Analysis I & II UniBas Basel
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Tailor Formel in \(\mathbb{R}^n\)
Qualitative Taylorsche Formel
\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+o(||\xi||^k)\)
Quantitative Taylorsche Formel
\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+\sum_{|\alpha|=k+1} \frac{D^\alpha f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^\alpha\)
Lokale Extrema in \(\mathbb{R}^n\)
Notwendige Bedingung:
\(\triangledown f(x) = 0\) : gradient ist 0, analog zu f'(x) = 0.
Hinreichendes Kriterium:
Notwendige bedingung ist erfüllt und Hesse matrix
- Positiv Definit => striktes lokales minimum
- negativ definit => striktes lokales maximum
- indefinit => kein lokales extremum
Hurwitz Kriterium
Sei \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) eine symmetrische reelle \(n \times n\) matrix (d.h. \(A = A^T\)) in der Form
\(A = \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&...& a_{nn} \end{pmatrix}\)
Dann ist A positiv definit genau dann wenn
\(det \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\a_{k1}&...& a_{kk} \end{pmatrix} > 0\) für alle \(k = 1, ..., n\)
Achtung: iterativ für alle k= 1,... prüfen!
Hesse Matrix
\(H = \begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1} & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\\vdots&&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n}\end{pmatrix}\)
Banachraum
Ein normierter Vektorraum \((V, ||.||)\) heisst Banachraum falls:
\(V\) ist vollständig (jede Cauchy-Folge in V konvergiert).
- zB \(\mathbb{R}\) mit der euklidischen standardnorm
Banachscher Fixpunktsatz
Sei \(A \subset V\) eine abgeschlossene, nicht-leere Teilmenge eines Banachraums \((V, ||.||)\). Die Abbildung \(\Phi : A \to A\) sei eine Kontraktion, d.h. es gibt eine Konstante \(0<\theta < 1\), so dass
\(|| \Phi (x) - \Phi(y)|| \leq \theta || x-y||\) für alle \(x,y \in A\).
Dann hat \(\Phi\) genau einen Fixpunkt. D.h. es existiert genau ein \(x_* \in A\) mit \(\Phi(x_*) = x_*\).
Ferner gilt für jeden Startwert \(x_0 \in A\) dass die Folge \(x_{k+1} := \Phi(x_k)\) gegen \(x_*\) konvergiert.
Beweis:
Eindeutigkeit: Nehme an \(x_1, x_2\) sind fixpunkte \(\Phi(x_1) = x_1, \Phi(x_2) = x_2\)=> \(||x_1 - x_2|| \leq \theta ||x_1 - x_2||\)
Daraus folgt \(|| x_1 - x_2 || = 0 \Rightarrow x_1 = x_2\)
Existenz:
\(|| x_{n+1} - x_n|| \leq \theta || x_n - x_{n-1}|| \leq ... \leq \theta^n||x_1 - x_0||\)
konvergiert gegen einen punkt für n -> unendlich
Anwendung Banachscher Fixpunktsatz
Wird gebraucht um fixpunkte zu finden. zB bei impliziten Funktionen.
Satz über die Umkehrabbildung
Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \to \mathbb{R}^n\) eine stetig ableitbare Funktion.
Sei \(a \in U\) und \(b := f(a)\), sowie \(\det Df(a) \neq 0\).
Dann existieren offene Umgebungen \(U_0 \subset U\) von \(a\) und \(V_0 \subset \mathbb{R}^n\) von \(b\) so dass
\(f: U_0 \to V_0\) bijektiv ist und die Umkehrabbildung \(g = f^{-1}: V_0 \to U_0\) eine stetig ableitbare funktion ist.
Es gilt:
\(Dg(b) = (Df(a))^{-1}\)
Erklärung: Wenn die determinante der Jakobimatrix an der Stelle a nicht null ist, dann existiert eine umgebung um a an der die Funktion umkehrbar ist.
Libschitz Bedingung.
Globale Libschitz Bedingung
F genügt einer gobalen Libschitz bedingung mit der konstanten \(L \geq 0\) wenn
\(|| f(x,y) - f(x,\eta)|| \leq L || y-\eta||\) für alle \((x,y), (x,\eta) \in I \times V\)
F genügt einer lokalen Libschitz bedingung wenn für jeden punkt \((x_0, y_0)\) eine umgebung u sowie eine konstante L existiert so dass in dieser umgebund die globale libschitz bedingung erfüllt wird.
Existenzsatz von Picard Lindelöf
Für eine offene Menge \(I \times V \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \) und die stetige Funktion \(f: I \times V \to \mathbb{R}^n\) die einer lokalen Lipschitz Bedingung bezüglich y genügt, gilt:
Es existeiert zu jedem \((x_0, y_0) \in I \times V\) ein \(\varepsilon = \varepsilon(x_0, y_0) > 0\) und eine Lösung
\(y: [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \to \mathbb{R}^n\)
der Differentialgleichung \(y' = f (x,y)\) mit der Bedingung \(y(x_0) = y_0\).
Quotientenkriterium & Beweis
Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\) mit \(a_n \neq 0\) konvergiert wenn ab einem \(n \geq n_0\) eine zahl \(\theta\) existiert so dass
\(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \theta\).
Es genügt nicht \(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\), es muss ein spezifisches \(\theta\) gefunden werden.
Beweis:
\(|a_n| \leq \theta|a_{n-1}| \leq \theta^2|a_{n-2}| \leq ... \).
Daher ist \(\sum_{n=0}^\infty|a_0|\theta^n\) ist eine majorante.
Geometrische Reihe
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_0|\theta^n = |a_0|\frac{1}{1-\theta}\).
Hinreichend/ nicht notwendig TODO
Einschliessungs-Kriterium/Sandwich-Kriterium
Seien \((a_n), (b_n), (c_n)\) Folgen, so dass \(a_n \leq b_n \leq c_n, \quad \forall n \geq N_0\).
Dann gilt \(a_n \to a \text{ und } c_n \to a \quad \Rightarrow \quad c_n \to a\).
Bemerkung \((a_n)\) und \((c_n)\) schliessen \((b_n)\) ein.
Beispiele Für Ableitungen (via Limes)
f(x) = c (konst)
f(x) = x
f(x) = x^2
f(x) = c konst
\(f'(x) =\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0\)
f(x) = x
\(f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{x+h - x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{h}{h} = 1\)
f(x) = x^2
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x + h = 2x\)
Satz über implizite Funktionen
Für \(F(a,b) = 0\) existiert eine umgebung \(U\) um \((a,b)\) in welcher \(g(x)\) existiert mit \(F(x,g(x)) = 0\) genau dann wenn \(\frac{\partial F}{\partial y} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\ \vdots &&\vdots\\\frac{\partial F_m}{\partial y_1}&...&\frac{\partial F_m}{\partial y_n}\end{bmatrix}\) invertierbar.
Umkehrabbildung
Für \(f: U \to \mathbb{R}^n\) gilt:
Wenn \(\det D f(a) \neq 0\) dann gibt es eine offene Umgebung um \(a\) in der f bijektiv ist und
die umkehrabbildung \(g\) existiert mit:
\(Dg(f(a)) = (Df(a))^{-1}\)
BSP
\(f(x,y) = (x^2-y^2, 2xy)\)
\(Df(x,y) = \begin{pmatrix}2x & -2y\\2y & 2x\end{pmatrix}\)
\(det Df(x,y) = 2(x^2 + y^2) \neq 0\) für \((x,y) \neq (0,0)\)
Differential Gleichungen Beispiele
- \(y'=x^2*y^2\)
- \(y' = x^2 y\)
- \(y' = e^x y^2\)
\(y'=x^2*y^2\)
\(\frac{dy}{dx} = x^2y^2\)
\(\frac{dy}{y^2} = x^2 dx\)
\(\int \frac{1}{y^2}dy = \int x^2 dx\)
\(\frac{1}{-1}y^{-1} = \frac{1}{3}x^3 + C\)
\(y = - \frac{3}{x^3 + C}\)
Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf
\(\displaystyle y_{k+1}(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_k(t))dt\)
BSP:
\(y' = 2xy, \quad y(0) = 1\)
\(y_1 = 1 + \int_0^x 2t*1 dx = 1 + x^2\)
\(y_2 = 1 + \int_0^x 2t * (1+ t^2) dx\)
Liste von Konvergenzkriterien für Reihen
- Folge der Partialsummen Konvergiert
- Geometrische Reihe
- Cauchy Kriterium
- Majorantenkriterium
- Leibnitz Kriterium
- Quotientenkriterium
Beispiele für Positiv Definite und Negativ Definite Matrix
Negativ Definit
\(\displaystyle \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\)
Positiv Definit
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)
(Hurwitz Kriterium)
Zeige mit dem Quotientenkriterium dass folgende Folge konvergiert:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\)
Quotientenkriterium: \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \varepsilon\)
\(\left|\frac{\frac{1}{(k+1)^2}}{\frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{(k+1)^2}k^2\right| = \left|\frac{k^2}{k^2+2k+1}\right| = \left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right|\)
\(\lim_{k\to \infty}\left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{1+0+0}\right| = 1 \leq \varepsilon\)
Cauchy Folge oder Fundamentalfolge
Eine folge (\(a_n\)) heisst Cauchy-Folge, falls gilt zu jedem \(\varepsilon > 0 \text{ gibt es } N \in \mathbb{N}\), so dass
\(|a_n - a_m| < \varepsilon\) für alle \(n, m > N\)
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge
Eigenschaften der Cauchy Folge
- In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchy Folge (Vollständigkeitsaxiom)
Intervallschachtelungsprinzip (IP)
Gegeben: Intervall \([a,b] = I\)
Länge: \(\mathit{diam}([a,b]) := b - a = |I|\)
Intervallschachtelungsprinzip:
Wenn für eine folge von intervallen gilt \(I_{n+1} \subset I_n\) und \(\lim_{n \to \infty} diam(I_n) = 0\)
Dann existiert genau eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \in I_n \text{ für alle } n \in \mathbb{N}\)
Beweise \(\sqrt{2} \) ist keine rationale Zahl (\(\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}\))
- Annahme \(r = \sqrt{2}\) ist rational.
- Dann ist \(r = p/q \text{ mit } p,q \in \mathbb{Z}\)
- p und q sind teilerfremd (kürzen)
- Dann ist \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
- \(2 q^2 = p^2\)
- Daraus folgt q und p sind gerade, nicht teilerfremd ⚡
Teilfolgen
Eine Teilfolge entsteht wenn man Elemente einer Folge auslässt.
Beispiel
\((a_n) = -1 ^n = (-1, 1, -1 ...)\)
\((a_{2n}) = -1^{2n} = (1,1,1,...)\)
Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis mit Intervallschachtelungsprinzip (IP):
- Die Folge ist beschränkt, teile das Intevall in der Mitte
- mindestens eines der Intervalle enthält unendlich viele Elemente
- wiederhole das unendlich oft
- Wähle folgende teilfolge: Element 1 in intervall 1, element 2 in intervall 2 usw => convergente teilfolge
Häufungspunkte
Eine Zahl \(a \in \mathbb{R}\) heisst Häufungspunkt einer Folge \((a_n)\) wenn es eine Teilfolge von \((a_n)\) gibt die gegen \(a\) konvergiert.
=> (Bolzano Weierstrass) jede beschränkte Folge hat mindestens ein Häufungspunkt.
Jede beschränkte monotone Folge \((a_n)\) reeller Zahlen ist konvergent.
Beweis:
Da die Folge beschränkt ist besitzt sie eine konvergente Teilfolge (Bolzano Weierstras).
obdA: die folge ist monoton wachsend.
Limes der Teilfolge (Bolzano Weierstras) ist die kleinste obere schranke \(a\).
Für jedes \(\varepsilon > 0\) finden wir ein genug grosses \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \varepsilon\)
Da epsilon immer kleiner wird, konvergiert die Folge.
Beweise Konvergente Folge \(\to\) Cauchy Folge
Beweis:
Sei \((a_n) \to a\) dann gilt:
für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es \(N \in \mathbb{N}\) mit \(|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}, n \geq N\)
=> für alle n,m
\(|a_n - a_m| = |(a_n - a) - (a_m - a)| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)
Was folgt aus der Vollständigkeit und dem Intervallschachtelungsaxiom?
Intervallschachtelungsprinzip impliziert Vollständigkeit
Vollständigkeitsaxiom: In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchyfolge (\(|a_n - a_m| < \varepsilon\))
Intervallschachtelungsprinzip: Ineinandergeschachtlelte Intervalle min lim (diam) -> 0: genau ein grenzwert.
Zahlenmengen Abzählbarkeit
\(\mathbb{N,Z,Q}\) sind abzählbar
\(\mathbb{R}\) ist überabzählbar
Beweis:
Annahme: \(\mathbb{R}\) ist abzählbar ⇒ es existiert eine Folge \((r_n)\) die \(\mathbb{R}\) zwischen 0 und 1 abzählt.
Wir schreiben die \((r_n)\) in eine tabelle:
\(r_1 = 0, x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},...\)
\(r_2 = 0, x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},...\)
usw.
wir kreieren eine neue Zahl \(z = 0, z_1 \neq x_{1,1}, z_2 \neq x_{2,2}, ...\)
Diese zahl unterscheidet sich an jeder stelle von mindestens einer anderen zahl und kommt daher nicht in \((r_n)\) vor. ⚡
⇒ \(\mathbb{R}\) ist überabzählbar
Geometrische Reihe & Beweis
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\) für \(|q| < 1\)
Beweis
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n\) | multipliziere beide seiten mit \((1-q)\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k (1-q) = (q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n) (1-q) = 1 - q^{n+1}\) | dividiere beide seiten mit \((1-q)\)
(teleskopsumme, \(q^0 * 1 = 1\), \(q^n * q = q ^{n+1}\))
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}\)
Für \(n \to \infty\) gilt deshalb
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\)
Geometrische Reihe, was passiert bei
- \(q < 1\)
- \(q = 1\)
- \(q > 1\)
\(q < 1\)
Die Reihe \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\) konvergiert
\(q = 1\), \(q > 1\)
Die Reihe divergiert
Konvergenzkriterien Reihen: Folge der Partialsummen beschränkt
Folge der Parzialsummen beschränkt
Sei \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) genau dann wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist.
Das heisst \(S_N \leq C \) für alle \(n \in \mathbb{N}\), wobei \(C \geq 0 \) eine Konstante ist
(PER DEFINITION)
Harmonische Reihe
Die Harmonische Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) ist divergent.
Beweis
\(\displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{N}\)
\(S_{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^k}\)
\(= 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8}) + ... + (\frac{1}{2^{k-1}+1} + ... + \frac{1}{2^k})\)
\(\geq 1 + \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 2^2\frac{1}{8} + ... + 2^{k-1}\frac{1}{k} = 1 + \frac{k}{2}\)
Die abschätzung für die Partialsummen sind nicht nach oben beschränkt, => die harmonische Reihe ist divergent.
Konvergenzkriterien Reihen: Cauchy Kriterium
Sei \((a_n)\) eine Folge in \(\mathbb{R}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) genau dann wenn gilt: für jedes \(\varepsilon > 0\) existiert eine Zahl \(N \in \mathbb{N}\) so dass
\(\displaystyle \left|\sum_{n=l}^{m} a_n\right| < \varepsilon\) für alle \(m \geq l \geq N\)
Beweis
Per definition konvergiert \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) genau dann wenn die Folge der Partialsummen \(S_N = \sum_{n=0}^N a_n\) konvergiert.
\(S_N\) konvergiert genau dann wenn es eine Cauchy-Folge bildet.
\(|S_k-S_{k'}|< \varepsilon\) für alle \(k,k' \geq N\)
\(S_k - S_{k'} = \sum_{n=0}^k a_n - \sum_{n=0}^{k'}a_n = \sum_{n = k' + 1}^k a_n\)
Konvergenzkriterien Reihen: Leibniz Kriterium
Sei \((a_n)\) eine monoton fallende Folge mit \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)
Dann konvergiert die alternierende Folge
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n\)
Absolute Konvergenz (Reihe)
Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) heisst absolut konvergent wenn auch \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|\) konvergent ist.
Absolute konvergenz impliziert konvergenz.
Konvergenzkriterien Reihen: Majoranten-Kriterium
Sei \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n\) konvergent mit \(c_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \((a_n)\) eine Folge mit \(|a_n| \leq c_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) absolut.
\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n\) ist die Majorante
Definition Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig im punkt \(a \in D\) falls gilt
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f (x) = f(a)\)
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Cauchy Folge oder Fundamentalfolge
Eine folge (\(a_n\)) heisst Cauchy-Folge, falls gilt zu jedem \(\varepsilon > 0 \text{ gibt es } N \in \mathbb{N}\), so dass
\(|a_n - a_m| < \varepsilon\) für alle \(n, m > N\)
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge
Eigenschaften der Cauchy Folge
- In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchy Folge (Vollständigkeitsaxiom)
Intervallschachtelungsprinzip (IP)
Gegeben: Intervall \([a,b] = I\)
Länge: \(\mathit{diam}([a,b]) := b - a = |I|\)
Intervallschachtelungsprinzip:
Wenn für eine folge von intervallen gilt \(I_{n+1} \subset I_n\) und \(\lim_{n \to \infty} diam(I_n) = 0\)
Dann existiert genau eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \in I_n \text{ für alle } n \in \mathbb{N}\)
Beweise \(\sqrt{2} \) ist keine rationale Zahl (\(\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}\))
- Annahme \(r = \sqrt{2}\) ist rational.
- Dann ist \(r = p/q \text{ mit } p,q \in \mathbb{Z}\)
- p und q sind teilerfremd (kürzen)
- Dann ist \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
- \(2 q^2 = p^2\)
- Daraus folgt q und p sind gerade, nicht teilerfremd ⚡
Teilfolgen
Eine Teilfolge entsteht wenn man Elemente einer Folge auslässt.
Beispiel
\((a_n) = -1 ^n = (-1, 1, -1 ...)\)
\((a_{2n}) = -1^{2n} = (1,1,1,...)\)
Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis mit Intervallschachtelungsprinzip (IP):
- Die Folge ist beschränkt, teile das Intevall in der Mitte
- mindestens eines der Intervalle enthält unendlich viele Elemente
- wiederhole das unendlich oft
- Wähle folgende teilfolge: Element 1 in intervall 1, element 2 in intervall 2 usw => convergente teilfolge
Häufungspunkte
Eine Zahl \(a \in \mathbb{R}\) heisst Häufungspunkt einer Folge \((a_n)\) wenn es eine Teilfolge von \((a_n)\) gibt die gegen \(a\) konvergiert.
=> (Bolzano Weierstrass) jede beschränkte Folge hat mindestens ein Häufungspunkt.
Jede beschränkte monotone Folge \((a_n)\) reeller Zahlen ist konvergent.
Beweis:
Da die Folge beschränkt ist besitzt sie eine konvergente Teilfolge (Bolzano Weierstras).
obdA: die folge ist monoton wachsend.
Limes der Teilfolge (Bolzano Weierstras) ist die kleinste obere schranke \(a\).
Für jedes \(\varepsilon > 0\) finden wir ein genug grosses \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \varepsilon\)
Da epsilon immer kleiner wird, konvergiert die Folge.
Beweise Konvergente Folge \(\to\) Cauchy Folge
Beweis:
Sei \((a_n) \to a\) dann gilt:
für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es \(N \in \mathbb{N}\) mit \(|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}, n \geq N\)
=> für alle n,m
\(|a_n - a_m| = |(a_n - a) - (a_m - a)| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)
Was folgt aus der Vollständigkeit und dem Intervallschachtelungsaxiom?
Intervallschachtelungsprinzip impliziert Vollständigkeit
Vollständigkeitsaxiom: In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchyfolge (\(|a_n - a_m| < \varepsilon\))
Intervallschachtelungsprinzip: Ineinandergeschachtlelte Intervalle min lim (diam) -> 0: genau ein grenzwert.
Zahlenmengen Abzählbarkeit
\(\mathbb{N,Z,Q}\) sind abzählbar
\(\mathbb{R}\) ist überabzählbar
Beweis:
Annahme: \(\mathbb{R}\) ist abzählbar ⇒ es existiert eine Folge \((r_n)\) die \(\mathbb{R}\) zwischen 0 und 1 abzählt.
Wir schreiben die \((r_n)\) in eine tabelle:
\(r_1 = 0, x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},...\)
\(r_2 = 0, x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},...\)
usw.
wir kreieren eine neue Zahl \(z = 0, z_1 \neq x_{1,1}, z_2 \neq x_{2,2}, ...\)
Diese zahl unterscheidet sich an jeder stelle von mindestens einer anderen zahl und kommt daher nicht in \((r_n)\) vor. ⚡
⇒ \(\mathbb{R}\) ist überabzählbar
Geometrische Reihe & Beweis
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\) für \(|q| < 1\)
Beweis
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n\) | multipliziere beide seiten mit \((1-q)\)
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k (1-q) = (q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n) (1-q) = 1 - q^{n+1}\) | dividiere beide seiten mit \((1-q)\)
(teleskopsumme, \(q^0 * 1 = 1\), \(q^n * q = q ^{n+1}\))
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}\)
Für \(n \to \infty\) gilt deshalb
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\)
Geometrische Reihe, was passiert bei
- \(q < 1\)
- \(q = 1\)
- \(q > 1\)
\(q < 1\)
Die Reihe \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\) konvergiert
\(q = 1\), \(q > 1\)
Die Reihe divergiert
Konvergenzkriterien Reihen: Folge der Partialsummen beschränkt
Folge der Parzialsummen beschränkt
Sei \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) genau dann wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist.
Das heisst \(S_N \leq C \) für alle \(n \in \mathbb{N}\), wobei \(C \geq 0 \) eine Konstante ist
(PER DEFINITION)
Harmonische Reihe
Die Harmonische Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) ist divergent.
Beweis
\(\displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{N}\)
\(S_{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^k}\)
\(= 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8}) + ... + (\frac{1}{2^{k-1}+1} + ... + \frac{1}{2^k})\)
\(\geq 1 + \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 2^2\frac{1}{8} + ... + 2^{k-1}\frac{1}{k} = 1 + \frac{k}{2}\)
Die abschätzung für die Partialsummen sind nicht nach oben beschränkt, => die harmonische Reihe ist divergent.
Konvergenzkriterien Reihen: Cauchy Kriterium
Sei \((a_n)\) eine Folge in \(\mathbb{R}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) genau dann wenn gilt: für jedes \(\varepsilon > 0\) existiert eine Zahl \(N \in \mathbb{N}\) so dass
\(\displaystyle \left|\sum_{n=l}^{m} a_n\right| < \varepsilon\) für alle \(m \geq l \geq N\)
Beweis
Per definition konvergiert \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) genau dann wenn die Folge der Partialsummen \(S_N = \sum_{n=0}^N a_n\) konvergiert.
\(S_N\) konvergiert genau dann wenn es eine Cauchy-Folge bildet.
\(|S_k-S_{k'}|< \varepsilon\) für alle \(k,k' \geq N\)
\(S_k - S_{k'} = \sum_{n=0}^k a_n - \sum_{n=0}^{k'}a_n = \sum_{n = k' + 1}^k a_n\)
Konvergenzkriterien Reihen: Leibniz Kriterium
Sei \((a_n)\) eine monoton fallende Folge mit \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)
Dann konvergiert die alternierende Folge
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n\)
Absolute Konvergenz (Reihe)
Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) heisst absolut konvergent wenn auch \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|\) konvergent ist.
Absolute konvergenz impliziert konvergenz.
Konvergenzkriterien Reihen: Majoranten-Kriterium
Sei \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n\) konvergent mit \(c_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \((a_n)\) eine Folge mit \(|a_n| \leq c_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) absolut.
\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n\) ist die Majorante
Definition Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig im punkt \(a \in D\) falls gilt
\(\displaystyle \lim_{x\to a} f (x) = f(a)\)
Zwischenwertsatz (ZWS)
Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig mit \(f(a) < 0\) und \(f(b) > 0\) (oder umgekehrt)
Dann existiert ein \(p \in [a,b] \text{ mit } f(p) = 0\)
Eine stetige Funktion auf einem intervall welches durch den Nullpunkt geht hat eine Nullstelle.
Beweis:
Wir definieren eine Folge von ineinandergeschachtelten Intervallen \([a_n, b_n] \subset [a_{n-1}, b_{n-1}]\). Jeder dieser Intervalle wird so gesetzt dass es den Vorzeichenwechsel enthält, und den halben Durchmesser vom letzten Intervall hat.
Es folgt dass \(a_n\) gegen einen punkt \(p_1\) konvergiert und \(b_n\) gegen einen punkt \(p_2\). Da der intervallradius immer halbiert wird ist \(p_1 = p_2 = p\).
\(\varepsilon\) - \( \delta\)-Kriterium
Sei f eine funktion dann ist sie im Punkt \(a \in D\) genau dann stetig wenn gilt:
Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es \(\delta > 0\) so dass
\(|f(x) - f(a)| < \varepsilon \text{ für alle } y \in D \text{ mit } |x-a| < \delta\)
Gleichmässige Stetigkeit
Sei f eine funktion dann ist sie dann gleichmässig stetig wenn gilt:
Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es \(\delta > 0\) so dass
\(|f(x) - f(y)| < \varepsilon \text{ für alle } x,y \in D \text{ mit } |x-y| < \delta\)
f gleichmässig stetig ⇒ f stetig
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig ⇒ f gleichmässig stetig
Wie ist die Exponentialfunktion definiert und was sind ihre Eigenschaften
Definition
\(\displaystyle exp(x) := \lim_{n\to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...\)
Eigenschaften
- \(\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\exp(x) -1}{x} = 1\)
Beweis für \(\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)\)
\(\exp(x)\exp(y) = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n(1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x+y+\frac{xy}{n}}{n})^n = \exp(xy)\)
exp ist die einzige funktion mit diesen Eigenschaften!
- exp ist stetig
- exp(x) > 0 für alle x in R
- exp ist streng monoton wachsend
- exp \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0} \) ist bijektiv
Exponentialfunktion Graph
Natürlicher Logarithmus
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
\(x = e^y \quad\equiv\quad y = \log(x)\)
Eigenschaften
- \(\log(xy) = \log(x) + \log(y) \) für alle x,y > 0
- \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1\)
Differenzierbarkeit
Eine Funktion \(f: I \to \mathbb{R}\) heisst differenzierbar an der stelle \(x \in I\) wenn der Grenzwert
\(\displaystyle f'(x) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
existiert. Wir nennen f' die Ableitung von f an der stelle x.
Ableitungsregeln
Lineare Approximierbarkeit (1D)
Eine funktion \(f : I \to \mathbb{R}\) ist genau dann an der Stelle a in I differenzierbar wenn es die Konstante gibt, so dass
\(f(x) = f(a) + c(x-a) + \varphi(x)\)
wobei phi eine Funktion ist für die gilt
\(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{\varphi (x) }{x-a} = 0\)
In diesem fall ist c = f'(a).
Definition vom lokalen Maximum/Minimum (ohne Ableitung)
Eine funktion hat an einer stelle \(x \in I\) ein lokales Maximum falls \(\varepsilon > 0\) existiert so dass gilt:
Für alle \(\xi \in I\) mit \(|\xi - x| < \varepsilon\) ist \(f(x) \geq f(\xi)\)
Satz von Fermat
Wenn eine funktion an der stelle x differenzierbar dann gilt:
f hat lokales extremum bei x ⇒ f'(x) = 0
Beweis:
\(f\) hat ein lokales Maximum bei \(x \in (a,b)\).
Es existiert also ein \(\varepsilon > 0\) mit \(f(x) \geq f(\xi)\) für alle \(\xi \in (x-\xi, x+\xi)\).
\(\displaystyle f'(x) = \lim_{\xi \searrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}\)
Aus dem lokalen maximum folgt \(f'(x) \leq 0\). Analog für \(\xi \nearrow x\). Aus dem zwischenwertsatz folgt also f'(x) = 0.
Satz von Rolle
Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) eine stetige Funktion mit \(f(a) = f(b)\).
Ist die funktion \(f\) differenzierbar in \((a,b)\) dann existiert \(\xi \in (a,b) \) mit \(f'(\xi) = 0\)
Beweis
- Entweder \(f\) ist konstant und hat überall \(f'(x) = 0\)
- \(f\) ist nicht konstant und hat mindestens einen kleinsten oder grössten wert an der stelle \(p \in (a,b)\) ⇒ \(f'(p) = 0\).
(Satz von Fermat)
Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechnung
Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig und \(f\) differenzierbar auf \((a,b)\) . Dann existiert \(\xi \in (a,b) \) mit
\(\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi)\)
Erläuterung:
Eine stetige funktion nimmt zwischen zwei punkten an mindestens einer stelle die Ableitung gleich der Steigung zwischen diesen punkten an.
Beweis:
Betrachte die Hilfsfuntkion
\(F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} (x-a)\) (= f(x) minus der geraden zwischen den punkten)
Durch satz von rolle gilt nun dass f'(x) = 0 vorkommen muss.
Monotonie
Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig und differenzierbar in \((a,b)\) dann gilt:
- \(f'(x) \geq 0 \text{ für alle } x \in (a,b) \quad\Longleftrightarrow f\) ist monothon wachsend auf \([a,b]\)
- \(f'(x) > 0 \text{ für alle } x \in (a,b) \quad\Longrightarrow f\) ist streng monothon wachsend auf \([a,b]\)
Lokale Minima/Maxima mittels differenzierung
Ist f differenzierbar und es existiert f''(x) an der stelle x und
\(f'(x) = 0\) und \(f''(x) > 0\)
Dann hat \(f\) ein striktes lokales minimum
Konvexität
Definition:
TODO
Wenn \(f\) zweimal differenzierbar:
\(f\) ist konvex \(\quad \Longleftrightarrow \quad f''(x) \geq 0\)
Anwendungsbereich von de l'Hospital
Untersuchen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\displaystyle \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}\).
Monothone Funktionen sind Integrierbar
\(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) ist monoton wachsend. Die Funktion \(f\) muss also beschränkt sein, (das maximum ist \(f(b)\))
Wir wählen eine äquidistante zerlegung (\(x_k = a + k \frac{b-a}{n}\))
Wir definieren die Treppenfunktionen \(\varphi, \psi \in \mathcal{T}[a,b]\) wobei \(\varphi \) untere Treppenfunktion und \(\psi\) obere Treppenfunktion.
sowie
\(\displaystyle\int_a^b \psi(x) dx - \int_a^b \varphi(x) dx = \sum_{k=1}^nf(x_k)(\frac{b-a}{n}) - \sum_{k=1}^nf(x_{k-1})(\frac{b-a}{n})\)
\(\displaystyle= \frac{b-a}{n}\left(\sum_{k=1}^nf(x_k) - \sum_{k=1}^n f(x_{k-1})\right) = \frac{b-a}{n}(f(b) - f(a)) \leq \varepsilon\) falls \(n \geq 1\) genügend gross ist.
Integral für Treppenfunktionen
\(\displaystyle \int_a^b \varphi(x)dx := \sum_{k=1}^n c_k \Delta x_k\)
Eigenschaften
- \(\displaystyle \int_a^b (\varphi + \psi) (x)dx = \int_a^b \varphi(x)dx + \int_a^b \psi(x)dx\)
- \(\displaystyle \int_a^b (\lambda\varphi)(x)dx = \lambda\int_a^b \varphi(x)dx\)
- \(\displaystyle \varphi \leq \psi \quad \Longrightarrow \quad \int_a^b \varphi(x)dx \leq \int_a^b \psi(x)dx\)
Das Ober- und Unterintegral
Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) eine beschränkte Funktion, dann definieren wir das Oberintegral als
\(\displaystyle \overline{\int_a^b}f(x)dx := \inf \left\{\int_a^b \varphi(x) dx: \varphi \in \mathcal{T}[a,b], \varphi \geq f \right\}\)
In worten, das oberintegral ist definiert als das integral der kleinsten treppenfunktion die grösser als die funktion f ist.
Analog das unterintegral.
Es gilt \(\displaystyle \underline{\int_a^b}f(x)dx \leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\)
