Analysis I & II UniBas Basel

Qualitative Taylorsche Formel

\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+o(||\xi||^k)\)

Quantitative Taylorsche Formel

\(\displaystyle f(x+\xi) = \sum_{|\alpha|\leq k} \frac{D^\alpha f(x)}{\alpha!}\xi^{\alpha}+\sum_{|\alpha|=k+1} \frac{D^\alpha f(x+\theta\xi)}{\alpha!}\xi^\alpha\)

Notwendige Bedingung:

\(\triangledown f(x) = 0\) : gradient ist 0, analog zu f'(x) = 0.

Hinreichendes Kriterium:

Notwendige bedingung ist erfüllt und Hesse matrix

• Positiv Definit => striktes lokales minimum
• negativ definit => striktes lokales maximum
• indefinit => kein lokales extremum

Sei \(A \in \mathbb{R}^{n\times n}\) eine symmetrische reelle \(n \times n\) matrix (d.h. \(A = A^T\)) in der Form

\(A = \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&...& a_{nn} \end{pmatrix}\)

Dann ist A positiv definit genau dann wenn

\(det \begin{pmatrix}a_{11}& ...& a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\a_{k1}&...& a_{kk} \end{pmatrix} > 0\) für alle \(k = 1, ..., n\)

Achtung: iterativ für alle k= 1,... prüfen!

\(H = \begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1} & ... & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\\vdots&&\vdots\\\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&...&\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n}\end{pmatrix}\)

Ein normierter Vektorraum \((V, ||.||)\) heisst Banachraum falls:

\(V\) ist vollständig (jede Cauchy-Folge in V konvergiert).

• zB \(\mathbb{R}\) mit der euklidischen standardnorm

Sei \(A \subset V\) eine abgeschlossene, nicht-leere Teilmenge eines Banachraums \((V, ||.||)\). Die Abbildung \(\Phi : A \to A\) sei eine Kontraktion, d.h. es gibt eine Konstante \(0<\theta < 1\), so dass

\(|| \Phi (x) - \Phi(y)|| \leq \theta || x-y||\) für alle \(x,y \in A\).

Dann hat \(\Phi\) genau einen Fixpunkt. D.h. es existiert genau ein \(x_* \in A\) mit \(\Phi(x_*) = x_*\).

Ferner gilt für jeden Startwert \(x_0 \in A\) dass die Folge \(x_{k+1} := \Phi(x_k)\) gegen \(x_*\) konvergiert.

Beweis:

Eindeutigkeit: Nehme an \(x_1, x_2\) sind fixpunkte \(\Phi(x_1) = x_1, \Phi(x_2) = x_2\)=> \(||x_1 - x_2|| \leq \theta ||x_1 - x_2||\)

Daraus folgt \(|| x_1 - x_2 || = 0 \Rightarrow x_1 = x_2\)

Existenz:

\(|| x_{n+1} - x_n|| \leq \theta || x_n - x_{n-1}|| \leq ... \leq \theta^n||x_1 - x_0||\)

konvergiert gegen einen punkt für n -> unendlich

Wird gebraucht um fixpunkte zu finden. zB bei impliziten Funktionen.

Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \to \mathbb{R}^n\) eine stetig ableitbare Funktion.
Sei \(a \in U\) und \(b := f(a)\), sowie \(\det Df(a) \neq 0\).

Dann existieren offene Umgebungen \(U_0 \subset U\) von \(a\) und \(V_0 \subset \mathbb{R}^n\) von \(b\) so dass

\(f: U_0 \to V_0\) bijektiv ist und die Umkehrabbildung \(g = f^{-1}: V_0 \to U_0\) eine stetig ableitbare funktion ist.

Es gilt:

\(Dg(b) = (Df(a))^{-1}\)

Erklärung: Wenn die determinante der Jakobimatrix an der Stelle a nicht null ist, dann existiert eine umgebung um a an der die Funktion umkehrbar ist.

Globale Libschitz Bedingung

F genügt einer gobalen Libschitz bedingung mit der konstanten \(L \geq 0\) wenn

\(|| f(x,y) - f(x,\eta)|| \leq L || y-\eta||\) für alle \((x,y), (x,\eta) \in I \times V\)

F genügt einer lokalen Libschitz bedingung wenn für jeden punkt \((x_0, y_0)\) eine umgebung u sowie eine konstante L existiert so dass in dieser umgebund die globale libschitz bedingung erfüllt wird.

Für eine offene Menge \(I \times V \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \) und die stetige Funktion \(f: I \times V \to \mathbb{R}^n\) die einer lokalen Lipschitz Bedingung bezüglich y genügt, gilt:

Es existeiert zu jedem \((x_0, y_0) \in I \times V\) ein \(\varepsilon = \varepsilon(x_0, y_0) > 0\) und eine Lösung

\(y: [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \to \mathbb{R}^n\)

der Differentialgleichung \(y' = f (x,y)\) mit der Bedingung \(y(x_0) = y_0\).

Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\) mit \(a_n \neq 0\) konvergiert wenn ab einem \(n \geq n_0\) eine zahl \(\theta\) existiert so dass

\(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \theta\).

Es genügt nicht \(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\), es muss ein spezifisches \(\theta\) gefunden werden.

Beweis:

\(|a_n| \leq \theta|a_{n-1}| \leq \theta^2|a_{n-2}| \leq ... \).

Daher ist \(\sum_{n=0}^\infty|a_0|\theta^n\) ist eine majorante.

Geometrische Reihe
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_0|\theta^n = |a_0|\frac{1}{1-\theta}\).

Hinreichend/ nicht notwendig TODO

Seien \((a_n), (b_n), (c_n)\) Folgen, so dass \(a_n \leq b_n \leq c_n, \quad \forall n \geq N_0\).

Dann gilt \(a_n \to a \text{ und } c_n \to a \quad \Rightarrow \quad c_n \to a\).

Bemerkung \((a_n)\) und \((c_n)\) schliessen \((b_n)\) ein.

f(x) = c konst
\(f'(x) =\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0\)
f(x) = x

\(f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{x+h - x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{h}{h} = 1\)

f(x) = x^2
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x + h = 2x\)

Für \(F(a,b) = 0\) existiert eine umgebung \(U\) um \((a,b)\) in welcher \(g(x)\) existiert mit \(F(x,g(x)) = 0\) genau dann wenn \(\frac{\partial F}{\partial y} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\ \vdots &&\vdots\\\frac{\partial F_m}{\partial y_1}&...&\frac{\partial F_m}{\partial y_n}\end{bmatrix}\) invertierbar.

Für \(f: U \to \mathbb{R}^n\) gilt:

Wenn \(\det D f(a) \neq 0\) dann gibt es eine offene Umgebung um \(a\) in der f bijektiv ist und
die umkehrabbildung \(g\) existiert mit:

\(Dg(f(a)) = (Df(a))^{-1}\)

BSP

\(f(x,y) = (x^2-y^2, 2xy)\)

\(Df(x,y) = \begin{pmatrix}2x & -2y\\2y & 2x\end{pmatrix}\)

\(det Df(x,y) = 2(x^2 + y^2) \neq 0\) für \((x,y) \neq (0,0)\)

\(y'=x^2*y^2\)

\(\frac{dy}{dx} = x^2y^2\)

\(\frac{dy}{y^2} = x^2 dx\)

\(\int \frac{1}{y^2}dy = \int x^2 dx\)

\(\frac{1}{-1}y^{-1} = \frac{1}{3}x^3 + C\)

\(y = - \frac{3}{x^3 + C}\)

\(\displaystyle y_{k+1}(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_k(t))dt\)

BSP:

\(y' = 2xy, \quad y(0) = 1\)

\(y_1 = 1 + \int_0^x 2t*1 dx = 1 + x^2\)

\(y_2 = 1 + \int_0^x 2t * (1+ t^2) dx\)

• Folge der Partialsummen Konvergiert
• Geometrische Reihe
• Cauchy Kriterium
• Majorantenkriterium
• Leibnitz Kriterium
• Quotientenkriterium

Negativ Definit

\(\displaystyle \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\)

Positiv Definit

\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)

(Hurwitz Kriterium)

Quotientenkriterium: \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \varepsilon\)

\(\left|\frac{\frac{1}{(k+1)^2}}{\frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{(k+1)^2}k^2\right| = \left|\frac{k^2}{k^2+2k+1}\right| = \left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right|\)

\(\lim_{k\to \infty}\left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{1+0+0}\right| = 1 \leq \varepsilon\)

• In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchy Folge (Vollständigkeitsaxiom)

Gegeben: Intervall \([a,b] = I\)
Länge: \(\mathit{diam}([a,b]) := b - a = |I|\)

Intervallschachtelungsprinzip:

Wenn für eine folge von intervallen gilt \(I_{n+1} \subset I_n\) und \(\lim_{n \to \infty} diam(I_n) = 0\)

Dann existiert genau eine zahl \(x \in \mathbb{R}\) mit \(x \in I_n \text{ für alle } n \in \mathbb{N}\)

• Annahme \(r = \sqrt{2}\) ist rational.
• Dann ist \(r = p/q \text{ mit } p,q \in \mathbb{Z}\)
• p und q sind teilerfremd (kürzen)
• Dann ist \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
• \(2 q^2 = p^2\)
• Daraus folgt q und p sind gerade, nicht teilerfremd ⚡

Eine Teilfolge entsteht wenn man Elemente einer Folge auslässt.

Beispiel

\((a_n) = -1 ^n = (-1, 1, -1 ...)\)
\((a_{2n}) = -1^{2n} = (1,1,1,...)\)

Jede beschränkte Folge \((a_n)\) in \(\mathbb{R}\) besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis mit Intervallschachtelungsprinzip (IP):

• Die Folge ist beschränkt, teile das Intevall in der Mitte
• mindestens eines der Intervalle enthält unendlich viele Elemente
• wiederhole das unendlich oft
• Wähle folgende teilfolge: Element 1 in intervall 1, element 2 in intervall 2 usw => convergente teilfolge

Eine Zahl \(a \in \mathbb{R}\) heisst Häufungspunkt einer Folge \((a_n)\) wenn es eine Teilfolge von \((a_n)\) gibt die gegen \(a\) konvergiert.

=> (Bolzano Weierstrass) jede beschränkte Folge hat mindestens ein Häufungspunkt.

Beweis:

Da die Folge beschränkt ist besitzt sie eine konvergente Teilfolge (Bolzano Weierstras).
 

obdA: die folge ist monoton wachsend.

Limes der Teilfolge (Bolzano Weierstras) ist die kleinste obere schranke \(a\).

Für jedes \(\varepsilon > 0\) finden wir ein genug grosses \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \varepsilon\)

Da epsilon immer kleiner wird, konvergiert die Folge.

Beweis:

Sei \((a_n) \to a\) dann gilt:
für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es \(N \in \mathbb{N}\) mit \(|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}, n \geq N\)

=> für alle n,m
\(|a_n - a_m| = |(a_n - a) - (a_m - a)| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)

Intervallschachtelungsprinzip impliziert Vollständigkeit

Vollständigkeitsaxiom: In \(\mathbb{R}\) konvergiert jede Cauchyfolge (\(|a_n - a_m| < \varepsilon\))

Intervallschachtelungsprinzip: Ineinandergeschachtlelte Intervalle min lim (diam) -> 0: genau ein grenzwert.

\(\mathbb{N,Z,Q}\) sind abzählbar

\(\mathbb{R}\) ist überabzählbar

Beweis:

Annahme: \(\mathbb{R}\) ist abzählbar ⇒ es existiert eine Folge \((r_n)\) die \(\mathbb{R}\) zwischen 0 und 1 abzählt.

Wir schreiben die \((r_n)\) in eine tabelle:

\(r_1 = 0, x_{1,1},x_{1,2},x_{1,3},...\)
\(r_2 = 0, x_{2,1},x_{2,2},x_{2,3},...\)
usw.

wir kreieren eine neue Zahl \(z = 0, z_1 \neq x_{1,1}, z_2 \neq x_{2,2}, ...\)

Diese zahl unterscheidet sich an jeder stelle von mindestens einer anderen zahl und kommt daher nicht in \((r_n)\) vor. ⚡

⇒ \(\mathbb{R}\) ist überabzählbar

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\) für \(|q| < 1\)

Beweis

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n\) | multipliziere beide seiten mit \((1-q)\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k (1-q) = (q^0 + q^1 + q^2 ... + q^n) (1-q) = 1 - q^{n+1}\) | dividiere beide seiten mit \((1-q)\)
(teleskopsumme, \(q^0 * 1 = 1\), \(q^n * q = q ^{n+1}\))

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}\)

Für \(n \to \infty\) gilt deshalb

\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\)

\(q < 1\)

Die Reihe \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}\) konvergiert

\(q = 1\), \(q > 1\)

Die Reihe divergiert

Folge der Parzialsummen beschränkt

Sei \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n \) genau dann wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist.

Das heisst \(S_N \leq C \) für alle \(n \in \mathbb{N}\), wobei \(C \geq 0 \) eine Konstante ist

(PER DEFINITION)

Die Harmonische Reihe \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) ist divergent.

Beweis

\(\displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{N}\)

\(S_{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^k}\)

\(= 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + ... + \frac{1}{8}) + ... + (\frac{1}{2^{k-1}+1} + ... + \frac{1}{2^k})\)

\(\geq 1 + \frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 2^2\frac{1}{8} + ... + 2^{k-1}\frac{1}{k} = 1 + \frac{k}{2}\)

Die abschätzung für die Partialsummen sind nicht nach oben beschränkt, => die harmonische Reihe ist divergent.

Sei \((a_n)\) eine Folge in \(\mathbb{R}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) genau dann wenn gilt: für jedes \(\varepsilon > 0\) existiert eine Zahl \(N \in \mathbb{N}\) so dass

\(\displaystyle \left|\sum_{n=l}^{m} a_n\right| < \varepsilon\) für alle \(m \geq l \geq N\)

Beweis

Per definition konvergiert \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) genau dann wenn die Folge der Partialsummen \(S_N = \sum_{n=0}^N a_n\) konvergiert.
\(S_N\) konvergiert genau dann wenn es eine Cauchy-Folge bildet.
\(|S_k-S_{k'}|< \varepsilon\) für alle \(k,k' \geq N\)

\(S_k - S_{k'} = \sum_{n=0}^k a_n - \sum_{n=0}^{k'}a_n = \sum_{n = k' + 1}^k a_n\)

Sei \((a_n)\) eine monoton fallende Folge mit \(a_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)

Dann konvergiert die alternierende Folge

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n\)

Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) heisst absolut konvergent wenn auch \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|\) konvergent ist.

Absolute konvergenz impliziert konvergenz.

Sei \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n\) konvergent mit \(c_n \geq 0\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \((a_n)\) eine Folge mit \(|a_n| \leq c_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Dann konvergiert die Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n\) absolut.

\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n\) ist die Majorante

Eine Funktion ist stetig im punkt \(a \in D\) falls gilt

\(\displaystyle \lim_{x\to a} f (x) = f(a)\)