Lineare Algebra I
Alle Lemmata und Korollare aus der Lineare Algebra I Vorlesung der Universität Heidelberg WS19/20
Alle Lemmata und Korollare aus der Lineare Algebra I Vorlesung der Universität Heidelberg WS19/20
Fichier Détails
| Cartes-fiches | 52 |
|---|---|
| Langue | Deutsch |
| Catégorie | Mathématiques |
| Niveau | Université |
| Crée / Actualisé | 23.12.2019 / 25.10.2020 |
| Lien de web |
https://card2brain.ch/box/20191223_lineare_algebra
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| Intégrer |
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Def. 3.1.
Eine \(m \times n\)-Matrix mit Einträgen in \(K\) ist ein Schema
\(\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n} &\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right)\) mit \(a_{ij} \in K\) für \(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\).
Die Menge der \(m\times n\)-Matrizen über \(K\) wird mit __________ bezeichnet.
Def. 3.1.
Eine \(m \times n\)-Matrix mit Einträgen in \(K\) ist ein Schema
\(\left(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1n} &\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right)\) mit \(a_{ij} \in K\) für \(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\).
Die Menge der \(m\times n\)-Matrizen über \(K\) wird mit \(M_{m,n}(K)\) bezeichnet.
Satz 2.28. (Homomorphiesatz für lineare Abb.)
Seien V , W Vektorräume und \(f: V\longrightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen natürlichen
Vektorraumisomorphismus
\(F:V/Kern(f) \tilde{\longrightarrow} \space Bild(f)\)
mit der Eigenschaft \(f=i\circ F \circ p\). Hier bezeichnet \(p:V \longrightarrow V/Kern(f)\) die
______________ und \(i: \space Bild(f) \longrightarrow W\) die ___________.
Satz 2.28. (Homomorphiesatz für lineare Abb.)
Seien V , W Vektorräume und \(f: V\longrightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gibt es einen natürlichen
Vektorraumisomorphismus
\(F:V/Kern(f) \tilde{\longrightarrow} \space Bild(f)\)
mit der Eigenschaft \(f=i\circ F \circ p\). Hier bezeichnet \(p:V \longrightarrow V/Kern(f)\) die
kanonische Projektion und \(i: \space Bild(f) \longrightarrow W\) die Inklusion.
Def.5.8.
Eine Bilinearform \(\gamma: V\times V\longrightarrow K\) heißt
symmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(?????\),
antisymmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(?????\)
Def.5.8.
Eine Bilinearform \(\gamma: V\times V\longrightarrow K\) heißt
symmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2\in V\),
antisymmetrisch \(\Longleftrightarrow\) \(\gamma(v_2,v_1)=-\gamma(v_1,v_2) \space \space \forall v_1,v_2 \in V\)
Def.5.5
Eine Bilinearform \(\gamma :V \times V \longrightarrow K\) heißt nicht ausgeartet, wenn die zugehörige Abbildung \(??????\) ein______________ ist. (andernfalls ausgeartet)
Def.5.5
Eine Bilinearform \(\gamma :V \times V \longrightarrow K\) heißt nicht ausgeartet, wenn die zugehörige Abbildung \(\Gamma:V\longrightarrow V^*\) ein Isomorphismus ist. (andernfalls ausgeartet)
Eine Bilinearform \(\gamma : V \times V \longrightarrow K\) ist in jedem Argument linear, d.h.
\(\gamma(av_1+bv_2,w)=??\)
\(\gamma(v,aw_1+bw_2)=??\)
Eine Bilinearform \(\gamma : V \times V \longrightarrow K\) ist in jedem Argument linear, d.h.
\(\gamma(av_1+bv_2,w)=a\gamma(v_1,w)+b\gamma(v_2,w)\)
\(\gamma(v,aw_1+bw_2)=a\gamma(v,w_1)+b\gamma(v,w_2)\)
Def 4.21.
Sei V ein K-Vektorraum. Eine __________ _________
auf V ist eine Abbildung
\(\alpha : \underbrace{V\times\cdot\cdot\cdot\times V}_{n-mal}\longrightarrow K,\)
die in jeder Variable (d.h. bei Festhalten der (\(n-1\)) anderen) linear ist. heißt
___________, wenn \((v_1,...,v_n)=0\)für jedes n-Tupel\((v_1,...,v_n)\) mit \(v_i=v_j\)
für irgendwelche \(i \not=j\) gilt.
Def 4.21.
Sei V ein K-Vektorraum. Eine Multilinearform (n-Form)
auf V ist eine Abbildung
\(\alpha : \underbrace{V\times\cdot\cdot\cdot\times V}_{n-mal}\longrightarrow K,\)
die in jeder Variable (d.h. bei Festhalten der (\(n-1\)) anderen) linear ist. heißt
alternierend, wenn \((v_1,...,v_n)=0\)für jedes n-Tupel\((v_1,...,v_n)\) mit \(v_i=v_j\)
für irgendwelche \(i \not=j\) gilt.
Alternierende n-Formen können addiert und mit Skalaren multipliziert werden
und bilden in natürlicher Weise einen ______________ von \(Abb(V^n,K)\), der
mit \(Alt^nV\) bezeichnet wird.
Spezialfall n = 1: \(Alt^1V=V^*\) (__________).
Alternierende n-Formen können addiert und mit Skalaren multipliziert werden
und bilden in natürlicher Weise einen K-Untervektorraum von \(Abb(V^n,K)\), der
mit \(Alt^nV\) bezeichnet wird.
Spezialfall n = 1: \(Alt^1V=V^*\) (Dualraum).
Satz.4.23.
Eine alternierende n-Form \(\alpha:V^n\longrightarrow K\) ist
(i) homogen
\(???????????????=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
(ii)scherungsinvariant
\(????????????????=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
\(\forall \lambda\in K, v_1,...,v_n\in V, i,j\in \{1,...,n\} \space \space i\not=j\)
Satz.4.23.
Eine alternierende n-Form \(\alpha:V^n\longrightarrow K\) ist
(i) homogen
\(\alpha(v_1,...,v_{j-1},\lambda v_j,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
(ii)scherungsinvariant
\(\alpha(v_1,...,v_{j-1}, v_j+\lambda v_i,v_{j+1},...v_n)=\lambda\alpha(v_1,...,v_n)\)
\(\forall \lambda\in K, v_1,...,v_n\in V, i,j\in \{1,...,n\} \space \space i\not=j\)
Satz 4.27.
(i) Die Determinante ist _______ in den Zeilen
(ii) Sind in A zwei Zeilen gleich, so gilt \(det(A)=?\)
(iii) \(det(E_n)=?\)
(iv) Die Determinante bleibt invariant unter der Zeilenumformung \(???????????????\)
(v) bei der Zeilenumformung \(????????\), multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda\)
Satz 4.27.
(i) Die Determinante ist multilinear in den Zeilen
(ii) Sind in A zwei Zeilen gleich, so gilt \(det(A)=0\)
(iii) \(det(E_n)=1\)
(iv) Die Determinante bleibt invariant unter der Zeilenumformung \(v_i\mapsto v_i+\lambda v_j, \space i\not=j, \lambda\in K\)
(v) bei der Zeilenumformung \(v_i \mapsto \lambda v_i, \lambda\in K^{\times}\), multipliziert sich die Determinante mit \(\lambda\)
Entwicklung nach der j-ten Spalte:
\(det(A)\stackrel{df}{=} \sum\limits?\)
Entwicklung nach der j-ten Spalte:
\(det(A)\stackrel{df}{=} \sum\limits^n_{i=0}(-1)^{i+j}a_{ij}\space det(A_{ij})\)
\(det(a)=?\)
\(det(a)=a\)
Satz 4.32.
Es gilt \(|A|=?\)
Satz 4.32.
Es gilt \(|A|=|A^t|\)
