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Fichier Détails
| Cartes-fiches | 17 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 27.04.2021 / 08.05.2021 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/20210427_algebraische_grundstruktur
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| Intégrer |
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Sei (M, ∗) eine Halbgruppe. Beschreiben Sie mit eigenen Worten, was man unter dem neutralen Element in M versteht.
Das neutrale Element e ∈ M hat die besondere Eigenschaft, dass eine Verknüpfung mit einem beliebigen Element m ∈ M wieder m ergibt, d. h. es ist m ∗ e = e ∗ m = m.
Sei (M, ∗) eine Halbgruppe. Beschreiben Sie mit eigenen Worten, was man unter einem inversen Element versteht.
Das inverse Element zu einem Element m ∈ M hat die Eigenschaft, dass eine Verknüpfung hiermit das neutrale Element e ∈ M ergibt. Wenn m′ ∈ M das zu m inverse Element ist, dann gilt m ∗ m′ = m′ ∗ m = e.
Was ist eine abelsche Halbgruppe?
Eine Halbgruppe (M, ∗) nennt man eine abelsche (oder kommutative) Halbgruppe, falls für alle m1, m2 ∈ M das Kommutativgesetz gilt.
a + b = b + a
Was ist der Unterschied zwischen einer Halbgruppe und einer Gruppe?
Im Unterschied zu einer Gruppe muss eine Halbgruppe kein neutrales Element besitzen und nicht jedes Element muss invertierbar sein. Eine Gruppe ist also eine Halbgruppe mit neutralem Element, in der jedes Element invertierbar ist.
Zeigen Sie, dass (ℝ, +, ·) ein Ring ist.
Wir betrachten die Addition + : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch +(a, b) := a + b. Sie ist eine Verknüpfung auf ℝ, 0 ist das neutrale Element und für jedes a ∈ ℝ ist −a ∈ ℝ das inverse Element. Die Verknüpfung ist sowohl assoziativ als auch kommutativ. Damit ist (ℝ, +) eine abelsche Gruppe.
Die Multiplikation · : ℝ × ℝ → ℝ, definiert durch · (a, b) := a · b für alle (a, b) ∈ ℝ × ℝ, ist ebenfalls eine assoziative Verknüpfung auf ℝ mit 1 als neutralem Element. Damit ist (ℝ, ·) eine Halbgruppe mit neutralem Element.
Darüber hinaus gelten für + und · die genannten Distributivgesetze. Somit ist (ℝ, +, ·) ein Ring.
Sei (R, +, ·) ein Ring. Was versteht man unter der Einheitengruppe von R?
In R sind nicht unbedingt alle Elemente bezüglich · invertierbar. Die Menge der invertierbaren Elemente in R bezeichnet man mit R×. (R×, ·) ist eine Gruppe. Man nennt (R×, ·) die Einheitengruppe von R.
Definieren Sie den Begriff Tupel
Aufzählung von Objekten
Sei M eine Menge. Unter einem n-Tupel (oder kurz Tupel) verstehen wir eine Aufzählung von n Objekten m1, …, mn ∈ M in einer Liste. Wir schreiben ein solches Tupel als (m1, …, mn).
Definieren Sie den Begriff Verknüpfung
eine Abbildung ∗ von M × M nach M
Sei M eine nichtleere Menge. Eine Abbildung ∗ von M × M nach M, also ∗ : M × M → M, nennen wir eine Verknüpfung auf M. Statt ∗ ((m1, m2)) für m1, m2 ∈ M schreiben wir abgekürzt auch m1 ∗ m
Definieren Sie die Invertierbarkeit und geben Sie ein Beispiel dafür an
m′ ∈ M mit m ∗ m′ = m′ ∗ m = e. Beispiel:
In einer Halbgruppe (ℕ0, +) ist 0 das neutrale Element
Wie lautet der folgende Satz? Satz: Eindeutigkeit des neutralen Elements
Sei (M, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element. Dann ist dieses neutrale Element eindeutig bestimmt.
Wie lautet der folgende Satz? Satz: Eindeutigkeit des inversen Elements
Zeigen Sie diesen Satz für die Gruppe (ℝ\{0}, .).
siehe Lösung
Definieren Sie den Begriff Ring. Welche Eigenschaften sind gegeben?
Eine Menge R mit zwei binären Operationen + und · heißt Ring, wenn für diese Operationen die folgenden Gesetze gelten:
• (R,+) ist eine kommutative Gruppe.
• (R,·) ist Halbgruppe.
• Es gilt das Distributivgesetz.
Kommuntativer Ring
Ein Ring R heißt kommutativer Ring, wenn für · das
Kommutativgesetz gilt.
Definition: Ring mit Einheit
Gibt es ein neutrales Element e (oft mit 1 bezeichnet!)
bzgl. der Multiplikation ·, mit a · e = a = e · a für alle a, so spricht man von einem Ring mit
Einselement oder unitärer Ring oder Ring mit Einheit.
Ring DIstributivgesetz
In einem Ring (R,+,·) gilt immer:
a ·(b+c) = a · b+a · c und
(b+c)· a = b · a+c · a
für alle a,b, c ∈ R.
Ist (ℕ, +, ·) ein Ring? Begründen Sie Ihre Antwort
(ℕ, +, ·) ist kein Ring, denn es existiert kein neutrales Element in (ℕ, +).
Definieren Sie die Begriffe „invertierbare Elemente“ und „Einheiten“
invertierbar: wenn r in (R, ·) invertierbar ist Einheit: invertierbares Element r ∈ R
