Analysis I & II UniBas Basel
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Kartei Details
Karten | 93 |
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Sprache | Deutsch |
Kategorie | Mathematik |
Stufe | Universität |
Erstellt / Aktualisiert | 05.01.2022 / 12.02.2023 |
Lizenzierung | Keine Angabe |
Weblink |
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Cauchy Folge oder Fundamentalfolge
Eine folge (\(a_n\)) heisst Cauchy-Folge, falls gilt zu jedem \(\varepsilon > 0 \text{ gibt es } N \in \mathbb{N}\), so dass
\(|a_n - a_m| < \varepsilon\) für alle \(n, m > N\)
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge
Eigenschaften der Cauchy Folge
- In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchy Folge (Vollständigkeitsaxiom)
Intervallschachtelungsprinzip (IP)
Gegeben: Intervall \([a,b] = I\)
Länge: \(\mathit{diam}([a,b]) := b - a = |I|\)
Intervallschachtelungsprinzip:
Wenn für eine folge von intervallen gilt \(I_{n+1} \subset I_n\) und \(\lim_{n \to \infty} diam(I_n) = 0\)
Dann existiert genau eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \in I_n \text{ für alle } n \in \mathbb{N}\)
Beweise \(\sqrt{2} \) ist keine rationale Zahl (\(\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}\))
- Annahme \(r = \sqrt{2}\) ist rational.
- Dann ist \(r = p/q \text{ mit } p,q \in \mathbb{Z}\)
- p und q sind teilerfremd (kürzen)
- Dann ist \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
- \(2 q^2 = p^2\)
- Daraus folgt q und p sind gerade, nicht teilerfremd ⚡
Teilfolgen
Eine Teilfolge entsteht wenn man Elemente einer Folge auslässt.
Beispiel
\((a_n) = -1 ^n = (-1, 1, -1 ...)\)
\((a_{2n}) = -1^{2n} = (1,1,1,...)\)
Bolzano-Weierstrass
Jede beschränkte Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beweis mit Intervallschachtelungsprinzip (IP):
- Die Folge ist beschränkt, teile das Intevall in der Mitte
- mindestens eines der Intervalle enthält unendlich viele Elemente
- wiederhole das unendlich oft
- Wähle folgende teilfolge: Element 1 in intervall 1, element 2 in intervall 2 usw => convergente teilfolge
Häufungspunkte
Eine Zahl \(a \in \mathbb{R}\) heisst Häufungspunkt einer Folge \((a_n)\) wenn es eine Teilfolge von \((a_n)\) gibt die gegen \(a\) konvergiert.
=> (Bolzano Weierstrass) jede beschränkte Folge hat mindestens ein Häufungspunkt.
Jede beschränkte monotone Folge \((a_n)\) reeller Zahlen ist konvergent.
Beweis:
Da die Folge beschränkt ist besitzt sie eine konvergente Teilfolge (Bolzano Weierstras).
obdA: die folge ist monoton wachsend.
Limes der Teilfolge (Bolzano Weierstras) ist die kleinste obere schranke \(a\).
Für jedes \(\varepsilon > 0\) finden wir ein genug grosses \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \varepsilon\)
Da epsilon immer kleiner wird, konvergiert die Folge.