PHB Statistik Klausurvorbereitung

Wahrscheinlichkeit, mit der ein Test ein „signifikantes“ Ergebnis ergibt, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese gilt („Fehler erster Art“), Spezifität

definiert als Flächenanteil unter der H0-Verteilung

wird a priori vom Forscher festgelegt (konventionell auf 5%)

Bereich um einen geschätzten Populationsparameter, für den gilt, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - α  den Populationsparameter enthält

Berechnung anhand des (geschätzten) Standardfehlers 

• wenn man (unendlich) viele Zufallsstichproben gleicher Größe aus der Population ziehen würde und
• für jede Stichprobe das KI berechnen würde,
• in 95 % aller KI der unbekannte Populationsparameter zu finden ist,
• in 5 % der KI hingegen nicht

ein Flächenanteil unter der Stichprobenkennwerteverteilung

Zeige nur die Variablennamen der Spalten 1-10

• Exakte vs. asymptotische Tests
• Parametrische vs. nonparametrische (verteilungsfreie) Tests

• robuste Verfahren
• Resampling-Verfahren

• Bei einem exakten Test folgt die Prüfgröße „exakt“ der zugrunde gelegten Verteilung (sofern die Voraussetzungen des Tests erfüllt sind)

• Bei einem asymptotischen Test folgt die Prüfgröße der zugrunde gelegten Verteilung „asymptotisch“, d.h. ihre Verteilung nähert sich der zugrunde gelegten Verteilung mit zunehmender Stichprobengröße an

  – Je kleiner die Stichprobe, desto größer der zu erwartende Fehler, den man begeht

Parametrische Tests setzen voraus, dass das Merkmal in der Population in einer spezifischen Weise verteilt ist  (z.B. Normalverteilung)

Nonparametrische Tests machen keine Annahmen zur Verteilung des Merkmals in der Population

• Zwei unabhängige Stichproben
• Normalverteilte Variablen in den zugrundeliegenden Populationen
• Varianzen der Variablen innerhalb der beiden Populationen sind gleich (Homoskedastizität)

Robuste Verfahren sind Verfahren, deren Ergebnisse nicht oder nur wenig durch Ausreißerwerte beeinflusst werden

Sinnvoll, wenn Ausreißer nicht eindeutig auf Fehler zurückgeführt und vor der Analyse ausgeschlossen werden können

Das Verfajrem reagiert nicht stark auf Verletzungen seiner Annahmen

Beim Resampling werden aus der vorliegenden Stichprobe ("sample") erneut Stichproben gezogen. 

Ziel ist es, die Verteilung der Prüfgröße oder der Stichproebenkennnwerte empirisch zu bestimmen. 

Zwei Ansätze: Bootsrapping & Rerandomisierung

1. Ziehen von k Zufallsstichproben der Größe n aus der Original Stichprobe (mit Zurücklegen)

2. Berechnung des Kennwerts in jeder Stichprobe

3. Die Verteilunh der Kennwerte über alle Stichproben ist die (empirisch erzeugte) "Quasi-Stichprobenkennwerteverteilung" --> Sie wird verwendet um Standardfehler und Konfidenzintervalle zu bestimmen 

1. Erzeugung von k zufälligen Aufteilungen der Werte zu Bedingung A und B

2. Berechnung des Kennwerts in jeder Aufteilung 

3. Die Verteilung der Kennwerte über alle Zufallsaufteilungen ist die (empirisch erzeugte) Kennwerteverteilung unter der Nullhypothese --> Sie wird verwendet um den p-Wert für den tatsächloch gefundenen Kennwert zu bestimmen 

Einfache Zufallsstichproben

Geschichtete Zufallsstichproben

Klumpenstichproben

Mehrschrittige Auswahlverfahren

Einzelfallanalyse

Missing completely at random (MCAR)

Missing at random (MAR)

Missing not at random (MNAR) 

Ob ein Wert fehlt oder nicht hängt weder von der betrachteten Variablen selbst noch von anderen erfassten Variablen ab

Beispiel: Im Februar wurden nur 7 zufällig ausgewählte Personen einbestellt und gemessen

Fehlende Werte (R) treten zwar systematisch auf, aber die relevanten Einflussvariablen (X) wurden erfasst

Beispiel: Im Februar wurden nur die 7 Personen einbestellt und gemessen, die im Januar Bluthochdruck hatten.

Fehlende Werte hängen von der Ausprägung der betrachteten Variablen selbst ab, und dieser Zusammenhang kann von anderen Variablen nicht (vollständig) erklärt werden

Beispiel: Im Februar wurden nur Messungen von den 7 Personen notiert, die im Februar Bluthochdruck hatten

• Missing completely at random (MCAR) ist am wenigsten problematisch, da vollkommen unsystematisch

• Missing at random (MAR) führt bei traditionellen Verfahren zum Umgang mit fehlenden Werten (z.B. fallweiser Ausschluss) zu verzerrten Ergebnissen

• Missing not at random (MNAR) ist schwierig in den Griff zu bekommen

statistisches Verfahren, mit dem versucht wird EINE metrischen abhängige Variable durch nur eine unabhängige Variable zu erklären

Ziele: Vorhersage von Merkmalsausprägungen & Erklärung von Merkmalsunterschieden

• Summe aller Abweichungen zwischen Messwerten und Mittelwert ist NULL

• Summe aller quadrierter Abweichungen zwischen Messwerten und Mittelwert ist minimal

Die Regressionsgerade wird so in den Punkteschwarm gelegt, dass die Summe der quadrierten Abstände der beobachteten Kriteriumswerte (Y) von der Regressionsgeraden ein Minimum ergibt

= Fehlerwert/ error

repräsentiert die DIfferenz bzw. den Abstand zwischen vorhergesagtem Wert y^ und beobachteten Wert y

• Die Summe aller Regressionsresiduen ist gleich 0 
• Die Summe aller quadrierten Residuen ist minimal 
• Die Korrelation zwischen Prädiktor und Residuen ist 0 
• Die Korrelation zwischen vorhergesagten Werten und den Residuen ist gleich 0

= Standardabweichung der Residuen

- Varianz der Residuen = Fehlervarianz

- Je größer die Korrelation zwischen X und Y, desto kleiner der Standardschätzfehler  

einfache lineare Regressionsgleichung 

AV = Achsenabschnitt (Intercept) + Steigung (slope) * UV + Regressionsresiduen

Die Varianz der abhängigen Variable Y lässt sich additiv in durch den Prädiktor erklärte Varianz und Fehlervarianz zerlegen 

Daraus ergibt sich der Determinationskoeffizient R² = standardisiertes Maß zur Güte der Vorhersage 

Der Anteil der aufgeklärten Varianz entsrpricht der quadrierten Korrelation und variert zwischen 0 (keine Vorhersage) und 1 (perfekte Vorhersage) 

Unstandardisierte Regressionsgewichte: Vorhersage bei intuitiv interpretierbaren oder etablierten Maßeinheiten (z.B. Geld, Zeit, IQ-Werte) 

Standardisierte Regressionsgewichte: Vergelich verschiedener Studien (mit unterschiedlichen Messinstrumenten) 

• Prognose von Merkmalsausprägungen bzw. Erklärung von Merkmalsunterschieden anhand mehrerer unabhängiger Variablen

• Berücksichtigung von Redundanzen (zwischen unabhängigen Variablen) und Kontrolle von Störvariablen

• Beschreibung von komplexen gerichteten Zusammenhängen

Modellgleichung multiple Regression

• Die Regressionsgewichte entsprechen nur dann den Gewichten aus k separaten (einfachen) Regressionsanalysen, wenn die UVs unabhängig voneinander sind (r = 0)

• Zur Bestimmung der Regressionsgewichte müssen daher die Korrelationen der UVs mitberücksichtigt werden

• Bei mehr als zwei UVs ist die Bestimmung kompliziert und wird matrix algebraisch vorgenommen

• Die betrachtete UV und die AV werden um alle Abhängigkeiten von den anderen UVs bereinigt (d.h. deren Einflüsse werden in seperaten einfachen Regressionen "auspartialisiert") 
• Die gewonnenen Regressionsresiduen werden in einer neuen einfachen linearen Regression als UV und AV verwendet, wobei sich das ergebende Regressionsgewicht dem multiplen Regressionsgewicht genau entspricht 
• Gibt den Teil des Einflusses der UV an, der nicht bereits durch die anderen UVs erklärt wird 

Wie einfacher linearer Regression: die Varianz der abhängigen Variable Y lässt sich additiv in durch die UVs erklärte Varianz und Fehlervarianz zerlegen 

Auch hier: multipler Determinationskoeffizient R² als standardisiertes Maß zur Güte der Vorhersage

- Anteil der aufgeklärten bzw. systematischen Varianz, entspricht der quadrierten multiplen Korrelation, variiert zwishcen 0 und 1