Testtheorie und Fragebogenkonstruktion

Produkt-Moment-Korrelation = Standardisierte Kovarianz

Die Korrelation ist eine standardisierte Version der Kovarianz zweier Variablen. Die Kovarianz ist definiert als

„Synthetische“ Variable, die wechselseitig korrelierten Variablen zugrunde liegt.

• Partialisiert man den Faktor aus den Variablen heraus, verringern sich die wechselseitigen Korrelationen bedeutsam => Der Faktor „erklärt“ also den wechselseitigen Zusammenhang zwischen Variablen.
• Partialisiert man einen Faktor aus den Variablen heraus, bleibt (meist) Restvarianz übrig => Diese Restvarianz kann wiederum durch einen neuen „synthetischen“ Faktor erklärt werden.

Ein beobachteter (standardisierter) Wert z_vi einer Person v in Variable i kann in eine Linearkombination (Summe) aus den mit den Faktorladungen \(λ\)_ik gewichteten Faktorenwert f_kv und einer Fehlerkomponente \(ε\)_vi zerlegt werden.

Ziel: Die Modellparameter f_kv und \(λ\)_ik sollen so geschätzt werden, dass die vorhergesagten Werte möglichst gering von den beobachteten Werten abweichen.

Theoretisch sind unendlich viele Lösungen möglich => daher sind Vorgaben nötig, um eine Lösung zu finden:

• Faktoren sind welchselseitig unabhängig voneinander (orthogonale Faktoren)
• Faktroren klären sukzessive maximale Varianz auf

• Gesamte Varianz wird verwendet => gesamte Varianz der einzelnen Items wird betrachtet, d.h. jedes Item hat eine Varianz von 1. Bei 30 Items ist die Gesamtvarianz gleich 30

Vorsicht: Inhaltliche Interpretation der Komponenten sind hier nicht möglich! Daher wird von diesem Verfahren abgeraten

• Die Hauptkomponentenanalyse dient hauptsächlich der Datenreduktion - Voreinstellung in SPSS
• Die Berechnung der Faktoren erfolgt in einem Schritt
• Es geht um eine möglichst sparsame Beschreibung der ursprünglichen Daten

Nur gemeinsame (wahre) Varianz der Items wird verwendet.

• Die Hauptachenanalyse( PFA) dient der Aufdeckung latenter Strukturen: Entdeckung theoretischer Variablen, die hinter dem Beobachtbaren stehen =Theoriebildendes oder Hypothesengenerierendes Verfahren
   
• die Berechnung der Faktoren erfolgt schrittweise = Algorithmus ist iterativ (sich schrittweise in wiederholten Rechengängen der exakten Lösung annähernd)

Das Koordinatensystem wird in der PCA (Principal component analysis = Hauptkomponentenanalyse)  so rotiert, dass 

1) die Korrelation zwischen den beiden neuen Achsen Null wird 

und

2) die Punkte auf der 1. neuen Achse maximale Varianz haben.

Principal component analysis = Hauptkomponentenanalyse

Principal axis factor analysis = Hauptachenanalyse

Der Faktorwert f_kv einer Person v kennzeichnet die Position dieser Versuchsperson auf dem Faktor k => Koordination der Personen auf den neuen Achsen

Eine Faktorladung \(λ\)_ik entspricht der Korrelation einer Variablen/Item i und einem Faktor k.

Frage: Wie stark wird die Antwort auf dem Item durch den Faktor beeinflusst?

Ladungsmuster dient der inhaltlichen Interpretation der Faktoren

Untersuchen Sie das Ladungsmuster, um den Faktor zu ermitteln, der die einzelnen Variablen am stärksten beeinflusst. Je näher die Ladung am Extremwert –1 oder 1 liegt, desto stärker beeinflusst der Faktor die Variable. Eine Ladung nahe 0 gibt an, dass die Variable durch den Faktor nur schwach beeinflusst wird. Manche Variablen können eine hohe Ladung bei mehreren Faktoren aufweisen.

Die Kommunalität ist die Varianz des Items, die durch die Faktoren aufgeklärt wird => Die Gesamtvarianz der Items = 1. Die Varianz des Items schwank zwischen 0 und 1.

Die Kommunalität einer Variablen i gibt an, in welchem Ausmaß die Varianz dieser Variablen durch die Faktoren aufgeklärt wird, wobei für z-standardisierte Variablen gilt: 

Der Eigenwert Eig(Fk ) eines Faktors k gibt an, wie viel von der Gesamtvarianz aller Variablen durch diesen Faktor erfasst wird
oder:
Wie viel Varianz erklärt der Faktor von allem Items -> Schwankt zwischen 0 und der Anzahl der Items)

siehe Formel: Gesamtvarianz aller Variablen bei z-Standardisierung ist k

Der Eigenwert sagt aus, wie viel ein Faktor von einem Item hat => der erste Faktor bekommt immer den größten Anteil, damit hat dieser auch den größten Eignwert. Der zweite Faktor ist immer kleiner als der erste usw = sukzessiv maximale Varianzaufklärung.

In der FA werden p Variablenachsen zu p wechselseitig unabhängigen Faktoren rotiert, die sukzessiv maximale Varianz aufklären.

Theoretisch kann es so viele Faktoren geben, wie es Items gibt, aber das macht wenig Sinn => Datenreduktion

Ziel: Extraktion von wenigen Faktoren, die „hinreichend gut“ die wechselseitigen Zusammenhänge zwischen den Variablen aufklären

Extrahieren derjenigen Faktoren, dessen Eigenwert größer als 1 ist -> je höher der Eigenwert, umso bedeutsamer ist der Faktor => wir nehmen nur die Faktoren, die einen Eigenwert > 1 haben.

Probleme:

• Extraktion von zu vielen Faktoren bei vielen Variablen 
• Eigenwerte stellen nur Populationsschätzer dar -> Konfidenzintervalle sollen berücksichtigt werden
• wird nicht empfohlen

(Der Eigenwert sagt aus, wie viel ein Faktor von einem Item hat => der erste Faktor bekommt immer den größten Anteil, damit hat dieser auch den größten Eignwert. Der zweite Faktor ist immer kleiner als der erste usw = sukzessiv maximale Varianzaufklärung.)

Grafik: „Scree-Test“: Faktoren werden berücksichtigt, deren Eigenwerte vor dem Knick liegen

Probleme:

• Nicht immer gibt es einen Knick
• Welcher Knick soll herangezogen werden? => hoher subjektiver Spielraum
• nicht empfehlenswert

Parallelanalyse (Vergleich des Eigenwertverlaufs der empirisch ermittelten Korrelationsmatrix mit dem Eigenwertverlauf der Korrelationen zwischen normalverteilten Zufallsvariablen): Faktoren werden berücksichtigt, die sich vor dem Schnittpunkt der beiden Eigenwertverläufe befinden.

1. Simulation der Daten: Items sind unkorreliert in der Population, es werden Stichproben aus der Population gezogen (Zufallsgenerator zieht Zufallszahlen, immer die gleiche Anzahl der Personen wie in dem Test) => Durch den Stichprobenfehler ergeben sich geringe Korrelationen.
2. Mit diesen Daten werden Faktorenanalsysen durchgeführt und es ergeben sich Eigenwerte.
3. Faktorenwahl: alle Faktoren, die höhere Eigenwerte haben, als die Eigenwerte der Faktoren, die durch Zufall entstehen, werden ausgewählt.

Oftmals sind die Ergebnisse einer Faktorenanalyse, unabhängig von dem verwendeten Verfahren (z.B. PCA oder FA), inhaltlich nicht interpretierbar.

Zum Beispiel ist in der PCA meist Folge der Eigenschaft der PCALösung, dass die extrahierten Faktoren sukzessiv maximale Varianz erklären, dass viele Variablen hoch auf dem ersten Faktor laden.

Siehe Komponentenmatrix:

• In der Komponentenmatrix sind die Faktorladungen aufgeführt.
• 10 Items laden auf dem ersten Faktor. Allerdings ist die Interpretation der unrotierten Lösung nicht sinnvoll möglich.

=> Eine Rotation der extrahierten Faktoren nach bestimmten Kriterien optimiert die gewählte faktorielle Lösung.

Ziel der Rotation ist eine sog. Einfachstruktur -> Ladung der Variablen auf den Faktoren ist hoch oder nahezu Null

Diese rotierte Lösung stellt somit eine mathematische äquivalente Rotationstransformation dar, die allerdings besser zu interpretieren ist.

Grafik: Beispiel einer Einfachstruktur

• Orthogonale Rotationen (rechtwiklig)
  Annahme: Faktoren sind unabhängig
• Oblique Rotationen (schiefwinklige)
  Annahme: Faktoren sind abhängig

Merke: Oblique Rotation wird immer empfohlen, auch wenn man davon ausgeht, dass die Faktoren vermutlich unabhängig sind.

Die Unabhängigkeit der Faktoren bleibt erhalten, wobei es für die Art der Rotation verschiedene Techniken gibt.

Korrelationen zwischen den Faktoren werden zugelassen => Damit enthalten die Faktoren auch redundante Informationen, sind aber oftmals besser interpretierbar.

Grunsätzlich wird die oblique Rotation empfohlen!

• Sie ist mathematisch aufwendiger - spielt aber heute im Zeitalter der Computer keine Rolle mehr.
• Häufig besteht die Annahme, dass psychologische Merkmale zusammenhängen.
• Wenn die Faktoren tatsächlich unabhängig sind, dann fürhrt die oblieque Rotation zu einer orthogonalen Lösung.

Die explorative Faktorenanalyse kann nicht die Dimensionalität, die angenommen wird, überprüfen.

=> Offene Frage: Wie gut passt das Modell zu meinen Daten?

überflüssig

Exploratiorischen Faktorenanlyse -> Datenreduktion

Ausgang ist eine Matrix der paarweisen Zusammenhänge => Korrelationen bzw. Kovarianzen zwischen Items (manifesten Variablen)

Korrelation ist die standardisierte Kovarianz.
Die Korrelationsmatrix bewegt sich zwischen 0 und 1.

Die Kovarianzmatrix liegt zwischen - unendlich  und + unedlich.

Kovarianz ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zweier Variablen. 

Ein positives Vorzeichen gibt an, dass sich beide Variablen in dieselbe Richtung bewegen (daher, steigt der Wert einer Variablen an, steigt auch der Wert der anderen). Ein negatives Vorzeichen sagt das Gegenteil über den Zusammenhang aus (daher, wenn der Wert einer Variablen steigt, fällt der Wert der anderen). Ein Wert von Null oder nahe Null deutet darauf hin, dass kein Zusammenhang besteht.

Im Nenner der Formel wird die Anzahl der Datenpunkte N um eins korrigiert. Diese Korrektur wird auch als Bessel-Korrektur bereichnet. Wenn die Bessel-Korrektur angewendet wird, spricht man auch von der Kovarianz der Stichprobe oder Stichprobenkovarianz. Wird die Bessel-Korrektur nicht angewendet spricht man von der Kovarianz der Population oder Populationskovarianz. 

• Ordnung und Struktur für viele Einzelmessungen
• Hilfe und/ oder Legitimation für eine Theoriebildung
• Reliabilitätsschätzungen
• Faktoren als Annäherungen an einen ’true-score’
• Testwertermittlung auf der Basis von Faktorwerten

Rotationsverfahren werden oft in Verbindung mit der Faktorenanalyse oder Hauptkomponentenanalyse als Interpretationshilfe eingesetzt.

Dabei wird wie folgt vorgegangen: Nachdem mit der Extraktionsmethode Faktoren ermittelt wurden, welche die Varianz der Variablen aufklären, wird mit der Rotation versucht, die Faktoren den Daten „entgegen zu drehen“, bis nur noch wenige Faktoren mit hoher Ladung übrig sind. Diese lassen sich dann eindeutiger hypothetischen Gesetzmäßigkeiten zuordnen, was als Interpretationshilfe bezeichnet wird. Dies ist nötig, da die erste errechnete Faktorlösung oft nur schwer interpretierbar ist. Meist wird eine Einfachstruktur angestrebt, d. h. die Drehung so vorgenommen, dass die einzelnen Variablen lediglich auf einem Faktor hoch laden (meist ein Wert von 0.5) und sonst auf keinem Faktor. Die Einfachstruktur ist aber nur ein angestrebtes Ziel, das keinesfalls erreicht werden muss.

• Varimax
• Quartimax
• Equamax (Mischung aus Varimax und Quartimax)

• Oblimin
• Promax