Strömungsmechanik

Ablösegefahr besteht nur im Gebiet verzögerter Strömung, also zum Beispiel auf der “Rückseite” einer angeströmten Kugel.

Transition nennt man den Umschlag von laminarer zu turbulenter Strömung. Sie wird von einer Reihe von Instabilitäten ausgelöst und setzt bei Überschreiten einer kritischen Reynoldszahl ein.

Die Grenzschicht ist der Übergang zwischen der Haftbedingung und der ungestörten Außenströmung. Entlang einer ebenen Platte nimmt die Dicke der Grenzschicht mit der Lauflänge und beim laminar-turbulenten Umschlag zu.

Turbulente Strömungen sind instationär, rotationsbehaftet und fluktuieren stark. Deshalb
beschreibt man sie statistisch durch die Zerlegung in einen Mittelwert und ihre Fluktuation \(\underline{u} = (\underline{u})+\underline{u′}\). Setzt man diese Mittelung in die Navier-Stokes-Gleichungen ein, erhält man die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS).

Die Beobachtungen lassen sich durch Wirbel oder Grenzschichten erklären:

a) Umströmung eines Kreiszylinders mit relativ hoher Reynoldszahl → periodische Ablösungen von Wirbeln → Druckstörungen → Schall

b) Kalte Luft um den Finger → nicht zu langsames Streichen durch die Flamme → Bildung einer Grenzschicht mit der bereits anhaftenden Luft → Hitze dringt nicht bis zur Haut durch

c) Durch die Zentrifugalkraft werden Teeblätter nach außen gedrückt, durch Grenzschicht am Boden wird das verhindert → Sammeln in der Bodenmitte

Herausstehende Nieten stören die Grenzschicht. Hinter den Nieten bilden sich aus den entstehenden Wirbeln Turbulenzkeile. Turbulente Strömung verursacht einen höheren Widerstand als laminare, was mehr Spritverbrauch und höhere Kosten bedeutet.

Die Geschwindigkeit \(q\) ändert sich bei ausgebildeter Strömung in Strömungsrichtung nicht, sie ist nur eine Funktion des Rohrradius \(r\). Der Druck \(p\) ändert sich mit der Lauflänge \(s\).

Die turbulente Rohrströmung besitzt aufgrund der turbulenten Querbewegungen ein “völligeres” Geschwindigkeitsprofil und einen größeren Reibungsdruckabfall als die laminare, gleichen Volumenstrom vorausgesetzt. Sie ist, streng genommen, immer instationär, während die laminare Strömung bei konstantem Volumenstrom stets stationär ist.

Die Strömungsform wird vom hydraulischen Durchmesser, von der kinematischen Zähigkeit
und der mittleren Geschwindigkeit, zusammengefasst zur Reynoldszahl \(Re_d={\overline{U}d\over \nu}\) , bestimmt. Die Grenze zwischen laminarer und turbulenter Rohströmung ist die kritische Reynoldszahl \(Re_{krit} ≈ 2300\).

Als laminare Unterschicht wird bei turbulenter Strömung die an die feste Wand grenzende Fluidschicht bezeichnet, in der die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen abklingen.

Ausgebildete laminare Strömung    \(\lambda={64\over Re_d}\)
Hydraulisch Rau                              \(\lambda= f({k_S \over d})\)
Hydraulisch Glatt                             \(\lambda= f(Re_d)\)
Übergangsbereich                           \(\lambda=f(Re_d,{k_S \over d})\)

Der Druckverlust äußert sich in der Gesamtdruckdifferenz über geraden Rohrstücken \(\Delta pV = \lambda {l \over d}{\rho \over 2} q^2\) oder über Einbauten \(\Delta pV = \zeta {\rho \over 2} q^2\).

Die Verluste in Bauteilen sind besonders groß, wenn sich die Strömung von der Wand ablöst, zum Beispiel an Ecken oder Kanten. Verbesserungen bringen hier Maßnahmen zur Verminderung der Ablösegebiete, wie zum Beispiel Abrunden von Kanten, große Krümmungsradien oder nicht zu große Erweiterungswinkel von Diffusoren. Eine weitere Ursache für Verluste sind Sekundärstömungen, deren Einfluss zum Beispiel durch Leitbleche verringert werden kann.

Der Druckverlust für Einbauten ist defniniert als \(\Delta pV = \zeta {\rho \over 2} q^2\). Er ist also direkt proportional zur Strömungsgeschwindigkeit. Folglich sind die Gesamtdruckverluste kleiner, wenn zuerst der Diffusor, dessen Zweck es ist die Strömung zu verlangsamen, eingebaut wird. Der Krümmer wird dann mit einer geringeren Geschwindigkeit durchflossen und der Gesamtdruckverlust ist geringer.

In einem hydraulische Dämpfer wird im Wesentlichen ein Kolben in einem ölgefüllten Zylinder geführt. Wenn der Kolben in den Zylinder bewegt wird, muss das Öl durch kleine Kanäle und Ventile ausströmen, wobei der Strömungswiderstand proportional zur Strömungsgeschwindigkeit ist. Die entstehenden Druckdifferenzen erzeugen die Dämpfungskräfte.

Bei Erreichen des absoluten Nullpunktes \(\vartheta = {-273,15°C}\); \(T = {0K}\) kommt die Molekularbewegung zum Stillstand.

• Windkanalversuche
• Strömungsmodelle für die Wettervorhersage
• Hydrologie, Bewässerung, Hochwasserschutz
• Numerische Simulation von Strömungen z.B. um einen Tragflügel

Die Idealgasgleichung lautet \(p = {\rho R T}\) . Sie gilt nur für ideale Gase, d.h. es wird angenommen, dass die Masse in einem Punkt konzentriert ist und zwischen den Teilchen keine Kräfte wirken.

Es können drei Größen berechnet werden.
Die Impulsgleichung ist eine Vektorgleichung mit den drei Komponenten in x-, y,- und z-Richtung.
Es ergibt sich für jede Richtung eine Gleichung.

Es ist günstig das Kontrollvolumen so zu legen, dass es die Impulsströme senkrecht schneidet.
Bauteile werden durchquert, wenn eine Haltekraft berechnet werden soll.
In dem Fall muss an dieser Stelle eine Schnittkraft oder ein Schnittmoment angesetzt werden.

• Volumenkräfte (zum Beispiel die Schwerkraft)
• Reibungskräfte ( \(\tau = 0\) wenn reibungsfrei)
• Druckkräfte (fallen weg bei einem Freistrahl)
• Körperkräfte (zum Beispiel Haltekräfte)

Wenn Inkompressibilit¨at angenommen wird, gilt \({\partial \rho \over \partial t} = 0\).
Damit sind keine Zeitabhängigkeiten mehr in der Gleichung vorhanden und es spielt keine Rolle, ob die Strömung stationär oder instationär ist. Die Kontinuitätsgleichung lautet dann: \(q · A = konstant\).

Der Massenstrom \(\dot m = \rho q A\) bleibt wegen des unveränderten Gesamtdrucks konstant.
Wasser kann als inkompressibles Fluid betrachtet werden, das damit ändert sich die Dichte nicht.
Wenn also der Querschnitt \(A\) verkleinert wird, steigt die Geschwindigkeit \(q\) und die Wurfweite des Strahls vergrößert sich.

Der Massenstrom beschreibt eine zeitlich transportierte Fluidmasse, der Volumenstrom den zeitlich von dieser Fluidmasse durchstreiften Raum.
Beide sind verknüpft durch die Gleichung \(\dot{m} =\rho \dot V\) . Bei konstantem Massenstrom ist in inkompressiblen Fluiden der Volumenstrom ebenfalls konstant, bei kompressiblen Strömungen verändert sich der Volumenstrom aufgrund der Dichteänderung.

Die Differenz der durch die Grenzen eines Kontrollvolumens ein- und austretenden Massenströme ist gleich der Verringerung der Masse innerhalb des Raumes.

Stationär bedeutet zeitunabhängig, also \({\partial \psi \over \partial t } = 0\).

a) Unter Vernachlässigung aller Störungen wie zum Beispiel Böen, Wirbel, Ablösungen
    → stationäre Strömung im Relativsystem, da zeitlich konstante Umströmung

b) Das Herz pumpt das Blut stoßweise duch den Körper → instationäre Strömung.

c) Im freien Fall wird der K¨orper mit \( g = 9, 81 {m \over s }\)beschleunigt → die Fallgeschwindigkeit und damit die Geschwindigkeit der Umströmung nehmen zu, instationär.

d) Geschwindigkeit des Wassers bleibt beim Ausströmen konstant → unter Vernachlässigung von Strörungen stationär

e) Die austretende Luft wird aus der Ruhe auf Austrittsgeschwindigkeit beschleunigt → instationär

In der Kurzzeitaufnahme sind die abgebildeten Striche den Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren proportional, aus ihnen lassen sich die Stromlinien darstellen.

Die Bahnlinie verbindet die zeitlich aufeinander folgenden Aufenthaltsorte eines Fluidelements, sie ist in der Langzeitaufnahme erkennbar.

\({D \psi \over D t}\) materielle, substitutielle oder totale Ableitung

\( {\partial \psi \over \partial t }\) lokale Ableitung (zeitliche Änderung an einem festen Ort)

\( (u · ∇)* \psi\) konvektive Ableitung (zeitliche Änderung eines FE infolge seiner Bewegung)

In der stationären Strömung wird \({\partial \psi \over \partial t } = 0\); an einem festen Ort ist dann die zeitliche Änderung gleich Null.

Die Eulersche ist eine raumfeste Beschreibung, sie entspricht einem Beobachter des Autos von einem festen Punkt der Straße aus. Wird die Bewegung vom Inneren des Autos betrachtet, entspricht das des Lagrangeschen, einer materiebezogenen Betrachtung.