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Kartei Details
| Karten | 13 |
|---|---|
| Sprache | English |
| Kategorie | Mathematik |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 15.06.2018 / 17.06.2019 |
| Weblink |
https://card2brain.ch/box/20180615_bl_6002_classical_models_in_biology
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Was sind die Vorteile eines mathematischen Modells im Vergleich zu einem verbalen Modell?
- Detektion einer Unübereinstimmigkeit, welche der verbalen Formulierung entgangen sein könnte
- die Möglichkeit und relativen Sicherheit, mit der man deduktive abläufe arbiträrer Länge mit einer zumutbaren Aussicht auf Korrektur machen kann. Dies ist nicht einfach in verbalen Deduktionen --> macht man auch nur schon wenig deduktionen wird es im verbalen modell schwierig zu sagen, ob die schlussendliche aussage noch mit der initialen übereinstimmt
- Das Phänomen quantifizieren oder bestimmte Aspekte davon
Was sind die 3 Hauptbestandteile eines mathematischen Modells?
- Ein set von variablen: manche von ihnen unbekannt
- Ein set von parameter: müssen als gegeben betrachtet werden
- Ein set von Hypothesen: ermöglichen die Verbindung von Variablen und Parameter in einer quantitativen Art
Malthusian model:
- aim of the model?
- differential equation and its parameters
- solution to the differential equation
- Graph: N(t) over time for r = 0, r>0, r<0? (also b and d paramters?)
- flaws of the malthusian model?
AIm: to find a model describing population growth
Diff eq.: \(N'(t) = rN(t)\), where r = population's intrinsic rate of increase and r = b-d, where b: instantaneous birth rate and d: inst. death rate
Solution to diff eq.: \(N(t) = N(0)e^{rt}\)
Flaws:
- all individuals are considered equal (no difference between age, gender etc)
- r: is considered constant
- r > 0, N(infinite)
What is the growth rate per capita according to Malthus?
\(N'(t) = rN(t)\) ⇔ \(r = {N'(t)/N(t)}\) = growth rate per capita (per individual)
Aim: render population intrinsic growth (r) decreasing with respect to N and limit the population as t-> infinity
- Diff eq. = \(N'(t) = dN/dt = N(r-αN)\)
- r = intrinsic growth
- alpha = intraspecific competition
- Solution to diff. eq: \(N(t)= {K\over {K-N(0)\over N(0)}e^{-rt} + 1}\)
Definition eines equilibrium punktes?
Ein equiblibriumspunkt der Gleichung u' = f(u) ist eine konstante Lösung der Gleichung, i.e. eine, für die u' = 0 gilt. Man muss also die Nullpunkte von f(u) finden.
Levin's paradox und die Lösung
ist der Spezialfall, wenn r < 0 -> negative per capita growth rate
, N(0) > k = Population ist grösser als die Tragekapazität
--> die Population wächst, obwohl die per capita growth rate negativ ist.
GInzburg paradox
Wenn man einen mortaliätsterm substrahiert, aber N > K, dann wird der Mortalitätsterm positiv -> i.e. zusätzliche Mortalität führt zu neuen individuen
Kermack-McKendrick Model:
- aim
- Equations for susceptible and Infected
- equilibrium points?
- S(0) >= 0 and I(0) = 0? S(0) = 0 and I(0) > 0? S(0) > 0 and I(0) > 0
- First value integral
Aim: Description of an epidemic in a closed population (no immigration or emigration), where natality and mortality fue to any other cause are neglected (i.e. a short epidemic).
Assume: the survivors of the epidemic are immune
Equations:
- S'(t) = -αS(t)I(t) --> Instantaneous change of susceptible individuals
- I'(t) = αS(t)I(t) - γI(t) --> Instantaneous change of infected individuals
Study of the system:
- S(0) >= 0 and I(0) = 0: Will stay indefinitely long at this point, since it is an equilibrium points
- S(0) = 0 and I(0) > 0: Decreasing line on the I(t) axis
- S(0) >0 and I(0) > 0:
- solution cannot reach I = 0 or S = 0 in a finite amount of time
First value integral:
is constant
Bernoulli smallpox model:
- aim
- what did he have initially?
- How did he go about it?
Aim: Eine überlebenstabelle aufbauen für eine komplett Vakzinierte Population ohne Smallpox, wo 1 pro 200 personen aufgrund der Vakzination selber sterben. Würde die Mortalitätsrate m(t) geben.
Was hatte er initial?
- β := Infektionsrate mti Smallpox in susceptible individuen pro Zeiteinheit (Jahre) -> β ≈ 1/8 (1/Jahre)
- v := Proportion von Smallpox infizierten Individuen, welche von Smallpox sterben -> v ≈ 1/8
- 1/N := Fraktion der Menschen, welche nach einer Vakzination sterben
- Halley's life table:
- alle möglichen Todesursachen
- überleben in einer best. Kohorte
- überlebende in der Kohorte zur Zeit t
Wie hat er es gemacht?
- Schritt:
- mortalitätsrate ohne Smallpox berechnet μ(t)
- Anzahl susceptibles zu Smallpox finden S(t)
- Schritt: Die Poportion ohne Smallpox Q(t) berechnen
- Schritt: Vakzination: die Lebenserwartung nach Vakrination und ohne smallpox berechnen
Lotka-Volterra model
- Aim
- Equations and terms
- Phase space
Aim: Describe a predator (P) prey(N) interaction system in the environment.
Equations:
- \(P'(t) = -Pm + βPN\)(Predator)
- \(N'(t) = Nr - αPN\)(prey)
where: alpha = predation rate and Beta is called the conversion factor (nicht das gleiche alpha wie beim logistic!!)
Isoclines:
- N'(t) \(= N(r-αP) <-> P = r/α\)
- P'(t) \(= P(-m + βN) <-> N = m/β\)
What happens when you add the logistic break to the lotka volterra model?
It loses its periodicity and the it starts to spiral and decrease.
Luria-Delbrück Model
- aim
- Hypotheses
- how did they find it out?
- Ziel ist es, herauszufinden ob die Bakterien durch induktion einer Mutation oder durch selektion resistent zu bakteriophagen weden
Hypothesen:
- Hc: Contact hypothesis, resistance is acquired by contact with the virus:
- Number of resistant bacteri is proportional to the total number of bacteria and the probabiblity for a bacteria to acquire immunity by contact
- number of resistant colonies should be more less the same in all plates
- Hm: bacterial resistance is acquired by spontaneous mutation during cell division
- number of bacteria resistant depends on the number of cell divisions between the mutation enzyme and the introduction of bacteriophage
- variable proportions of resistant bactera from plate to plate
- LD supports the mutation hypothesis
