Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik II

xxx

Sämtliche Eigenwerte s_n des Systems haben einen negativen Realteil δ_n.

Siehe Bild

Die Koeffizienten der charakt. Gleichung zweiter Ordnung
müssen alle von Null verschieden und positiv sein.

Die Bedingung, dass alle Koeffizienten von Null verschieden
und positiv sein müssen, ist bei dem Polynom 3.Ordnung
(und ebenso für jede höhere Ordnung) eine notwendige
aber keine hinreichende Bedingung für Stabilität.

Siehe Bild

Siehe Bild

Siehe Antwort und Bild

Allgemein

Beschreibt die Stabilitat eines Systems mit Ruckkopplung,
z. B. eines Regelkreises.

Anwendung des Kriteriums
im Frequenz-Kennlinien Verfahren (Bode-Diagramm)

Unter Verwendung dieses Kriteriums kann man
nach Konstruktion der Frequenzkennlinien des offenen Systems, 
sofort beurteilen, wie sich das geschlossene System
hinsichtlich seiner Stabilität verhalten wird.

Man kann darüber hinaus bei Verwendung der Frequenzkennlinien
auch deutlich erkennen, durch welche Maßnahmen die Stabilität
erreicht bzw. verbessert werden kann.

Da sich die Kennlinien-Grundformen bei Änderung der Verstärkungen
oder der Zeitkonstanten immer nur in der einen oder anderen Richtung
parallel verschieben, ist der Einfluss der einzelnen Parameter deutlich zu ersehen.

Siehe Bild

Die Modellbildung ist die Ermittlung von mathematischen Systemmodellen.

Dies kann theoretisch (rechnerisch) oder durch Messungen erfolgen.

Ziel: Ein verlässliches Modell der Regelstrecke zur Erstellung des Regelentwurfs.

Übertragungsmodellbildung / Eingangs-Ausgangs-Identifikation
ist das Übertragungsverhalten eines Systems
(mathematisches Modell für den Zusammenhang zwischen Ein-
und Ausgangsgröße), ohne den inneren Aufbau des Systems
(Struktur) näher zu ermitteln.

Beispiel:

Von der Struktur des Systems spricht man, wenn an damit die Anzahl
der Nullstellen und Pole (also den Grad von Zähler- und Nennerpolynom
der Übertragungsfunktion) meint.

Identifikation

Auch Modellbindung genannt.
Ermittlung von Struktur und Koeffizienten der Übrtragungsfunktion.

Kennwertermittlung
Auch Parameteridentifikation oder Parameterschätzung.

Bedeutet:

Ist von der zu bestimmenden Übertragungsfunktion
die Struktur bekannt oder hinreichend angenommen worden
und es reduziert sich dadurch die Modellbildung
auf die Ermittlung der Modellparameter,
spricht man von Kennwertermittlung.

• Zerlegung des Gesamtsystems
  in einzelne Teilsysteme oder Bilanzräume
• Aufstellung der Bilanzgleichungen
  für die einzelnen Teilsysteme
• Eventuelle Ortsdiskretisierung für den Fall,
  dass partielle Differentialgleichungen auftreten
• Linearisierung der u.U.
  nichtlinearen Differentialgleichungen
• Vereinfachungen und Vernachlässigungen
  die sich auf die physikalischen Eigenschaften beziehen
• Ausscheiden innerer Systemgrößen,
  d.h. Kopplung der einzelnen Teilsysteme
• Einführung von Bezugsgrößen

Siehe Bild

• Beinhaltet den baulichen Bereich der Anlage
  samt physikalisch-technischen Vorgang und Eigenschaften
   
• Ohne diesen Vorgang kann man nicht
  von einer Störung oder Regelung sprechen

Indirekte Regelung

• Energie zur Verstellung eines Stellgliedes
  wird einer Hilfsquelle entnommen (normaler Fall)

Direkte Regelung

• Stellglied wird von der Messeinrichtung direkt verstellt

Eingrößensysteme

Festwertregelung

• Der gewählte Sollwert bleibt konstant, er bleibt fest
   
• EINSCHLEIFIGER KREIS (z.B. Mensch unter der Dusche)
  
  Es erfolgt ein Eingriff in das System aufgrund einer Rückkopplungsschleife.

• EINGRÖßENREGELUNG

  • es wird nur eine einzige Größe geregelt

• MEHRSCHLEIFIGER KREIS (z.B. Herz-Kreislauf-Regelung)

  • es werden mehrere Größen geregelt

  • es sind mehrere Rückführschleifen nötig

Folgeregelung

• Der Sollwert (die Bahnkurve) ändert sich mit der Zeit
  oder in Abhängigkeit von anderen Größen

• Der Istwert muss ihm folgen
  
  Z.B. Steuern eines Kraftfahrzeuges entlang einer vorgegebenen Bahn

Mehrgrößenregelung

• Es werden mehrere Größen geregelt

• Es sind mehrere Rückführschleifen nötig

Rückkopplung

• Der Sollwert ist Eingangsgröße
  in das geschlossene Regelungssystem
   
• Er wirkt sich auf das System aus
   
• Die Rückführung des daraus resultierenden
  Istwertes ist die Rückkopplung

Mitkopplung

• Wenn die Rückkopplung die Auswirkungen
  der Störungen verstärkt (unerwünscht)

Gegenkopplung

• Auch negative Rückkopplung,
  das Rückkopplungssignal wirkt entgegen der Störung
   
• Sie wird durch das negative Vorzeichen
  des Rückkopplungssignals gekennzeichnet

Siehe unten und Bild

• Auch Übertragungssystem
   
• System, welches rückwirkungsfrei eine Ursache
  auf eine Wirkung überträgt
   
• Eingangs- und Ausgangsgrößen (Ursachen und Wirkungen)
  werden dabei durch zeitabhängige Signale
  z.B. u(t) und y(t) repräsentiert

Verstärkungseigenschaft

• Wenn der Zusammenhang zwischen Ausgangsgröße \(x_a(t)\)
  
  und Eingangsgröße \(x_e(t)\)durch eine allgemeine lineare Operation
  
  \(x_a(t)=Op [x_e(t)]\)beschrieben wird,
  
  dann gilt mit einer beliebigen konstanten Größe c:
  
  \(x_a(t)=Op [c*x_e(t)]=c*Op[x_e(t)]\)

Überlagerungseigenschaft (Superpositionsprinzip)

\(x_a(t)=Op [x_{e1}(t)+x_{e2}(t)]\)
 

\(Op[x_{e1}(t)+x_{e2}(t)]\)

Nichtlineare Systeme haben diese Eigenschaften nicht!

Statisches Modell

Der stationäre Zustand (Beharrungszustand)
 

Kann als:
 

• parametrisches-mathematisches Modell
  (nichtlineare Gleichung)
   
• nichtparametrisches-mathematisches-Modell
  (Kennlinien-Diagramm)
   

dargestellt werden

Dynamisches Modell

Der zeitliche Übergangsvorgang eines dynamischen Systems
(Zeitverlauf des Übergangs von einem zum anderen Beharrungszustand)
muss mit einer Differentialgleichung mit der Zeit t als freier Parameter
als dynamisches Modell beschrieben werden.

Das statische Modell ist im dynamischen Modell stets enthalten.

Parametrisches Modell

Die mathematische Beschreibung erfolgt
durch eine DGL, deren Struktur und Parameter
ermittelt werden müssen.
Die DGL kann aus den Anlagendaten
und den relevanten physikalischen Gesetzen berechnet werden.

Nichtparametrisches Modell

Der Verlauf der Kennlinie kann durch ein Experiment bestimmt werden.
Der Übergangsvorgang kann durch eine Grafik,
ein Zeitdiagramm, beschrieben werden.

Siehe Antwort und Bild

Die Anordnung der Übertragungsglieder
haben Auswirkung auf die am Eingang wirkende Ursache
und steuern die Wirkung am Ausgang.

Die einzelnen Übertragungsglieder des Systems nach Bild 1.6
werden jeweils durch einen Block symbolisiert,
welche zu einem Blockschaltbild (Bild 1.7; Bild 1.9)
zusammengezeichnet werden
 (siehe Abschn. 5.1.1, Das Rechnen mit dem Blockschaltbild).

Siehe Bild

Siehe Antwort und Bild

Standard-Regelkreise (einschleifige Eingrößenregelung)

• Messwerk

• Messumformer

• Regler

• Stellglied

  • Sollwertregler

  • Sollwerteinsteller

  • Vergleicher

  • Regelverstärker mit dynamischer Rückführung

  • Kraftschalter

• Rückkopplungsschaltung

• Signalleitung

Siehe Antwort und Bild

Die Kennlinie, die aus dem Zusammenhang
von Eingangs- und Ausgangsgröße besteht,
wird am Arbeitspunkt linearisiert.

D.h. die Kennlinie wird im Arbeitspunkt
durch ihre Tangente angenähert (Bild 3.2).
Dieses Ersetzen der nichtlinearen Kennlinie
durch eine Tangente ist aber nur für kleine Schwankungen
um den Arbeitspunkt zulässig.

Für die Linearisierung wird die Funktion \(X_a=f(X_e)\)
im Arbeitspunkt \(Xe_0, Xa_0\)  in einer Taylorreihe entwickelt
und die Reihe nach dem ersten Glied abgebrochen.

xxx