale
  • Korrelationen kausal interpretieren
  • Generalisierung auf Grundgesamtheit
• Annahmen:
  • es gibt Einzelrestvarianz in Ausgangsvariablen
  • gesamte Varianz wird nicht durch Faktoren erklärt

• Umfang an Varianzaufklärung, den die Faktoren gemeinsam für eine Ausgangsvariable liefern
  • nicht gesamte Varianz wird durch Faktoren bedingt: Fundamentaltheorem + Rest

Gemeinsame Varianz (Kommunalität = durch Faktoren erklärt) + Spezifische Varianz (unique Varianz der Variablen, unabhängig von Faktoren) + Fehler-/Zufallsvarianz

• Kommunalität = 1
• Annahme, die Varianz wird komplett durch die Extraktion von Faktoren erklärt
• es gibt keine spezifische Varianz

• Kommunalität < 1
• Annahme, dass Varianz der Ausgangsvariablen aus Kommunalität und spezifischer Varianz besteht

Schätzung der Ausgangskommunalitäten ist unmittelbar mit Methode der Faktorenermittlung gekoppelt!

• quadrierten multiplen Regressionskoeffizient R² 
• Hinweise, welche Variablen ausgeschlossen werden sollten: niedrige Werte 
  • dann Items entfernen und erneute FA durchführen

1. Eigenwert (Repräsentation der Variable durch einen Faktor)
2. Kommunalität (Repräsentation der Ausgangsvariablen durch Faktoren)
3. Faktorladung (Korrelation Variable - Faktor)

• Summe der quadrierten Faktorladungen eines Faktors über alle Variablen
  • durch Faktor erklärte Varianz der Beobachtungswerte
  • Wie gut repräsentiert der Faktor die Variablen
• > 1: erklärt mehr als eine Variable (Ziel)

1. Kaiser-Kriterium
   • Faktorenzahl mit Eigenwert > 1
2. Scree-Kriterium
   • "Geröll"
   • Anordnung der Eigenwerte in einem KOOS 
   • an Stelle, an der Differenz von zwei Eigenwerten am größten ist, entsteht "Knick"
   • Faktor links vom Knick ist der letzte, der extrahiert wird
3. Parallelanalyse nach Horn
   • Faktoren, deren Eigenwerte > als 95%-Perzentiel der Eigenwerte von unkorrelierten normalverteilten ZUfallsvariablen (gleiche Anzahl von Variablen und Beobachtungen wie im Datensatz)

meist alle drei Überlegungen berichtet!

• am besten, wenn "Einfachstruktur" vorliegt
  • Variablen laden auf einen Faktor hoch und auf anderem niedrig
  • wenn Struktur nicht vorliegt: extrahierte Faktoren rotieren
  • daraus entsteht Verschiebung der Ladungen mit dem Ziel eine Einfachstruktur zu erhalten

1. Orthogonale/rechtwinklige Rotation
   • Annahme, Faktoren sind unabhängig voneinander
   • bspw. Big 5 bei Persönlichkeit
   • rotierte Faktormatrix gibt Ladungen an
2. Oblique/schiefwinklige Rotation
   • Annahme, dass Faktoren miteinander korreliert sein können
   • Mustermatrix gibt Ladungen an

• Interpretationen = subjektiv
• Variablen eliminieren, wenn:
  1. Variable auf keinem Faktor Ladung > 0.2/0.3
  2. Variable auf mehreren Faktoren ähnlich hohe Ladung besitzt
• nach eliminieren neue FA berechnen

• Ziel: Einschätzung der beurteilten Personen/Objekte bzgl. der extrahierten Faktoren
• Faktorwert = Ausprägung eines Faktors bei einer Person/Objekt
  • lineare Kombinationen der z-standardisierten Ausgangswerte (Werte auf Ausgangsvariablen) und der Ladung der Ausgangsvariablen auf den jeweiligen Faktoren
• bei Interpretation der Faktorwerte: Fälle immer im Vergleich zueinander betrachten!
• Faktorwerte gut im Streudiagramm darstellbar

• bisher nur exploratives Vorgehen
• nun konfirmatorische FA (basiert auf Strukturgleichungsmodell), sollte an neuer Stichprobe reproduziert werden
• Re-Test Reliabilität (gleiche Stichprobe)
• Auswahl weiterer, für Faktoren typische Objekte/Personen

• Korrelationen, wenn der Einfluss aller anderen Variablen herauspartialisiert wurde
• Diagonale bildet KMO
• Teilung der Varianz einer Variablen in "Image" und "Anti-Image"
  • Image: durch ander Variablen aufklärbarer Varianzanteil
  • Anti-Image: Teil der Variablenvarianz der unabhängig von übrigen Variablen ist
• Anti-Image = möglichst gering (möglichst keine von den anderen Variablen komplett unabhängige Variable)
  -> Werte außerhalb der Diagoalen nahe 0

• strukturprüfendes Verfahren
• nominale/ordinale AV, oft dichotom
• erzeugt b-Gewichte/Koeffizienten, die genutzt werden, um den Logit zu berechnen
• Logit = natürlicher Logarithmus der Odds/Chance für das Eintreten eines Ereignisses
• Ziel: wie gut wird mithilfe der UV die Gruppenzugehörigkeit vorhergesagt
  • Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeit

• t-Test: zwei Gruppen, eine AV
  • unterscheiden sich Gruppen in Mittelwerten
• log Reg: Gruppen als AV
  • Vorhersage der Gruppenzugehörigkeit durch UV
  • UV = nominal, ordinal, metrisch

1. Zusammenhang identifizieren
2. Prädiktoren identifizieren 
3. Einflussstärke der Prädiktoren auf AV
4. Vorhersage der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Merkmalsausprägung für eine spezielle Person

1. Wodurch wird das Eintreten eines Ereignisses/Zustands bei einem Untersuchungsobjekt beeinflusst?
2. Gewichtungsfunktion, die angibt, welche Prädiktoren das Kriterium wie stark in welche Richtung beeinflussen
3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergeignisses/Zustands bei einem bestimmten Untersuchungsobjekt, wenn man dessen Ausprägungen bei den Prädiktoren kennt?

1. Skalenniveau
   • UV: kategorial/metrisch
   • AV: kategorial
     • dichotom = binär logistische Regression
     • multinominal = multinominale logistische Regression
2. keine Multikollinearität
   • Toleranz: 1-R² > 0.1/0.2
     (1- geteilte Varianz)
   • Korrelationen im Output nicht > 0.8
3. Unabhängigkeit der Beobachtungen
4. keine Ausreißer
5. Linearität zwischen kontinuierlichen UVs und der Logit Transformation der AV
6. Fallzahl
7. alle relevanten Prädiktoren sind enthalten

• Cooks Distanz:
  • Ordnen der neu erstellten Variablen nach Größe 
  • Ausreißer ab ca. 1