Strömungsmechanik

• Volumenkräfte (zum Beispiel die Schwerkraft)
• Reibungskräfte ( \(\tau = 0\) wenn reibungsfrei)
• Druckkräfte (fallen weg bei einem Freistrahl)
• Körperkräfte (zum Beispiel Haltekräfte)

Wenn Inkompressibilit¨at angenommen wird, gilt \({\partial \rho \over \partial t} = 0\).
Damit sind keine Zeitabhängigkeiten mehr in der Gleichung vorhanden und es spielt keine Rolle, ob die Strömung stationär oder instationär ist. Die Kontinuitätsgleichung lautet dann: \(q · A = konstant\).

Der Massenstrom \(\dot m = \rho q A\) bleibt wegen des unveränderten Gesamtdrucks konstant.
Wasser kann als inkompressibles Fluid betrachtet werden, das damit ändert sich die Dichte nicht.
Wenn also der Querschnitt \(A\) verkleinert wird, steigt die Geschwindigkeit \(q\) und die Wurfweite des Strahls vergrößert sich.

Der Massenstrom beschreibt eine zeitlich transportierte Fluidmasse, der Volumenstrom den zeitlich von dieser Fluidmasse durchstreiften Raum.
Beide sind verknüpft durch die Gleichung \(\dot{m} =\rho \dot V\) . Bei konstantem Massenstrom ist in inkompressiblen Fluiden der Volumenstrom ebenfalls konstant, bei kompressiblen Strömungen verändert sich der Volumenstrom aufgrund der Dichteänderung.

Die Differenz der durch die Grenzen eines Kontrollvolumens ein- und austretenden Massenströme ist gleich der Verringerung der Masse innerhalb des Raumes.

Stationär bedeutet zeitunabhängig, also \({\partial \psi \over \partial t } = 0\).

a) Unter Vernachlässigung aller Störungen wie zum Beispiel Böen, Wirbel, Ablösungen
    → stationäre Strömung im Relativsystem, da zeitlich konstante Umströmung

b) Das Herz pumpt das Blut stoßweise duch den Körper → instationäre Strömung.

c) Im freien Fall wird der K¨orper mit \( g = 9, 81 {m \over s }\)beschleunigt → die Fallgeschwindigkeit und damit die Geschwindigkeit der Umströmung nehmen zu, instationär.

d) Geschwindigkeit des Wassers bleibt beim Ausströmen konstant → unter Vernachlässigung von Strörungen stationär

e) Die austretende Luft wird aus der Ruhe auf Austrittsgeschwindigkeit beschleunigt → instationär

In der Kurzzeitaufnahme sind die abgebildeten Striche den Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren proportional, aus ihnen lassen sich die Stromlinien darstellen.

Die Bahnlinie verbindet die zeitlich aufeinander folgenden Aufenthaltsorte eines Fluidelements, sie ist in der Langzeitaufnahme erkennbar.

\({D \psi \over D t}\) materielle, substitutielle oder totale Ableitung

\( {\partial \psi \over \partial t }\) lokale Ableitung (zeitliche Änderung an einem festen Ort)

\( (u · ∇)* \psi\) konvektive Ableitung (zeitliche Änderung eines FE infolge seiner Bewegung)

In der stationären Strömung wird \({\partial \psi \over \partial t } = 0\); an einem festen Ort ist dann die zeitliche Änderung gleich Null.

Die Eulersche ist eine raumfeste Beschreibung, sie entspricht einem Beobachter des Autos von einem festen Punkt der Straße aus. Wird die Bewegung vom Inneren des Autos betrachtet, entspricht das des Lagrangeschen, einer materiebezogenen Betrachtung.

Bei der Flüssigkeit kann die Dichte über der Höhe des Fluids als konstant angenommen werden (inkompressibel). Bei einem Gas werden untere Schichten durch das darüber liegende Gas komprimiert, die Dichte nimmt mit der Höhe ab. Für beide gilt das Hydrostatische Grundgesetz \({dp \over dh} = {−\rho g}\), unter Beachtung der Dichteabhängigkeit bei der Integration bei Gasen.

Der Wasserstand ist die Höhe des Wasserspiegels über einem bestimmten Bezugspunkt und kann mithilfe von Drucksonden gemessen werden. Diese messen die “Druckhöhe” \(h = {p \over \rho g}\) in dem Bezugspunkt. Zur Kompensation des Atmosphärendrucks ist die Sonde über eine Ausgleichsleitung mit der umgebenden Luft verbunden. Der Vorteil des Verfahrens liegt darin, dass der zeitliche Verlauf des Wasserpegels aufgezeichnet werden kann.

Volumenkräfte sind Kräfte, die ohne die Wirkung des umgebenden Fluids auf ein Massenelement wirken. Typische Beispiele sind die Schwerkraft oder die Zentrifugalkraft. Sie stehen im Gleichgewicht mit den Oberflächenkräften.

Zur Fortbewegung der Platte ist die Schubkraft \(F_{\tau}\) erforderlich. Die unterste Schicht der Fluide, die auf der Platte haften, werden mit der Geschwindigkeit der Platte mitbewegt (Haftbedingung). Aufgrund des Geschwindigkeitsgradienten zum ruhenden Wasser hin und der Viskosität des Wassers entsteht eine Schubspannung, die proportional zur Deformationsrate
ist.

In ruhenden Fluiden wirken ausschließlich Normalspannungen, in bewegten Fluiden wirken zusätzlich Schubspannungen.

Je größer die dynamische Viskosität \(\eta\), desto zähflüssiger das Fluid:

ideales Fluid ( \(\eta= 0 \)) - Luft - Wasser - Olivenöl - Honig - Glas.

Die kinematische Viskosität ist die dynamische Viskosität auf die Dichte bezogen. Die Dichte von Wasser ist viel größer als die von Luft, deshalb ist \(\nu_{Luft} > \nu_{Wasser}\).

Bei einem Newtonschen Fluid ist die Viskosität konstant, also unabhängig von der Verformungsgeschwindigkeit.
Bei Zahnpasta ist diese Abhnängigkeit ebenfalls linear, jedoch beginnt die Zahnpasta erst ab einer bestimmten Mindestschubspannung, der Fließgrenze \(\tau_0\) an zu fließen. Es handelt sich um ein Bingham-Fluid.

Die Druckverläufe ergeben sich aus dem hydrostatischen Grundgesetz: \(p_1 = {p_0 + \rho_1 g z}\)  und  \(p_2 = {p_1 + \rho_2 g z}\).

Dabei ist \(p_0\) der Umgebungsdruck. Der steilere Druckanstieg in der unteren Flüssigkeit folgt aus der größeren Dichte.

Aus dem Kräftegleichgewicht an den Bodendeckeln ergibt sich, dass die Kraft \(F\) im Moment des ersten Ausfließens gleich groß ist wie die durch das Wasser erzeugte Druckkraft.
Die Druckkraft ergibt sich aus dem Hydrostatischen Grundgesetz \(F = p·A = (p_0+\rho gH)·A\).
Da die Dichte \(\rho\) und die Bodenfläche \(A\) sowie die Höhe der Wassersäule \(H\) in beiden Behältern gleich sind, ist die Druckkraft gleich groß und es wird eine gleich große Kraft zum Zurückhalten des Wassers benötigt. Das Wasser fließt bei beiden Gefäßen zur gleichen Zeit aus.

\({\underline P} = \int_{KV} \rho {\underline u} dV\)

• Reibfreie Strömung (ausgenommen Reibung innerhalb des Fluids)
• Entlang einer Stromlinie oder einer Kurve in rotationsfreier Strömung
• Die Volumenkraft hat ein Potential

Die Auftriebskraft entsteht aus der Integration des Druckes über die Profiloberfläche.
Man kann sagen, sie entsteht aus der Druckdifferenz von Ober- und Unterseite. Bei der Anströmung des Profils wird die Strömung entlang der gewölbten Oberfläche beschleunigt.
Nach der Bernoulligleichung \(p+q = konstant\) nimmt damit der Druck ab.
Aufgrund des symmetrischen Profils ist die Beschleunigung und damit der Druckabfall auf Ober- und Unterseite gleich groß; es gibt keine Druckdifferenz und keinen Auftrieb.

Saugpumpen arbeiten nach dem Prinzip, dass durch einen Kolben ein Unterdruck erzeugt wird, der das Wasser nach oben saugt.
Bei einer Saughöhe von ca. 10m ist der entstehende Unterdruck (laut Bernoulligleichung \(p + q + \rho gh = konst\)) so groß, dass der Dampfdruck des Wassers unterschritten wird und die Pumpe ihre Funktion verliert.
In realen Pumpen ist die Saughöhe noch geringer, da Reibungsverluste, Undichtigkeiten und Temperaturschwankungen hinzu kommen.

Die Form des Strahls hängt allein von der Höhe des Wasserspiegels über dem Ausfluss ab.
Nach der Ausflussformel von Toricelli gilt: \(q = \sqrt{2 gh}\) (Herleitung im Script).
Das Wasser, das weiter unten ausfließt, hat eine größere Geschwindigkeit und wird deshalb in einen flacheren Bogen ausströmen.

In einer Zeit \(\Delta t\) sinkt beim Schließen des Ventils der Druck von der Fliegeschwindigkeit des Fluids auf Null ab. Laut Bernoulli steigt in gleichem Maße der Druck an.
Wenn die Schließzeit zu kurz wird, kommt es zu massiven Druckanstiegen, die Beschädigungen verursachen können.

Die Geschwindigkeit strömender Umgebungsluft lässt sich mit einem Prandtlschen Staurohr messen. Dabei wird ein hakenförmiges Rohr möglichst senkrecht in die Strömung gebracht.

Am vorderen Ende der Sonde wird ein Staupunkt erzeugt, hier ist die Geschwindigkeit gleich Null und es wird der Gesamtdruck gemessen.
An den seitlichen Bohrungen strömt die Luft mit der Geschwindigkeit \(q_{\infty}\), hier liegt lediglich der örtliche Druck \(p\) an. Aus
der Bernoulligleichung lässt sich aus dieser Druckdifferenz der Staudruck bestimmen:
\({\rho \over 2}q^2 = p_{ges} − p\).
Der Staudruck wird dann auf die Geschwindigkeitsanzeige kalibriert.
Diese Methode ist recht einfach, aber auch sehr zuverlässig. Sie wird daher in Segelflugzeugen, Rennautos und als Redundanzsystem in Verkehrsflugzeugen angewendet.

Die Zustandsgleichung \(p = \rho RT\) gilt und die spezifischen Wärmen \(c_p\) und \(c_v\) sind konstant.
Daraus können der Adiabaten-Exponent \(\kappa = {c_p \over c_v}\) und die spezifische Gaskonstante \(R = c_p − c_v\) gebildet werden.

Eine adiabate (ohne Wärmeabgabe an die Umgebung stattfindende) und reversible (nicht umkehrbare) Zustandsänderung kann als isentrop angesehen werden. Dabei ändert sich die Entropie nicht: \({Ds \over D t}= 0\).

Die Schallgeschwindigkeit ist definiert als \(a = \sqrt {\kappa RT}\) und damit abhängig von der Temperatur und vom Medium, in dem sie sich ausbreitet. Um zwischen Unter- und Überschall zu unterscheiden, bezieht man also die Geschwindigkeit auf die Schallgeschwindigkeit \(Ma={q \over a }\)  mit der Schallgrenze \(Ma =1\).

Bei Strömungsgeschwindigkeiten \(Ma \tilde{>} 0.3\)  kann die Kompressibilität (Dichteveränderlichkeit) der Luft nicht mehr vernachlässigt werden. Vor dem Flugzeug, das mit der Geschwindigkeit \(v\) fliegt, entstehen Dichte- und Druckstörungen, die sich mit Schallgeschwindigkeit in alle Raumrichtungen ausbreiten. Da \(v>a\) ist, liegt die Quelle der nächsten
Störung außerhalb des Einflussbereichs der letzten Störung. Verbindet man zu einem Zeitpunkt die Einhüllenden der Wellenfronten, erhält man den Machschen Kegel mit dem Halböffnungswinkel \(\alpha\).

Der Knall beim “Durchbrechen der Schallmauer” wird auf der Mantelfläche dieses Kegels wahrgenommen. Ein Beobachter am Boden wird ihn also hören, wenn er im Bereich des hyperbelförmigen Bodenkontakts des Kegels steht.

Nein, nur die Gesamtenergie im Ruhezustand kann in kinetische Energie umgewandelt werden. Die Geschwindigkeit ist beim Grenzfall des Ausströmens in ein Vakuum auf \(q_{max} = \sqrt{ {2a_0^2 \over \kappa} -1} \) begrenzt. Das lässt sich aus den Formeln für das Ausströmen aus einem großen Behälter herleiten. Dabei wird bei der maximalen Geschwindigkeit \(p=0 \) und \(T=0\).

Ein Verdichtungsstoß ist eine sprunghafte Veränderung aller Strömungsgrößen in einer Überschallströmung. Dabei steigen Druck, Dichte und Temperatur diskontinuierlich an, die Geschwindigkeit nimmt ab.

Nach der Lage der Stoßfront zur Stömungsrichtung unterscheidet man den senkrechten und schiefen Stoß. Beim senkrechten Stoß geht die Geschwindigkeit immer vom Über- in den Unterschall über, beim schiefen Stroß kann danach noch eine geringere Überschallgeschwindigkeit vorliegen.

Die Temperaturänderung folgt aus der inneren Reibung im Fluid.

Von außen wird keine Wärme zugeführt, jedoch nimmt durch die irrevesible Energieumwandlung die Entropie zu. Damit kann der Stoß nicht als isentrop betrachtet werden.

Beide sind konvergent-divergente Düsen, das heißt der Querschnitt verengt sich zuerst und erweitert sich dann wieder. Bei der Venturi-Düse bleibt die Strömung die ganze Zeit im Unterschall, sie wird zunächst beschleunigt und dann mit der Querschnittsverengung wieder verzögert.

In einer Lavall-Düse wird die Strömung so weit beschleunigt, dass sie im engsten Querschnitt \(Ma = 1\) erreicht. Hier nimmt die Strömung den kritischen Zustand ein, der mit \(*\) gekennzeichnet wird.

Im Bereich des Überschalls wird die Geschwindigkeit bei kleiner werdendem Querschnitt größer. Damit wird in der Laval-Düse die Strömung nach dem engsten Querschnitt weiter im Überschall beschleunigt.

Je nachdem, ob im kritischen Querschnitt \(Ma = 1\) erreicht wird oder nicht, liegt im weiteren Verlauf Über- oder Unterschall vor. Daher gibt es für jeden Querschnitt eine Mach-Zahl größer oder kleiner eins.