Wellenausbreitung 2018

\(\vec{F} = q \cdot (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\)

Effektive Ladungsfreiheit ist gegeben, wenn die dielektrische Relaxationszeit im Vergleich zum betrachteten Zeitraum klein ist. Generell beschreibt diese Relaxationszeit, wie schnell sich Ladungsausgleichsvorgänge innerhalb eines Materials stattfinden.

Bei effektiver Ladngsfreiheit gilt: \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\)

Für Kupfer gilt: \(\tau_D = \frac{\epsilon}{\sigma} \approx 10^{-19}s\)

\(\vec{\nabla} \cdot \vec{S} + \frac{\partial}{\partial t} \rho = 0\)

Die räumliche Änderung des Konduktionsstromes muss gleich der negativen zeitlichen Änderung (Abnahmerate) der Ladung sein.

\(\vec{\nabla}...\text{Ortsableitung }(\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} ) \\\vec{S}... \text{Stromdichte } [\frac{A}{m^2}] \\ \rho... \text{elektrische Raumladungsdichte } [\frac{As}{m^3}]\)

\( \vec{P}(t) = \vec{E}(t) \times \vec{H}(t) \\\vec{T} = \frac{1}{2} (\vec{E} \times \vec{H}^*) = \vec{T}_w + j \vec{T}_b \\ \vec{T}_w = Re\{\vec{T}\} ... \text{ Wirkleistungsflussdichte } \\ \vec{T}_b = Re\{\vec{T}\} ... \text{ Blindleistungsflussdichte } \)

Abnahme der elektromagnetischen Energie = Abstrahlung + Dispersion
\(\displaystyle-\frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathcal{V}}(w_e(t) + w_m(t)) \mathrm{d}V = \int_\mathcal{A} \vec{P}(t) \cdot \mathrm{d}\vec{F} + \int_\mathcal{V} p_v(t) \mathrm{d}V\)

Der Imaginärteil beschreibt die räumliche Dämpfung (in Ausbreitungsrichtung) \(jk_z = \gamma = \alpha + j\beta\)

Die Wellenzahl \(k = \frac{\omega}{v} = \omega \sqrt{\mu \epsilon}\) beschreibt, wie die Wellenlänge \(\lambda = \frac{2 \pi}{k}\), die räumliche Periodizit-t einer Welle.
Die Kreisfrequenz \(\omega\) beschreibt die zeitliche Periodizität der Welle.

Die Wellenzahl hängt vom Medium ab, die Frequenz nicht!

\(\displaystyle \lambda = \frac{c_0}{f} = \frac{2.998 \cdot 10^8}{1 \cdot 10^9} m = 0.2998m\)

\(e_x(z,t) = a_1 f_1(z - vt) + a_2 f_2 (z + vt) \\ e_x(z,t) = e^+_x(z,t) + e^-_x(z,t)\)

Separationsansatz: heißt auch Trennungs- bzw Produktansatz
\(\Psi (x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)\)

mit zugehöriger Separationsbedingung:
\(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \omega^2 \mu \delta\)

Wenn die y- und z-Koordinate konstant gehalten werden und nur eine Veränderung in x-Richtung betrachtet wird, dann muss gelten: \(\displaystyle \frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2}{\partial x^2} X(x) = -k_x^2\)

Reflexion: Reflexion an Grenzflächen für TE- und TM Wellen unterschiedlich
--> Änderung der Polarisation ( kann auch als Polarisationsfilter verwendet werden)

induzierte Ströme in Antenen ändern Antenneneigenschaften und können als Sekundärstrahler wirken

Boden kann als Sekundärstrahler wirken, wenn Antennen zu nah am Boden aufgestellt werden und dort Ströme induzieren.

Dämpfung für vertikale und horizontale Polarisation unterschiedlich
--> Änderung der Polarisationseigenschaften des Gesamtfeldes (zb: Wälder dämpfen vertikal polarisierte Felder starker als horizontal polarisierte)

Beugung: In der unmittelbaren Nähe von beugenden Kanten sind polarisationsabhängige Beugungseffekte zu beobachten

In der Ionosphäre erfolgt eine Drehung der Polarisationsrichtung aufgrund unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten (vormagnetisiertes Plasma) --> Faradayeffekt

Der Brewsterwinkel ist der Einfallswinkel unter dem es keine Reflexion gibt. Die Gesamtleistung wird transmittiert. Tritt nur bei TM-Wellen auf.

\(\displaystyle \tan (\theta_B) = \sqrt{\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}}= \frac{n_2}{n_1} = n\)

\(\theta_B = \arctan(\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}})= \arctan(\frac{n_2}{n_1}) \\ \theta_{VG} = 56.31° \\ \theta_{GV} = 33.69°\)

Die Eindringtiefe ist jene Tiefe, bei der die Feldstärke auf den \(e^{-1}\)-fachen Wert abgesunken ist.

\(\displaystyle d = \frac{1}{\alpha} \approx \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}}\\ \omega ... \text{ Kreisfrequenz } [s^{-1}] \\ \mu ... \text{ Permeabilität } [\frac{Vs}{Am}] \\ \sigma ... \text{ spez. Leitfähigkeit } [\frac{S}{m}]\)

Bei Materialien mit endlicher Leitfähigkeit \(\sigma\) gilt:

\(\displaystyle \delta = \varepsilon - j \frac{\sigma}{\omega} = \varepsilon (1 - j s) \\ s = \frac{1}{Q} = \tan(\theta) = \frac{\sigma}{\varepsilon \omega} \\ Q ... \text{ Güte}\)

Unter allen ausbreitungsfähigen Wellen eines Wellenleiters gibt es stets einen Wellentyp mit der niedrigsten Grenzfrequenz (größten Wellenlänge). Er wird Grundwelle genannt. Die Grundfrequenz ist von den geometrischen Abmessungen und der Dielektrizität bzw. Permeabilität bestimmt. 
(Parallelplattenleitung: TEM-Welle, Grenzfrequenz ist 0 Hz)
Modus: Gesamter Wellenberg hat Platz in Leitung

Ein Modus ist jede Welle, bei welcher eine natürliche Zahl m von halben Wellenlängen zwischen den Platten hineinpassen. Jede dieser Zahlen bestimmt einen Modus. (Es gibt dann genau genommen immer 2 zugehörige Wellen: Je nachdem ob wir \( \vec{E}\) in Einfallsebene oder senkrecht dazu annehmen. [TE- bzw TM-Wellen])

Unterscheiden sich zwei Moden nicht in ihren Ausbreitungseigenschaften, sondern nur durch ihr Feldbild, spricht man
von entarteten Wellentypen.

\(Z_{PV} = \eta \frac{d}{w} \\ d ... \text{ Plattenabstand }[m] \\ w ... \text{ Plattenweite }[m] \\ \eta ... \text{ Mediumswellenwiderstand }[\Omega] \)

TEM-Welle in z-Richtung
Plattenabstand d; Plattenweite w;
E und H Feld in Einfallsebene; E senkrecht auf untere Platte; H in Plattenebene rechtswendig zu E; 
k in z-Richtung

TE₁₀-Modus
\(\displaystyle \lambda_G = 2a \\ \lambda_H = \frac{\lambda}{\sqrt{1-(\frac{\lambda}{\lambda_G}})^2}\)

\(\displaystyle v_P = \frac{c}{\sqrt{1 - \big( \frac{\lambda}{\lambda_G} \big)^2 }} \quad \quad v_G =c \sqrt{1 - \big( \frac{\lambda}{\lambda_G} \big)^2 }\)

\(\displaystyle \lambda_H = \frac{\lambda}{\sqrt{1-\big(\frac{\lambda}{\lambda_G}\big)^2}}\)

\( \displaystyle f_c = \frac{c_0}{2 a} =4.996Ghz \quad \quad f_{C\_Bottom} =1.2 \cdot f_c = 5.996GHz\\ f_1 < f_{C\_Bottom} \quad \quad \text{keine Ausbreitung möglich} \\ f_2 > f_{C\_Bottom} \quad \quad \text{Ausbreitung möglich }(H_{10})\)

Abb. 6.2 
\(\displaystyle v_P = \frac{c}{\sqrt{1 - \big( \frac{\lambda}{\lambda_G} \big)^2 }} \quad \quad v_G =c \sqrt{1 - \big( \frac{\lambda}{\lambda_G} \big)^2 } \\ c = \frac{c_0 } {\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}\)
y-Achse: v/c
x-Achse: \(\displaystyle \frac{\lambda}{\lambda_G}\)

\(\frac{v_P}{c} = \frac{\lambda_H}{\lambda}\quad ... \text{ geht nach oben} \\ \frac{v_G}{c} = \frac{\lambda_H}{\lambda}\quad ... \text{ geht nach unten}\)
 

Abb 6.7
Moden nähern sich HEW - Geraden an, welche vom Ursprung aus startet.
y-Achse: k_Z(f) in rad/m
x-Achse: f (in 0.5GHz Schritten)

Rechteckhohlleiter: TE₁₀
Koaxialkabel und Parallelplattenleitung: TEM

Abb 7.1
rechtswendiges Koordinatensystem
E-Vektor durchgezogen zur MItte
H-Vektor strichliert radial
 

Die dielektrischen Verluste sind proportional zur Frequenz --> a = 1
\(\displaystyle \alpha_D = k_E \frac{s}{2} \qquad \frac{\varepsilon^{''}}{\varepsilon^{'}} = \tan \theta = s \qquad \alpha_D = \frac{\pi}{\lambda}\tan\theta\)

schlecht, da Verluste direkt proportional mit der Frequenz ansteigen. 
--> für hohe Frequenzen werden hohe Feldstärken notwendig

\(\text{ohmsche Verluste: } \propto \sqrt{\omega} \\ \text{dielektrische Verluste: } \propto \omega \\ \text{Abstrahlungsverluste: hauptsächlich geometrieabhängig }\)

Dispersionsbegrenzung: Beschreibt die Verzerrung des Signals. Bezeichnet das breiter werden von schmalen Pulsen und schlussendlich das ineinanderlaufen (ISI - Intersymbolinterferenz)

Dämpfungsbegrenzung: Beschreibt die Verzerrung des SNR. Begrenzung durch Signalstärke, Signal geht im Rauschen unter.

\(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\)

\(\displaystyle \vec{A}(\vec{r}) = \mu \int_{\mathcal{V}'} \frac{\vec{S}_e(\vec{r}')e^{-jk|\vec{r}-\vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}\mathrm{d}V'\)

Abb 11.1
Das magnetische Vektorpotential berechent sich Punkt für Punkt aus obiger Gleichung.
Hier ist r der Abstand zum betrachteten Aufpunkt und r' ist einer der Punkte über die integriert wird (liegt im Volumen an dem die Stromdichte S herrscht)

Die Rayleighdistanz gibt an ab welcher Distanz die Fernfeldnäherung legitim ist. Da bei kleineren Antennen der Term gegen 0 geht kommt der "+ Wellenlänge" Term dazu.
\(\displaystyle r_D = \frac{2D^2}{\lambda} (+ \lambda) \quad ... \text{ Rayleighdistanz} \\D \quad ... \text{ Antennenquerabmessung } [m]\)

Ein Hertz'scher Dipol ist ein relativ zur Wellenlänge gesehen sehr dünnen und sehr kurzer Strahler.
Richtcharakteristik:
\(\displaystyle \vartheta_{max} = \pi / 2 \qquad \varphi_{max} = \text{beliebig} \\ \frac{E_\vartheta}{E_\vartheta(\pi/2)} = \frac{H_\varphi}{H_\varphi(\pi/2)} = f(\vartheta, \varphi) = \sin\vartheta\)

Gewinn: 
\(G_{ISO}(HD) = 3/2 \hat{=} 1.76dBi\)