Analysis I & II UniBas Basel
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Gesammter Stoff für die Mündliche Prüfung,Enthält die wichtigsten Sätze aus dem SkriptUniBas Analysis I & II, HS2020 - FS2021
Kartei Details
| Karten | 93 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 05.01.2022 / 22.04.2025 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20220105_analysis_i_ii
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Satz über die Umkehrabbildung
Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \to \mathbb{R}^n\) eine stetig ableitbare Funktion.
Sei \(a \in U\) und \(b := f(a)\), sowie \(\det Df(a) \neq 0\).
Dann existieren offene Umgebungen \(U_0 \subset U\) von \(a\) und \(V_0 \subset \mathbb{R}^n\) von \(b\) so dass
\(f: U_0 \to V_0\) bijektiv ist und die Umkehrabbildung \(g = f^{-1}: V_0 \to U_0\) eine stetig ableitbare funktion ist.
Es gilt:
\(Dg(b) = (Df(a))^{-1}\)
Erklärung: Wenn die determinante der Jakobimatrix an der Stelle a nicht null ist, dann existiert eine umgebung um a an der die Funktion umkehrbar ist.
Libschitz Bedingung.
Globale Libschitz Bedingung
F genügt einer gobalen Libschitz bedingung mit der konstanten \(L \geq 0\) wenn
\(|| f(x,y) - f(x,\eta)|| \leq L || y-\eta||\) für alle \((x,y), (x,\eta) \in I \times V\)
F genügt einer lokalen Libschitz bedingung wenn für jeden punkt \((x_0, y_0)\) eine umgebung u sowie eine konstante L existiert so dass in dieser umgebund die globale libschitz bedingung erfüllt wird.
Existenzsatz von Picard Lindelöf
Für eine offene Menge \(I \times V \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \) und die stetige Funktion \(f: I \times V \to \mathbb{R}^n\) die einer lokalen Lipschitz Bedingung bezüglich y genügt, gilt:
Es existeiert zu jedem \((x_0, y_0) \in I \times V\) ein \(\varepsilon = \varepsilon(x_0, y_0) > 0\) und eine Lösung
\(y: [x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon] \to \mathbb{R}^n\)
der Differentialgleichung \(y' = f (x,y)\) mit der Bedingung \(y(x_0) = y_0\).
Quotientenkriterium & Beweis
Eine Reihe \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n\) mit \(a_n \neq 0\) konvergiert wenn ab einem \(n \geq n_0\) eine zahl \(\theta\) existiert so dass
\(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \leq \theta\).
Es genügt nicht \(\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\), es muss ein spezifisches \(\theta\) gefunden werden.
Beweis:
\(|a_n| \leq \theta|a_{n-1}| \leq \theta^2|a_{n-2}| \leq ... \).
Daher ist \(\sum_{n=0}^\infty|a_0|\theta^n\) ist eine majorante.
Geometrische Reihe
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_0|\theta^n = |a_0|\frac{1}{1-\theta}\).
Hinreichend/ nicht notwendig TODO
Einschliessungs-Kriterium/Sandwich-Kriterium
Seien \((a_n), (b_n), (c_n)\) Folgen, so dass \(a_n \leq b_n \leq c_n, \quad \forall n \geq N_0\).
Dann gilt \(a_n \to a \text{ und } c_n \to a \quad \Rightarrow \quad c_n \to a\).
Bemerkung \((a_n)\) und \((c_n)\) schliessen \((b_n)\) ein.
Beispiele Für Ableitungen (via Limes)
f(x) = c (konst)
f(x) = x
f(x) = x^2
f(x) = c konst
\(f'(x) =\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0\)
f(x) = x
\(f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{x+h - x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{h}{h} = 1\)
f(x) = x^2
\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)
\(= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x + h = 2x\)
Satz über implizite Funktionen
Für \(F(a,b) = 0\) existiert eine umgebung \(U\) um \((a,b)\) in welcher \(g(x)\) existiert mit \(F(x,g(x)) = 0\) genau dann wenn \(\frac{\partial F}{\partial y} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial F_1}{\partial y_n}\\ \vdots &&\vdots\\\frac{\partial F_m}{\partial y_1}&...&\frac{\partial F_m}{\partial y_n}\end{bmatrix}\) invertierbar.
Umkehrabbildung
Für \(f: U \to \mathbb{R}^n\) gilt:
Wenn \(\det D f(a) \neq 0\) dann gibt es eine offene Umgebung um \(a\) in der f bijektiv ist und
die umkehrabbildung \(g\) existiert mit:
\(Dg(f(a)) = (Df(a))^{-1}\)
BSP
\(f(x,y) = (x^2-y^2, 2xy)\)
\(Df(x,y) = \begin{pmatrix}2x & -2y\\2y & 2x\end{pmatrix}\)
\(det Df(x,y) = 2(x^2 + y^2) \neq 0\) für \((x,y) \neq (0,0)\)
Differential Gleichungen Beispiele
- \(y'=x^2*y^2\)
- \(y' = x^2 y\)
- \(y' = e^x y^2\)
\(y'=x^2*y^2\)
\(\frac{dy}{dx} = x^2y^2\)
\(\frac{dy}{y^2} = x^2 dx\)
\(\int \frac{1}{y^2}dy = \int x^2 dx\)
\(\frac{1}{-1}y^{-1} = \frac{1}{3}x^3 + C\)
\(y = - \frac{3}{x^3 + C}\)
Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf
\(\displaystyle y_{k+1}(x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_k(t))dt\)
BSP:
\(y' = 2xy, \quad y(0) = 1\)
\(y_1 = 1 + \int_0^x 2t*1 dx = 1 + x^2\)
\(y_2 = 1 + \int_0^x 2t * (1+ t^2) dx\)
Liste von Konvergenzkriterien für Reihen
- Folge der Partialsummen Konvergiert
- Geometrische Reihe
- Cauchy Kriterium
- Majorantenkriterium
- Leibnitz Kriterium
- Quotientenkriterium
Beispiele für Positiv Definite und Negativ Definite Matrix
Negativ Definit
\(\displaystyle \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{bmatrix}\)
Positiv Definit
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\)
(Hurwitz Kriterium)
Zeige mit dem Quotientenkriterium dass folgende Folge konvergiert:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\)
Quotientenkriterium: \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < \varepsilon\)
\(\left|\frac{\frac{1}{(k+1)^2}}{\frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{(k+1)^2}k^2\right| = \left|\frac{k^2}{k^2+2k+1}\right| = \left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right|\)
\(\lim_{k\to \infty}\left|\frac{1}{1 + \frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}\right| = \left|\frac{1}{1+0+0}\right| = 1 \leq \varepsilon\)
