Statistik

Prüfgröße t-Test

t = (Mittelwert_diff - µ_diff)/ σ^_{Mittelwert,diff}

Sind die Voraussetzungen gegeben?

• die abhängige Variable ist intervallskaliert

• die Werte in der Population sind normalverteilt

• Die Abweichung des Mittelwerts vom Populationsmittelwert der Nullhypothese, geteilt durch den Standardfehler der Stichprobenverteilung
• Differenz der Mittelwerte minus die postulierte Differenz in der Nullhypothese geteilt durch den Standardfehler
• Die mittlere Differenz der Wertepaare minus die mittlere Differenz in der Population aus der Nullhypothese, geteilt durch den Standardfehler der Differenz

Heterogene Stichproben verzerren das Ergebnis des t-Tests

Die Zahl der Freiheitsgrade wird vermindert. Dies führt zu einem konservativeren Test durch einen relativ höheren kritischen Wert.

α-Fehler-Inflation (oder α-Fehler-Kumulierung)

Sowohl die Varianz der Mittelwerte, als auch de Varianz der einzelnen Werte hängen von der Populationsvarianz ab.

Unter H₀ werden alle Werte aus einer Normalverteilung mit festem Populationswert und fester Populationsstandardabweichung gezogen

Je nachdem, ob in H₁ erwartet wird, dass A oder B größer ist, verändert sich das Ergebnis

Die Varianz (quadrierte Differenz) wird berechnet.

Es werden 2 Mittelwerte verglichen

ŋ ² = QS_zw/QS_Gesamt

Post-hoc -> wenn keine präzise Hypothesen vorliegt; bei mehr als 2 Gruppen

Kontrastanalyse -> wenn eine präzise Hypothese vorliegt; bei mehr als 2 Gruppen

H₀: 1* µ₁+(-1)* µ₂ = 0 -> ƛ₁=1, ƛ₂=-1 -> t = [(1)*Mittelwert₁+(-1)*Mittelwert₂] / [ σ^_{Mittelwert,1-Mittelwert,2}]

Kontraste klären die gleiche Varianz auf -> sie sind nicht unabhängig voneinander

Scheffé-Test -> basiert auf der Logik der Kontrastanalyse bzw. ANOVA, korrigiert aber auch um alle möglichen Vergleiche

Scheffé ist sehr konservativ und robust

Es müssen alle Kombinationen der Ausprägungen der Faktoren, über die Aussagen getroffen werden sollen, mit aufgenommen werden. -> vollständiges Design.

Es lassen sich Kontraste bilden, die nur die Wirkung eines Faktors erfassen

Haupteffekt und Wechselwirkung

Man kann die Effekte der Faktoren unabhängig voneinander bestimmen

Freiheitsgrade müssen, wenn die unterschiedlichen Effekte einzeln getestet werden sollen, genauso wie Quadratsummen dekomponiert werden

Welchen Einfluss haben die Faktoren zusammenwirkend bzw. haben einzelne Kombinationen der Ausprägungen einen spezifischen Einfluss?

• Interaktion
  • Die Differenzen sind nicht durch den Haupteffekt erklärbar.
  • Ist eine Interaktion signifikant, ist es in einigen Fällen unmöglich einen Haupteffekt eindeutig zu interpretieren
• ordinal 
  • Die Rangfolge der Mittelwerte der Stufe eines Faktors ist in Relation zum anderen Faktor identisch
• hybrid 
  • Die ordinale Ordnung unterscheidet sich nur für B: Für beide Stufen von A gilt b₁ < b₂. Für A ist dies allerdings anders. Die Ordnung ist einmal ordinal und einmal disordinal
• disordinal
  • Beide Haupteffekte wirken sich jeweils anders in Abhängigkeit der Stufen des anderen Faktors aus.

Selbe Logik wie bei der einfaktoriellen ANOVA.

Daten, die sich gegenseitig beeinflussen

• des Modells?
  • Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholungen gibt es den personenspezifischen Faktor ��_i 
    • entspricht eher der zweifaktoriellen Varianzanalyse
  • Nur einen Wert pro Bedingungskombination
• der Schätzung der Fehlervariation?
  • Durch Messwiederholungen wird es möglich systematische Anteile, die auf Eigenschaften der einzelnen Personen zurückzuführen sind, von der Fehlervariation abzutrennen.
• der Prüfgröße?
  • Messwiederholungen beeinflussen die Signifikanz
• der Voraussetzung?
  • Normalverteilung der Messwerte
  • Intervallskalenniveau
  • Sphärizität -> Homogenität der Varianzen der Differenzen der Messwerte in allen Paaren von Bedingungen

Der Mittelwert einer Versuchsperson wird von allen Werten dieser Versuchsperson subtrahiert

Eine einfache Varianzanalyse würde so zum selben Ergebnis führen

Wenn über mindestens einen Faktor wiederholte Messungen und über mindestens einen keine wiederholten Messungen vorliegen

Nicht-parametrisch

• Verteilungsfrei
• Sind weniger eingeschränkt und können universaler angewendet werden

Die unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeiten werden mit den beobachteten Häufigkeiten vergleichen

W = √{Σ^k_i [(P_b,i – P_e,i) ²]/P_e,i}    bzw.  w = √(��²/N)

Die Effektstärke entspricht der Prüfgröße unabhängig von der Stichprobengröße

Beschränken sich auf die Verteilung der nominalskalierten Merkmalen

��² testet Omnibushypothesen

Sind zwei Ergebnisse stochastisch unabhängig, dann gilt: p(A∩B)=p(A)*p(B) -> Die Schnittmenge soll gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten sein

Stochastische Unabhängigkeit ist eine Voraussetzung

Die Verfahren für ordinalskalierte Daten können angewendet werden, wenn parametrische Verfahren nicht angewendet werden dürfen/sollten.

Sie haben bei Verletzung der Voraussetzung mitunter eine höhere Power als parametrische Verfahren.

Beides sind Alternativen zum t-Test. U-Test = t-Test für unabhängige Stichproben; Wilcoxon-Test = t-Test für abhängige Stichproben

• der U-Test?
  • Alternative zum t-Test für unabhängige Gruppen
  • Testet die Hypothese, dass die mittleren Rangplätze der Gruppengleich sind
  • Der Vergleich der mittleren Rangplätze wird indirekt vorgenommen
  • Es ist unwichtig, welche Gruppe betrachtet wird
  • Es kann jeder Rangplatz einer Gruppe mit jedem Rangplatz der anderen Gruppe verglichen werden
• der Wilcoxon-Test?
  • Vorzeichen-Rang-Test
  • Alternative zum t-Test für abhängige Stichproben
  • Testet die Gleichheit der Rangsummen von positiven und negativen Differenzen
  • Rangplatzvergabe wie beim U-Test

Eine asymptotische Funktion ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert.

• Skalenniveau
  • Ordinalskalenniveau -> nichtparametrische Tests
  • Mindestens Intervallskalenniveau -> beides möglich
• Voraussetzungen
  • Parametrische Verfahren haben strenge Regeln
    • NV
    • Varianzhomogenität
• Effizienz
  • Voraussetzungen erfüllt -> parametrische Tests effizienter
  • Voraussetzungen nicht erfüllt -> nichtparametrische Tests häufig effizienter, v.a. aber bei kleinen Stichproben
• Robustheit
  • Bei Verletzung von mehr als einer Voraussetzung -> nichtparametrische Tests
• Existenz einer Alternative
  • Es gibt nicht für jeden parametrischen Test eine nichtparametrische Alternative

Die Regression basiert auf der Korrelation