Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik II

Siehe Antwort und Bild
 

a)

In der Systemtheorie versteht man darunter die graphische Darstellung
einer von einem reellen Parameter abhängigen komplexen Systemgröße.

b)

Skript:

Der Übergang von der Übertragungsfunktion zum Frequenzgang
kann auch durch den Abbildungsbegriff (konforme Abbildung)
dargestellt werden (Bild 5.15).

Wiki:

Die Ortskurve der Ausgangsgröße eines Regelkreises mit der Frequenz
als Parameter wird durch ein Nyquist-Diagramm dargestellt.

Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion.

Alle Zusammenhängen der Übertragungsfunktion gelten
in unveränderter Form auch für den Frequenzgang,
wenn in den Gleichungen für G(s) das Argument s = iω gesetzt wird.

Indem der Eingang des zu untersuchenden Übertragungssystems
mit Sinusschwingungen verschiedener Frequenzen erregt
und nach Abklingen der Einschwingvorgänge
die jeweiligen Ausgangsschwingungen registriert werden.
Das Ergebnis ist letztlich die Ortskurve als nichtparametrisches
Modell des untersuchten Übertragungssystems.

Siehe Antwort und Bild
 

Verzögerungsglieder

Kleine Frequenzen ergeben immer positive Real-
und negative Imaginärteile.
Es ergeben sich also immer nacheilende Phasenwinkel,
die mit wachsendem ω zunehmen.
Solche Übertragungsglieder werden daher
Verzögerungsglieder genannt.

P-Verhalten
Wenn sich in Übertragungssystemen nach einer bestimmten
Änderung der Eingangsgröße die Ausgangsgröße  einem neuen
Beharrungszustand nähert.
Dieser Wert ist proportional der Änderung der Eingangsgröße.
x_a(t)=K_p*x_e(t) (5.23)

Regelstrecke mit Ausgleich

Regelstrecken, die infolge ihres P-Verhaltens nach einer Änderung
der Eingangsgröße von selbst einem neuen Beharrungswert
der Ausgangsgröße zustreben, die Wirkung der Eingangsgrößenänderung
also von selbst "ausgleichen".

P-Grad

Proportionales Verhalten, auch Xp
Kehrwert des Proportionalitätsfaktors K_p
(Verstärkungsfaktor bzw. Verstärkung
oder Proportionalitätsfaktor [P-Beiwert], s. P-Verhalten).

Siehe Bild

Regelstrecke ohne Ausgleich

Regelstrecken mit der Eigenschaft, dass sich bei einer Änderung
der Stellgröße oder bei Auftreten einer Störung die Regelgröße
unbegrenzt ändert, also nicht auf einen neuen
Beharrungszustand "ausgleicht".
 

I-Verhalten

Integrales Verhalten
Die Ausgangsgröße ist proportional dem bestimmten Integral
über die Eingangsgröße.

\(x_a(t)=K_I \int_0^t \mathrm{x_e(t)}\,\mathrm{d}t (5.26)\)

Vorhalteglieder

Siehe Bild und Antwort

Gem. Gl.(5.27), s. Bild, sieht man, dass für a₀≠0
kleine Frequenzen immer positive Real-
und positive Imaginärteile ergeben.
Es treten also immer voreilende Phasenwinkel auf,
die mit wachsender Frequenz zunehmen.
Übertragungsglieder mit dieser Eigenschaft
und im übertragenen Sinn auch die Glieder des Zählers
des Frequenzgangs nennt man daher Vorhalteglieder.

D-Verhalten

Differentiales Verhalten

Die Ausgangsgröße der jeweiligen Änderungsgeschwindigkeit
(Differentialquotient) der Eingangsgröße ist proportional.

\(x_a(t)=K_D\dot{e}(t) (5.30)\)

Siehe Antwort und Bild

Gl. 5.30 zeigt die Differentialgleichung eines idealen
(unverzögerten) D-Glieds, s. Bild Teil 1.
Die Sprungantwort würde gemäß Bild 5.22a zur Zeit t=0
eine Sprungstelle ins Unendliche und zurück aufweisen
(Dirac-Impuls), was natürlich praktisch unmöglich ist,
s. Bild Teil 1.

Blockschaltbild s. Bild 5.23, Teil 2.

Übertragungssysteme Gr(s) bzw. Fr(iω) werden reguläre Systeme
bzw. vorwiegend Phasenminimumsysteme genannt.

Im Gegensatz dazu werden Übertragungssysteme,
deren Übertragungsfunktionen Nullstellen (oder auch Pole)
in der rechten Halbebene aufweisen, als nichtreguläre Systeme
oder Nicht-Phasenminimumsysteme bezeichnet.
 Zu dieser Klasse von Übertragungssystemen
gehören auch Systeme mit transzendenten
Übertragungsfunktionen sowie Totzeitsysteme
(siehe Abschnitt 4.4.2).

Siehe Bild

Siehe Antwort und Bild

Neben der Ortskurvendarstellung des Frequenzganges
ist auch die Darstellung durch Frequenzkennlinien üblich
und in vielen Fällen auch zweckmäßiger.

Dadurch wird der Frequenzgang als sog. Amplitudenqang
(Amplitudenfunktion, Amplitudenkennlinie)
und sog. Phasengang (Phasenfunktion, Phasenkennlinie)
jeweils als Funktion der Kreisfrequenz dargestellt.
Man erhält somit zwei getrennte Diagramme
für Amplitude und Phase (siehe Bild 5.25; PD1-Glied).

Siehe Bild

Die Frequenzkennlinien der Grundformen sind sehr einfach
und besonders bei den am häufigsten  vorkommenden Gliedern
erster Ordnung mit guter Näherung durch Gerade
(Asymptoten) darzustellen.

Die jeweiligen Zeitkonstanten der einzelnen Glieder
gehen sofort aus den Eckfrequenzen ωE = 1/T hervor.

Siehe Bild

Siehe Bild

Siehe Bild

Siehe Bild

Siehe Bild

xxx

Regelgeräte sind in sehr seltenen Fällen feinwerktechnische
(mechanische) Geräte, 1975 noch in etwa 25% der Anwendungen
pneumatische Regler, heute fast ausschließlich jedoch
elektronische Regler (dezentral), Mikrorechner
oder sog. Prozessleitsysteme (zentral).

Früher gab es pneumatische Messumformer,
Rechengeräte, Sollwertgeber, Verstärker
und Regler in verschiedensten Bauweisen. 
Derzeit (in den 90er-Jahren) sind noch noch in etwa zehn
bis zwanzig Prozent der installierten Regelungssysteme
pneumatische Geräte enthalten.
Der Anteil pneumatischer Stellantriebe ist jedoch sicher noch größer.
Die heute aktuellen pneumatischen Regelgeräte
und vor allem Stellgeräte sind meist mit elektronischen Komponenten kombiniert.
Die pneumatischen Regler nehmen in ihrem Marktanteil weiterhin stetig ab,
wenn auch noch vor etwa dreizig Jahren neu entwickelte Geräte
auf den Markt gekommen sind.

xxx

xxx

xxx

xxx

Sämtliche Eigenwerte s_n des Systems haben einen negativen Realteil δ_n.

Siehe Bild

Die Koeffizienten der charakt. Gleichung zweiter Ordnung
müssen alle von Null verschieden und positiv sein.

Die Bedingung, dass alle Koeffizienten von Null verschieden
und positiv sein müssen, ist bei dem Polynom 3.Ordnung
(und ebenso für jede höhere Ordnung) eine notwendige
aber keine hinreichende Bedingung für Stabilität.

Siehe Bild

Siehe Bild

Siehe Antwort und Bild

Allgemein

Beschreibt die Stabilitat eines Systems mit Ruckkopplung,
z. B. eines Regelkreises.

Anwendung des Kriteriums
im Frequenz-Kennlinien Verfahren (Bode-Diagramm)

Unter Verwendung dieses Kriteriums kann man
nach Konstruktion der Frequenzkennlinien des offenen Systems, 
sofort beurteilen, wie sich das geschlossene System
hinsichtlich seiner Stabilität verhalten wird.

Man kann darüber hinaus bei Verwendung der Frequenzkennlinien
auch deutlich erkennen, durch welche Maßnahmen die Stabilität
erreicht bzw. verbessert werden kann.

Da sich die Kennlinien-Grundformen bei Änderung der Verstärkungen
oder der Zeitkonstanten immer nur in der einen oder anderen Richtung
parallel verschieben, ist der Einfluss der einzelnen Parameter deutlich zu ersehen.

Siehe Bild

Die Modellbildung ist die Ermittlung von mathematischen Systemmodellen.

Dies kann theoretisch (rechnerisch) oder durch Messungen erfolgen.

Ziel: Ein verlässliches Modell der Regelstrecke zur Erstellung des Regelentwurfs.

Übertragungsmodellbildung / Eingangs-Ausgangs-Identifikation
ist das Übertragungsverhalten eines Systems
(mathematisches Modell für den Zusammenhang zwischen Ein-
und Ausgangsgröße), ohne den inneren Aufbau des Systems
(Struktur) näher zu ermitteln.

Beispiel:

Von der Struktur des Systems spricht man, wenn an damit die Anzahl
der Nullstellen und Pole (also den Grad von Zähler- und Nennerpolynom
der Übertragungsfunktion) meint.