Analysis I & II UniBas Basel

Eine Folge von Funktionen \(f_n: D \to \mathbb{R} \) mit \(n \in N\) heisst punktweise konvergent auf \(D \) gegen \(f: D \to \mathbb{R}\) falls gilt: Für jedes \( x \in D\) und jedes \(\varepsilon > 0\) existiert \(N = N(x,\varepsilon) \in \mathbb{N}\) , so dass:

\(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) für alle \(n \geq N\)

In anderen worten gilt

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\) für jedes \(x \in D\)

Veranschaulichung:

Wenn man jeden punkt einzeln anschaut dann konvergiert dierser punkt gegen einen wert.

Eine Funktionenfolge \(f_n: D \to \mathbb{R} \) heisst gleichmässig konvergent auf \(D\) gegen \(f: D \to \mathbb{R}\) , falls für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}\) existiert, so dass:

\(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\) für alle \(n \geq N\) und \(x \in D\).

Bemerkungen:

• N hängt nur von \(\varepsilon\) ab, nicht aber von \(x\)
• Es gilt \(f_n \to f\) gleichmässig \(\quad \Longrightarrow \quad\)\(f_n \to f\) punktweise

Veranschaulichung:

Es existiert ein "Epsilon-Schlauch" um f. Es existiert ein N für welches alle n>N f_n in diesem Epsilon schlauch liegen.

Betrachte die Funktionenfolge \(f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ für } n = 1,2,3,...\) mit

\(f_n(x) = \frac{1}{n}x^2\)

Stetig

Sei \(f: I \to \mathbb{R}\) eine (n+1) mal stetig differenzierbare Funktion und \(a \in I\). Dann gilt für alle \(x \in I:\)

\(\displaystyle f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a) ^{n} + R_{n+1}(x)\)

Diese Formel approximiert eine Funktion um den Entwicklungspunkt \(a\).

Wenn \(|x-a|\) genügend klein, der rest geht schneller als linear gegen null.

Andere Darstellung:

\(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \varphi(x) (x-a)^n\)
wobei \(\displaystyle \lim_{x\to a} \varphi (x) = 0\)

Die Tailor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt a:

\(\displaystyle T[f,a](x) := \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)

Die Partialsummen \(T_n[f,a]\) sind analog mit der summe von \(k=0\) bis \(n\).

Verwendung: Approximation einer komplexen funktion durch eine einfachere funktion.

Eine Metrik ist eine Abbildung \(d: X \times X \to \mathbb{R}_{\geq 0}\) mit den folgenden Eingenschaften

• Definitheit: \(\quad d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y\)
• Symmetrie\(\quad d(x,y) = d(y,x)\)
• Dreiecksungleichung\(\quad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y, z)\)

Eine Menge \(X\) zusammen mit einer Metrik \(d\) heisst ein metrischer Raum \((X,d)\).

Euklidische Standartmetrik

\(\displaystyle d(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}\)

Manhattan Metrik

\(\displaystyle d(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|\)

Maximumsmetrik

\(d(x,y) = \max\{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|\}\)

Triviale Metrik

\(\displaystyle d(x,y) = \begin{cases}0 & ,x=y\\ 1 &, x\neq y\end{cases}\)

In einem metrische Raum \((X,d)\) ist ein offener Ball die Menge \(B_r(a) = \left\{ x \in X : d(a,x) < r \right\}\) aller Elemente von \(X\) welche einen Abstand (\(d(a,x)\)) von weniger als \(r\) haben.

In einem metrischen Raum \((X,d)\) heisst die Teilmenge \(U \subset X\) eine Umgebung eines Punktes \(x\) falls ein \(\varepsilon > 0\) existiert mit \(B_{\varepsilon}(x) \subset U\).

Es lässt sich ein offener Ball finden der vollständig in U liegt.

Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum.
Sei \(x,y \in X\) zwei punkte mit \(x \neq y\).

Es existieren umgebungen \(U\) von \(x\) und \(V\) von \(y\) die disjunkt sind: \(U \cap V = \emptyset\).

Beweis: Umgebung um x: ball mit radium \(d(x,y)/3\), offenbar überschneiden sich die bälle nicht.

In einem metrischen raum (X,d) nennen wir eine Teilmenge \(U \subset X\) offen falls U umgebung für jeden ihrer Punkte ist.

Das hesiist für jeden punkt \(x \in U\) gibt es ein \(\varepsilon > 0\) so dass \(B_{\varepsilon}(x) \subset U\).

(X,d) ist ein metrischer Raum, es gilt:

• \(X\) und \(\emptyset\) sind offen
• \(U,V \subset X\) offen \(\quad \Rightarrow \quad U\cap V \) offen
• Alle mengen \(U_i\) offen ⇒ dann ist auch \(\displaystyle \bigcup_{i} U_i\) offen.

Bemerkungen:

• X ist offen (jedes \(\varepsilon\) führt zu einem offenen ball welcher in X ist.)
• \(\emptyset\) ist offen (enthält keine punkte, bedingung trifft also zu)
• Offene bälle sind offene mengen
• Offene Intervalle zb \((a,b)\) sind offene Teilmengen (mit der Standardmetrik)

In einem metrischen Raum \((X,d)\) heisst eine Menge \(A\) abgeschlossen wenn ihr komplement \(A^c = X \setminus A\) offen ist.

Eigenschaften:

• \(X\) und \(\emptyset\) sind abgeschlossen
• \(A,B \subset X\) abgeschlossen \(\quad \Rightarrow A \cup B \) abgeschlossen
• \(A_i \) ist eine famile abgeschlossener Teilmengen in X, dann ist der Durchschnitt \(\displaystyle \bigcap_i A_i\) abgeschlossen

• Da offene Mengen offen sind, sind ihre Komplemente stets abgeschlossen.
• Sog. halboffene Intervalle \([a, b) \in \mathbb{R}\) sind weder offen noch abgeschlossen

In einem metrischen Raum \((X,d)\) heisst ein punkt \(p \in X\) randpunkt von einer Menge \(Y \subset X\) wenn git:

in jeder umgebung von \(x\) git \(U \cap Y \neq \emptyset\).

Das heisst in jeder umgebung von x sind sowol punkte in als auch ausserhalb der Menge Y enthalten, egal wie klein wir die Umgebung machen.

Die menge aller Randpunkte von \(Y\) bezeichnen wir mit \(\partial Y\).

Eigenschaften:

• \(Y \setminus \partial Y\) ist offen
• \(Y \cup \partial Y\) ist abgeschlossen
• \(\partial Y\) ist abgeschlossen

Weiteres:

• \(\partial \emptyset = \emptyset\)
• \(\partial \mathbb{Z} = \mathbb{Z}\)

Sei \(X\) eine Menge, eine Menge \(\mathcal{T}\) von Teilmengen von \(X\) heisst eine Topologie auf X falls golgende Eigenschaften gelten:

• \(\emptyset, X \in \mathcal{T}\)
• \(U,V \in \mathcal{T} \quad \Rightarrow \quad U \cap V \in \mathcal{T}\)
• \(\displaystyle U_i \in \mathcal{T} \quad \Rightarrow \quad \bigcup_{i} U_i \in \mathcal{T}\)

\(A \subset X \) ist eine Teilmenge, eine offene Überdeckung von \(A\) ist eine Familie offener Mengen \(U_i, \quad i \in I\) so dass

\(\displaystyle A \subset \bigcup_{i \in I} U_i\)

Das heisst. A wird von der Vereinigung der Mengen \(U_i\) komplett überdeckt.

Eine Teilmenge \(A \subset X \) heisst kompakt falls jede offene Überdeckung von \(A\) eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Das heisst es existieren endlich viele Indicies \(i_1, i_2, ... , i_n \in I\) so dass
\(A \subset U_{i_1} \cup ... \cup U_{i_n}\).

• Das offene Interval \(I = (0,1)\) ist nicht kompakt:
  • Offene überdeckung \(U_n = (\frac{1}{n},1)\) hat keine endliche Teilabdeckung
• Das abgeschlossene Intervall \(I = [a,b] \) ist kompakt

Eingenschaften:

• Endliche Teilmengen sind immer kompakt
• \(A \subset X \) kompakt ⇒ A beschränkt
• \(K \subset X\) kompakt
  • \(\Rightarrow K\) abgeschlossen
  • \(A\subset K \) abgeschlossen \(\Rightarrow A\) kompakt
• Jeder abgeschlossene Quader Kompakt
• (Heine Borel)

Im \(R^n\) gilt die Äquivalenz:

\(A \subset \mathbb{R}^n\) kompakt \(\quad \Longleftrightarrow \quad K \subset \mathbb{R}^n\) ist beschränkt und abgeschlossen

Beweis:

\(\Rightarrow\) gilt immer

\(\Leftarrow\):

\(K \subset \mathbb{R}^n\) beschränkt und abgeschlossen

Da K beschränkt, existiert ein ball der K überdeckt.

Es existiert also auch ein abgeschlossener Quader der den Ball überdeckt.

Abgeschlossene Teilmenge einer Kompakten menge ist auch Kompakt.

Für eine offene mengen würden wir nicht für jede überdeckung eine endliche Teilüberdeckung finden.

Wenn sie nicht beschränkt wäre, gäbe es nicht für jede überdeckung eine endliche Teilüberdeckung.

\(\displaystyle\text{grad} f(x) := \triangledown f(x) := \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\...\\\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}\)

Es gilt \(\displaystyle \frac{\partial^2f}{\partial x_1 \partial x_2} = \frac{\partial^2f}{\partial x_2 \partial x_1} \) wenn f zweimal stetig partiell differenzierbar.
 

\(\displaystyle \triangle f(x) := \text{div grad}f(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}(x)\)

Wenn \(\triangle f(x) = 0\) für alle x dann heisst \(f\) eine harmonische Funktion. Für n = 1 ist das gleichbedeutend mit \(f''(x) = 0\).

Eine funktion \(f:U \to \mathbb{R}^m\) mit \(U \subset \mathbb{R}^n \) offen heisst an der Stelle x total differenzierbar falls eine lineare Abbildung

\(A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) existiert so dass in einer umgebung von x gilt:

\(f(x+\xi) = f(x) + A\xi + \varphi(\xi)\)

Wobei \(\varphi(\xi)\) "schneller als linear" gegen null geht für \(\xi \to 0\).

A ist in diesem Fall die Jakobi matrix.

Oft wird ein Fehlerterm \(\varphi(\xi)\) verwendet der sehr schnell gegen 0 gehen soll für \(\xi \to 0\).

Dies kann formalisiert werden:

\(\displaystyle \lim_{\xi \to 0} \frac{\varphi(\xi)}{||\xi||} = 0\) Wobei \(||\xi|| = \sqrt{\xi_1^2 + ... \xi_n^2}\) die euklidische standart norm ist.

Erklärung:

Der limes geht gegen null. In einem Bruch ist das nur der fall wenn der zähler schneller kleiner wird als der nenner.
Der nenner geht linear gegen null ⇒ Der zähler geht "schneller als linear" gegen null.

\(\displaystyle(D f) (x) := J_f(x) := \frac{\partial(f1,..., f_m)}{\partial (x_1,...,x_n)}\)

Eine matrix, wobei jede zeile \(i\) der transponierte Gradient von \(f_i\) ist:

\(J_f := \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\\vdots&&\vdots\\\frac{\partial f_m}{\partial x_1}&...&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}\)

Qualitative Taylorsche Formel

\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+o(||\xi||^k)\)

Quantitative Taylorsche Formel

\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+\sum_{|\alpha|=k+1} \frac{D^\alpha f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^\alpha\)

Notwendige Bedingung:

\(\triangledown f(x) = 0\) : gradient ist 0, analog zu f'(x) = 0.

Hinreichendes Kriterium:

Notwendige bedingung ist erfüllt und Hesse matrix

• Positiv Definit => striktes lokales minimum
• negativ definit => striktes lokales maximum
• indefinit => kein lokales extremum

Sei \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) eine symmetrische reelle \(n \times n\) matrix (d.h. \(A = A^T\)) in der Form

\(A = \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&...& a_{nn} \end{pmatrix}\)

Dann ist A positiv definit genau dann wenn

\(det \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\a_{k1}&...& a_{kk} \end{pmatrix} > 0\) für alle \(k = 1, ..., n\)

Achtung: iterativ für alle k= 1,... prüfen!

\(H = \begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1} & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\\vdots&&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n}\end{pmatrix}\)

Ein normierter Vektorraum \((V, ||.||)\) heisst Banachraum falls:

\(V\) ist vollständig (jede Cauchy-Folge in V konvergiert).

• zB \(\mathbb{R}\) mit der euklidischen standardnorm

Sei \(A \subset V\) eine abgeschlossene, nicht-leere Teilmenge eines Banachraums \((V, ||.||)\). Die Abbildung \(\Phi : A \to A\) sei eine Kontraktion, d.h. es gibt eine Konstante \(0<\theta < 1\), so dass

\(|| \Phi (x) - \Phi(y)|| \leq \theta || x-y||\) für alle \(x,y \in A\).

Dann hat \(\Phi\) genau einen Fixpunkt. D.h. es existiert genau ein \(x_* \in A\) mit \(\Phi(x_*) = x_*\).

Ferner gilt für jeden Startwert \(x_0 \in A\) dass die Folge \(x_{k+1} := \Phi(x_k)\) gegen \(x_*\) konvergiert.

Beweis:

Eindeutigkeit: Nehme an \(x_1, x_2\) sind fixpunkte \(\Phi(x_1) = x_1, \Phi(x_2) = x_2\)=> \(||x_1 - x_2|| \leq \theta ||x_1 - x_2||\)

Daraus folgt \(|| x_1 - x_2 || = 0 \Rightarrow x_1 = x_2\)

Existenz:

\(|| x_{n+1} - x_n|| \leq \theta || x_n - x_{n-1}|| \leq ... \leq \theta^n||x_1 - x_0||\)

konvergiert gegen einen punkt für n -> unendlich

Wird gebraucht um fixpunkte zu finden. zB bei impliziten Funktionen.