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Eine folge (\(a_n\)) heisst Cauchy-Folge, falls gilt zu jedem \(\varepsilon > 0 \text{ gibt es } N \in \mathbb{N}\), so dass

\(|a_n - a_m| < \varepsilon\) für alle \(n, m > N\)

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge

• In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchy Folge (Vollständigkeitsaxiom)

Gegeben: Intervall \([a,b] = I\)
Länge: \(\mathit{diam}([a,b]) := b - a = |I|\)

Intervallschachtelungsprinzip:

Wenn für eine folge von intervallen gilt \(I_{n+1} \subset I_n\) und \(\lim_{n \to \infty} diam(I_n) = 0\)

Dann existiert genau eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \in I_n \text{ für alle } n \in \mathbb{N}\)

• Annahme \(r = \sqrt{2}\) ist rational.
• Dann ist \(r = p/q \text{ mit } p,q \in \mathbb{Z}\)
• p und q sind teilerfremd (kürzen)
• Dann ist \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
• \(2 q^2 = p^2\)
• Daraus folgt q und p sind gerade, nicht teilerfremd ⚡

Eine Teilfolge entsteht wenn man Elemente einer Folge auslässt.

Beispiel

\((a_n) = -1 ^n = (-1, 1, -1 ...)\)
\((a_{2n}) = -1^{2n} = (1,1,1,...)\)

Jede beschränkte Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis mit Intervallschachtelungsprinzip (IP):

• Die Folge ist beschränkt, teile das Intevall in der Mitte
• mindestens eines der Intervalle enthält unendlich viele Elemente
• wiederhole das unendlich oft
• Wähle folgende teilfolge: Element 1 in intervall 1, element 2 in intervall 2 usw => convergente teilfolge

Eine Zahl \(a \in \mathbb{R}\) heisst Häufungspunkt einer Folge \((a_n)\) wenn es eine Teilfolge von \((a_n)\) gibt die gegen \(a\) konvergiert.

=> (Bolzano Weierstrass) jede beschränkte Folge hat mindestens ein Häufungspunkt.

Beweis:

Da die Folge beschränkt ist besitzt sie eine konvergente Teilfolge (Bolzano Weierstras).
 

obdA: die folge ist monoton wachsend.

Limes der Teilfolge (Bolzano Weierstras) ist die kleinste obere schranke \(a\).

Für jedes \(\varepsilon > 0\) finden wir ein genug grosses \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \varepsilon\)

Da epsilon immer kleiner wird, konvergiert die Folge.