5-6 Riemann Integral, Folgen und Grenzwerte

Die p-Norm mit \(p \in \mathbb R\) ist allgemein:   \(||v||_p = \left( \sum \limits_{i=1}^n |x_i|^p\right)^\frac{1}{p}\)

• 1-Norm:   \(||v||_1 = \sum\limits_{i=1}^n |x_i|\)
• 2-Norm, Euklidische Norm, Standardnorm:   \(||v||_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}\)
• \(\infty\)-Norm, sup-Norm, Maximumsnorm:   \(||v||_\infty = \max \{ |x_1|, \dots, |x_n|\}\)

Ähnlich für \(V = \mathcal C([a,b])\) den VR aller stetigen Fct \(f: [a,b] \to \mathbb R\)
\(L_1, L_2, .. ,L_\infty\)-Norm    mit  \(||f||_p = \left( \int_a^b |f(x)|^p \, dx \right)^\frac{1}{p}\)
 

Norm \(||\dots||_1\) und \(||\dots||_2\) sind äquivalent wenn  \(\exists A,B \in \mathbb R : \begin{matrix}||v||_1 \le A||v||_2 \ \forall v \in V \\||v||_2 \le B||v||_1 \ \forall v \in V\end{matrix}\)

Das trifft sowohl auf die p-Normen im \(V = \mathbb R^n\) wie auch im \(V = \mathcal C([a,b])\) zu. (mit \(p \in \mathbb N\backslash\{0\}\))

Unf für zwei Normen auf einem \(\mathbb K\)-VR gilt:

1. Sie sind äquivalent.
2. Die Identitätsabbildung \(||\dots||_1 \to ||\dots||_2\) bzw. \(||\dots||_2 \to ||\dots||_1\) ist stetig.
3. Eine offen Teilmenge ist bzgl. \(||\dots||_1\) offen, genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)
   Eine Folge konvergiert bzgl. \(||\dots||_1\), genau dann, wenn auch bzgl. \(||\dots||_2\)

Abbildung \(\langle .,. \rangle : V \times V \to K,\ (v,w) \to \langle v, w \rangle\)  mit:

1. Sesquilinearität
   \(\forall \alpha, \beta \in K, \ \ v_1,v_2,w_1,w_2 \in V : \,\)\(\langle \alpha v_1 + \beta v_2, w\rangle = \alpha \langle v_1, w\rangle + \beta \langle v_2, w\rangle \\ \langle v, \alpha w_1 + \beta w_2 \rangle = \bar \alpha \langle v, w_1 \rangle + \bar \beta \langle v, w_2 \rangle\)
2. Symmetrie  \(\langle v, w \rangle = \overline {\langle w, v \rangle}\)
3. positive Definitheit   \(\forall v \in V : \langle v,v \rangle \in \mathbb R _{\ge0}\)  und  \(\langle v,v \rangle = 0 \implies v = 0\)

Sei \(d \in \mathbb N\). So hat jede bzgl. der Euklidischen Norm beschränkte Folge in \(\mathbb K ^d\) einen Häufungspunkt und eine konvergierende Teilfolge.

Prähilbertraum

Also auch ein normierter Vektorraum, also auch ein Metrischer Raum.

\((X, \langle . , . \rangle ) \Longrightarrow (X, ||\dots ||) \,\)\(\Longrightarrow (X,d)\)

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie komponentenweise bzgl. der 1-Norm konvergiert.