Multivariate Statistik und Datenanalyse: HLM

In multiplen Regressionsanalysen kann die Nützlichkeit einer UV anhand der inkrementellen Varianzaufklärung ΔR2 bezüglich der AV quantifiziert werden

Dies ist bei Mehrebenenanalysen aus zwei Gründen nicht so einfach möglich

– Es gibt nicht nur eine Residualvarianz, sondern Residualvarianzen auf Ebene 1 und 2: Dadurch entstehen verschiedene Möglichkeiten, die Varianzreduktion (die durch die Hinzunahme der UV erreicht wird) zu definieren

– Die geschätzte Residualvarianz auf Ebene 2 (d.h. der Achsenabschnitte) kann (verursacht durch Stichprobenfehler) bei Hinzunahme einer UV größer werden (was zu einer scheinbar negativen inkrementellen Varianzaufklärung führen würde)

→ Trotz dieser Schwierigkeiten können sog. „Pseudo-R2“Werte bestimmt werden, die angeben, wie groß die relative Reduktion bestimmter Varianzen durch Hinzunahme von UVs ist 

→ Eine weitere Möglichkeit ist die Bestimmung des marginalen und konditionalen R2 zur Quantifizierung der Güte des Gesamtmodells (Nakagawa & Schielzeth, 2013)

– Das marginale R2 entspricht dem durch den festen Teil des Modells erklärten Anteil der Gesamtvarianz

– Das konditionale R2 entspricht dem durch den festen und zufälligen Teil erklärten Anteil der Gesamtvarianz

– Die beiden Koeffizienten lassen sich anhand der Funktion r.squaredGLMM aus dem R-Paket MuMIn bestimmen

Die ML-Methode ist ein iteratives (schrittweises) Verfahren zur Schätzung der Parameter:

1. Im ersten Schritt werden für die Parameter plausible Startwerte ausgewählt und es wird berechnet, wie wahrscheinlich es ist, bei Geltung dieser Werte diebeobachteten Daten zu erhalten („Likelihood-Funktion“)

2. Im Folgenden werden die Parameter schrittweise so verändert, dass die Likelihood-Funktion immer größer wird

3. Das Verfahren „konvergiert“, wenn die Verbesserung der Likelihood-Funktion einen kritischen Wert unterschreitet (d.h. die Parameter gefunden wurden, bei deren Geltung die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximal ist)

Full-Maximum-Likelihood-Funktion (FML): hier wird der feste und der zufällige Teil des Modells simultan geschätzt

→ Beide ML-Funktionen führen bei hinreichend großen Stichproben zu ähnlichen Ergebnissen, können sich aber in den Schätzungen der zufälligen Komponenten unterscheiden

Restricted-Maximum-Likelihood-Funktion (RML): hier wird zuerst der zufällige Teil und dann der feste Teil des Modells geschätzt

→ Die RML-Funktion führt zu weniger verzerrten Schätzungen, bietet aber keine Möglichkeit Modelle inferenzstatistisch zu vergleichen, die sich hinsichtlich fester Effekte unterscheiden

In lme4 ist die RML-Methode standardmäßig voreingestellt; wenn man die FML-Methoden verwenden möchte, muss man das Argument REML = FALSE setzen (wie im Beispiel)

z.B. Lässt sich die Variation in den personenspezifischen Regressionsgewichten, d.h. im Effekt der positiven Ereignisse eines Tages (X) auf die internalisierenden Symptome (Y), anhand der Ausprägung der emotionalen Labilität (Z) erklären?

→ emotionale Labilität: Level-2-Variable

→ positive Ereignisse eines Tages: Level-1-Variable

1. Zentrierung am Gesamtmittelwert („grand mean centering“)
2. Zentrierung am personenspezifischen Mittelwert(„group/person mean centering“)

→ Empfehlenswert ist in den meisten Fällen die Zentrierung am Gesamtmittelwert

Parameter können inferenzstatistisch getestet werden, indem das vorliegende Modell mit einem restriktiveren Modell ohne den betreffenden Parameter verglichen wird

- Der hierzu verwendete „Devianztest“ entspricht exakt dem Likelihood-Ratio-Test*

- Es wird geprüft, ob die Hinzunahme des Parameters die Devianz signifikant verringert (d.h. die Likelihood-Funktion signifikant vergrößert)

Alternativ können die beiden Modelle auch deskriptiv anhand informationstheoretischer Maße* (z.B. AIC oder BIC) verglichen. werden

Dies ist bei Mehrebenenanalysen aus zwei Gründen nicht so einfach möglich:

– Es gibt nicht nur eine Residualvarianz, sondern Residualvarianzen auf Ebene 1 und 2: Dadurch entstehen verschiedene Möglichkeiten, die Varianzreduktion (die durch die Hinzunahme der UV erreicht wird) zu definieren

– Die geschätzte Residualvarianz auf Ebene 2 (d.h. der Achsenabschnitte) kann (verursacht durch Stichprobenfehler) bei Hinzunahme einer UV größer werden (was zu einer scheinbar negativen inkrementellen Varianzaufklärung führen würde)

Innerhalb der Level-2-Einheiten (z.B. Klassen) kann sich der Zusammenhang zwischen zwei Variablen ganz anders (z.B. mit anderem Vorzeichen) darstellen als über alle Level-2- Einheiten hinweg (d.h. ohne Berücksichtigung der Schachtelung)

- Das Random-Intercept-Modell beinhaltet UVs auf Ebene 1

- Das Modell erlaubt auf Ebene 2 Variation in den Achsenabschnitten (d.h. im Beispiel: Unterschiede im Ausmaß der internalisierenden Symptome zwischen Personen), aber nicht in den Regressionsgewichten

Random-Slope-Modell

Im Unterschied zum Random-Intercept-Modell erlaubt das Random-Slope-Modell zusätzlich

– Variation in den Regressionsgewichten
– Kovariation zwischen den Achsenabschnitten und den Regressionsgewichten

Random-Intercept-Modell

- Theoriegeleitet (man weiß, wie man die Daten erhoben hat)

- ICC (intraclass correlation) berechnen

- Kein klarer Cut-Off-Wert (ca. 5 %)

- einfache lineare Modelle nur bei ICC = 0 und sehr großen Stichproben (ab N=1000)

→ auf theoretischer Basis bei entsprechender Datenerhebung eigentlich immer HLM

Je stärker die Unabhängigkeitsannahme der Residuen verletzt ist (ICC ↑), desto stärker wird...

- die Residualvarianz unterschätzt (↓)

- der Standardfehler (der Regressionsgewichte) unterschätzt (↓)

- t-Werte werden zu groß (↑) → p-Werte werden zu klein (↓), fälschlicherweise signifikant

Random-Intercept-Modell

Slopevarianz

Nur zur Auftrennung der Varianz (der einzelnen Messwerte auf der AV) in Level-1- und Level-2-Varianz – ohne Prädiktor/UV

Random-Intercept-Modell

Random-Intercept-Modell

Random-Slope-Modell

Modellvergleich überprüft, welches Modell besser auf die Daten passt

- so kann beispielsweise einem weniger sparsamen Modell Vorzug gegeben werden

- z.B. bei stark unterschiedlichen Zusammenhängen innerhalb der Level-2- Einheiten

H0: Beide Modelle erklären die Daten exakt gleich gut.

Interpretation: Das Random-Slope Modell erklärt die Daten nicht signifikant besser als das Random-Intercept Modell, Chi(2) = 0.34, p = . 843. AIC und BIC sprechen ebenso für die Überlegenheit des Random-Intercept Modells. Das sparsamere Modell wird daher angenommen (RIM).

L1UVs klären Varianz in den einzelnen Messwerten auf (z.B. Unterschiede zwischen Messzeitpunkten)

L2UVs klären Varianz in den Kategorien/L2-Einheiten auf (z.B. Unterschiede zwischen Personen)

→ Variieren per Definition nur zwischen L2-Einheiten, einzelne Messungen haben hier innerhalb jeder L2-Einheit die selben Werte

Normale L2UVs klären Varianz in den personenspezifischen Intercepts auf (hier: Unterschiede im Ausmaß der positiven Affekte zwischen den Personen)

L2UVs mit CLI klären darüber hinaus noch Varianz in den personenspezifischen Steigungen/Slopes auf (hier: erklären Unterschiede im Einfluss von der Ungewöhnlichkeit eines Tages auf die positiven Affekte zwischen den Personen)

Ob eine L2UV nur Varianz in den Intercepts aufklärt oder auch einen CLI „mitbringt“ legen wir per Modellspezifikation ( + oder * ) fest