Multivariate Statistik und Datenanalyse: HLM

Bei einigen Formen der Stichprobenziehung kann es vorkommen, dass einzelne Messwerte nicht unabhängig voneinander sind.

- Ähnlichere Werte auf der AV

- unterschiedliche Zusammenhänge zw. UV und AV innerhalb abgrenzbarer Gruppen

→ Kategoriale Variable „wirkt“ im Hintergrund

Beispiel: Schüler innerhalb einer Klasse ähnlicher als zwischen den Klassen!

- Risiko falscher Schlüsse bei der Interpretation von Zusammenhangs- und Beeinflussungsstrukturen

- Risiko falscher Schlüsse bei der inferenzstatistischen Absicherung von Regressionsgewichten

Einen ökologischen Fehlschluss („ecological fallacy“) begeht man, wenn man einen Zusammenhang oder Effekt, der auf der Ebene von Level-2-Einheiten gefunden wurde, fälschlicherweise auf der Ebene von Level-1-Einheiten interpretiert.

Beispiel: Wenn man also fälschlicherweise vom negativen Zusammenhang zwischen Arbeitsbündnis und Symptomausprägung auf der Ebene von Therapeuten auf einen negativen Zusammenhang auf der Ebene von Patienten schließen würde. 

Anhand der Intraklassen-Korrelation („intraclass correlation“, ICC) kann der Anteil der Varianz zwischen Level-2-Einheiten an der Gesamtvarianz einer Variable bestimmt werden.

Die ICC variiert zwischen 0 und 1 und drückt aus, wie ähnlich sich zwei Werte sind, die aus der gleichen Level-2-Einheit stammen

1. Man kann die Variable, die für systematische Unterschiede in der AV zwischen den Level-2-Einheiten sorgt (z.B. therapeutische Kompetenz), mit in die Regressionsgleichung aufnehmen

Aber: Meistens gibt es nicht nur eine Ursache bzw. die relevanten Variablen sind nicht einfach messbar

2. Man kann die Zugehörigkeit zu einer Level-2-Einheit mittels Codiervariablen in der Regressionsgleichung berücksichtigen

Aber: Bei n Level-2-Einheiten werden n-1 Codiervariablen benötigt

3. Idealerweise werden hierarchische lineare Modelle bzw.„Mehrebenenmodelle“ verwendet

1. Voraussetzungen:

Die Residuen auf Ebene 1 sind unabhängig und identisch normalverteilt (mit einem Erwartungswert von 0 und einer Varianz, die dem Modellparameter folgt)

Die Residuen auf Ebene 2 sind unabhängig und identisch multivariat normalverteilt (mit Erwartungswerten gleich 0 und einer Varianz- Kovarianz-Matrix, die dem Modell folgt)

Regressionsdiagnostik

Ob die Voraussetzungen verletzt sind und/oder einflussreiche Datenpunkte vorliegen, kann mit Methoden der Regressionsdiagnostik überprüft werden (z.B. implementiert im R-Paket HLMdiag)

2. Verletzung der Voraussetzungen: 

- Die Schätzung der festen Parameter ist relativ robust gegenüber einer Verletzung der Voraussetzungen (z.B. bezüglich Normalverteilung)

- Die Schätzung der zufälligen Parameter, insbesondere auf Ebene 2, kann dagegen bei Verletzung der Voraussetzungen zu verzerrten Ergebnissen führen

→ eine gute Absicherung gegen inferenzstatistische Fehlschlüsse ist eine große Anzahl von Level-2 Einheiten (z.B. > 100)

In multiplen Regressionsanalysen kann die Nützlichkeit einer UV anhand der inkrementellen Varianzaufklärung ΔR2 bezüglich der AV quantifiziert werden

Dies ist bei Mehrebenenanalysen aus zwei Gründen nicht so einfach möglich

– Es gibt nicht nur eine Residualvarianz, sondern Residualvarianzen auf Ebene 1 und 2: Dadurch entstehen verschiedene Möglichkeiten, die Varianzreduktion (die durch die Hinzunahme der UV erreicht wird) zu definieren

– Die geschätzte Residualvarianz auf Ebene 2 (d.h. der Achsenabschnitte) kann (verursacht durch Stichprobenfehler) bei Hinzunahme einer UV größer werden (was zu einer scheinbar negativen inkrementellen Varianzaufklärung führen würde)

→ Trotz dieser Schwierigkeiten können sog. „Pseudo-R2“Werte bestimmt werden, die angeben, wie groß die relative Reduktion bestimmter Varianzen durch Hinzunahme von UVs ist 

→ Eine weitere Möglichkeit ist die Bestimmung des marginalen und konditionalen R2 zur Quantifizierung der Güte des Gesamtmodells (Nakagawa & Schielzeth, 2013)

– Das marginale R2 entspricht dem durch den festen Teil des Modells erklärten Anteil der Gesamtvarianz

– Das konditionale R2 entspricht dem durch den festen und zufälligen Teil erklärten Anteil der Gesamtvarianz

– Die beiden Koeffizienten lassen sich anhand der Funktion r.squaredGLMM aus dem R-Paket MuMIn bestimmen

Die ML-Methode ist ein iteratives (schrittweises) Verfahren zur Schätzung der Parameter:

1. Im ersten Schritt werden für die Parameter plausible Startwerte ausgewählt und es wird berechnet, wie wahrscheinlich es ist, bei Geltung dieser Werte diebeobachteten Daten zu erhalten („Likelihood-Funktion“)

2. Im Folgenden werden die Parameter schrittweise so verändert, dass die Likelihood-Funktion immer größer wird

3. Das Verfahren „konvergiert“, wenn die Verbesserung der Likelihood-Funktion einen kritischen Wert unterschreitet (d.h. die Parameter gefunden wurden, bei deren Geltung die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten maximal ist)