Schwingungslehre

Das logarithmische Dekrement, Formelzeichen Λ ist ein Maß für das Dämpfungsverhalten in frei schwingenden Schwingungssystemen. Das logarithmische Dekrement errechnet sich aus dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Amplitude zweier beliebiger aufeinanderfolgender Ausschläge gleicher Richtung.

(Betragsmäßig) größter Ausschlag einer Schwingung (relativ zur Ruhelage)

o Anzahl der periodischen Wiederholung eines Vorganges während einer Zeitspanne

o Kehrwert der Periodendauer

o i.d.R. in 1/s=Hz

Argument der Winkelfunkton, die den momentanen Zustand der Schwingung beschreibt (Winkel 𝜑), welcher beim Einsetzen in die Winkelfunktionen cos/sin den aktuellen „Ausschlag“ liefert

Allgemein: eine Bahnkurve, die sich beispielsweise als Lösung einer Differentialgleichung ergibt

Die gemeinsame Darstellung aller Phasenkurven eines Systems bezeichnet man als Phasenportrait bzw. Phasenraum

(nur die Einhüllende zeichnen)

Hochabstimmung f: wird die Eigenfrequenz fe weit über die Erregerfrequenz f angeordnet, liegt eine Hochabstimmung vor

Tiefabstimmung f: wird die Eigenfrequenz fe weit unterhalb der Erregerfrequenz f angeordnet, spricht man von‚ Tiefabstimmung

Die Resonanzfrequenz ist die Frequenz, bei der die Amplitude eines schwingungsfähigen Systems größer ist als bei Anregung durch benachbarte Frequenzen. Teilweise wird unter Resonanzfrequenz auch die Frequenz verstanden, bei der der Ausgang einen Phasenwinkel von 90° zur Anregung hat (Phasenresonanz). Das ist bei der ungedämpften Eigenfrequenz der Fall. Bei schwach gedämpften Systemen ist dieser Unterschied gering. Abhängig von der Zahl der Freiheitsgrade des Systems gibt es auch mehrere Resonanzfrequenzen. Resonanzfrequenzen treten in Systemen mit mindestens zwei verschiedenartigen Energiespeichern auf. Bei einfachen (theoretischen) Systemen ohne Dämpfung ist die Resonanzfrequenz gleich der ungedämpften Eigenfrequenz (Kennfrequenz) f0. Bei gedämpften Systemen ist die Frequenz bei der die maximale Amplitude auftritt stets kleiner als die ungedämpfte Eigenfrequenz.

Freie Schwingungen – auch Eigenschwingungen genannt – sind Bewegungen eines Schwingers, der sich selbst überlassen ist und der keinen Einwirkungen von außen unterliegt. Es wird also während der Schwingung keine Energie von außen zugeführt, zum Beispiel: die Bewegungen eines einmal angestoßenen, dann aber sich selbst überlassenen Schwerependels. Die Berechnung von freien Schwingungen führt auf Differentialgleichungen, bei denen die rechten Seiten zum Verschwinden gebracht werden können.

Freie Schwingungen führt ein schwingfähiges System aus, das – nach einer Störung/Auslenkung sich selbst überlassen – je nach Dämpfung oszillierend oder „kriechend“ in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt. Die Frequenz der freien Schwingung ist die Eigenfrequenz des Schwingers. Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

Ansatz für die Gewinnung einer diagonalen Dämpfungsmatrix aus der Masse- und Steifigkeitsmatrix

Bei technischen Anwendungen ist die Dämpfungsmatrix B nicht genau bekannt. Annahme von B in der Form B = a1M + a2C um in bequemer Weise eine modale Dämpfung zu erreichen.

      o Nur gültig für kleine Dämpfungen

Projektion des Erregervektors auf die Eigenvektoren – liefert entkoppelte Differentialgleichungen für die Bewegungsgleichungen, die die Lösbarkeit vereinfachen

o Einführung der Modalmatrix 𝑉

o Koordinatentransformation entkoppelt einzelne Moden o Jede modale Gleichung entspricht einem Ein-Massen-Schwinger

o Einfach zu lösen

o Rücktransformation

Homogenes Anfangswertproblem → modale Entkopplung → entkoppelte Gleichungen → Lösung der entkoppelten modalen Gleichungen → Rücktransformation → Superposition der modalen Lösungen

Eine Modalanalyse wird zur Bestimmung der Eigenfrequenzen (Eigenwerte) und der Eigenformen (Eigenschwingungsformen) in der Strukturdynamik verwendet. Die Modalanalyse wird auch Eigenwertanalyse oder Eigenwertproblem genannt.

Wie: Modaltransformation

o Diagonalisieren der Massen-, Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix mit Hilfe der Modalmatrix führt zu entkoppelten Gleichungen

Voraussetzungen:

o Symmetrische Systemmatrizen

o Konstante Koeffizienten in den Systemmatrizen (Konstante Dämpfungs- und Federraten)

o Orthogonalität der Eigenformen durch Eigenvektoren erfüllt

Schwingungen treten auf, wenn ein schwingungsfähiger Körper (auch “Schwinger” oder “Oszillator” genannt) durch Energiezufuhr aus der Gleichgewichtslage (“Ruhelage”) ausgelenkt wird. Zusätzlich ist stets eine zur Ruhelage rücktreibende Kraft vorhanden, die den schwingenden Körper daran hindert die Bahn zu verlassen.

räumliche Bewegung: 6 Freiheitsgrade (3x Translation, 3x Rotation)

ebene Bewegung: 3 Freiheitsgrad (2x Translation, 1x Rotation)

Erklären Sie die Begriffe Eigenschwingungsform, Schwingungsknoten und Schwingungsbauch!