Limites de suite

Soit (u(n)) une suite de nombres réel, étudier la limite de (u(n)), c'est étudier le comportement des termes u(n) lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes

Soit (u(n)) une suite de nombres réel, étudier la limite de (u(n)), c'est étudier le comportement des termes u(n) lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes


Kartei Details

Karten 33
Sprache Français
Kategorie Mathematik
Stufe Andere
Erstellt / Aktualisiert 27.01.2017 / 27.01.2017
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Limite finie (ou réelle)

On dit que \((u_n)\) admet pour limite le réel L si tout interval ouvert contenant L contient tous les termes de \((u_n)\) à partir d'un certain rang.

On peut prendre un interval ouvert centré sur L, on note alors \(\lim_{x \to \infty } u_n = L\)

Propriété d'unicité :

Si une suite converge vers une limite L alors cette limite est unique.

Limite infinie

Dire qu'une suite \((u_n)\) tend vers \(+ \infty\) signifie que tout intervalle de la forme \(]A;+\infty[\) contient tous les termes de la suite \((u_n)\) à partir d'un certain rang.

On note alors, \(\lim_{x \to +\infty} u_n = +\infty\)

(L'inverse quand \((u_n)\) tend vers \(+ \infty\))

Opération sur les limites : Somme

\(L+L'\)

\(L+L'=L+L'\)

Opération sur les limites : Somme

\(L+(+\infty)\)

\(L+(+\infty)=+\infty\)

Opération sur les limites : Somme

\(+\infty + (+\infty)\)

\(+\infty + (+\infty)= +\infty\)

Opération sur les limites : Somme

\(L + (-\infty)\)

\(L + (-\infty) = -\infty\)

Opération sur les limites : Somme

\(-\infty + (-\infty)\)

\(-\infty + (-\infty)= -\infty\)

Opération sur les limites : Somme

\(+\infty + (-\infty)\)

\(+\infty + (-\infty) = F.I.\)

Opération sur les limites : Produit

\(L \times L'\)

\(L \times L' = L \times L'\)

Opération sur les limites : Produit

\(L (L\neq 0) \times (+\infty)\)

\(L (L\neq 0) \times (+\infty) = +\infty \)

ou

\(L (L\neq 0) \times (+\infty) = - \infty\)

Opération sur les limites : P¨roduit

\(0 \times +\infty\)

\(0 \times +\infty = F.I.\)

Opération sur les limites : Produit

\(+\infty \times +\infty\)

et

\(-\infty \times (-\infty)\)

\(+\infty \times (+\infty)= +\infty\)

et

\(-\infty \times (-\infty) = - \infty\)

Opération sur les limites : Produit

\(+\infty \times (-\infty)\)

\(+\infty \times (-\infty) = -\infty \)

Opération sur les limites : Inverse

\(\frac{1}{L \neq 0}\)

\(\frac{1}{L \neq 0}=\frac{1}{L}\)

Opération sur les limites : Inverse 

\(\frac{1}{0}\)

\(\frac{1}{0} = +\infty\)

ou

\(\frac{1}{0} = -\infty\)

Opération sur les limites : Inverse

\(\frac{1}{+\infty}\)

ou

\(\frac{1}{-\infty}\)

\(\frac{1}{+\infty}=\frac{1}{-\infty}=0\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{L}{L' \neq 0}\)

\(\frac{L}{L' \neq 0}=\frac{L}{L' }\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{L\neq 0}{0}\)

\(\frac{L\neq 0}{0}= +\infty\)

ou

\(\frac{L\neq 0}{0} = -\infty\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{0}{0}\)

\(\frac{0}{0}=F.I.\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{+\infty}{0}\)

ou

\(\frac{-\infty}{0}\)

\(+\infty\)

ou 

\(-\infty\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{0}{+\infty \;ou\; -\infty}\)

\(\frac{0}{+\infty \;ou\; -\infty}=0\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{L}{+\infty \;ou\; -\infty}\)

\(\frac{L}{+\infty \;ou\; -\infty}=0\)

Opération sur les limites : Quotient

\(\frac{+\infty \; ou \; -\infty}{+\infty \; ou \; -\infty}\)

\(\frac{+\infty \; ou \; -\infty}{+\infty \; ou \; -\infty}= F.I.\)

Méthodes pour les formes indéterminées

Méthode 1: Factoriser par le terme de plus haut degré

Méthode 2: Factroriser numérateur et dénominateur par les termes de plus haut degré, puis simplifier

Méthode 3: Utiliser l'expression conjuguée

Suite convergente

\(\lim_{n \to +\infty}u_n = L\)

Suite divergente

\(\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty\)

Suite convergente :

Propriété :

Si, à partir d'un certain rang, \(u_n \leq v_n\) et si \(lim \; u_n = L\) et \(lim \; v_n = L'\)  alors \(L \le L'\)

Suite convergente :

Théorème d'encadrement (des gendarmes)

Si, à partir d'un certain rang, \(u_n< v_n < w_n\) et si \(lim \; u_n = lim \; w_n=L\) alors \((v_n)\) est convergent et \(lim \; v_n=L\)

Suite divergente :

Théorème de comparaison :

• Si, à partir d'un certain rang, \(u_n \leq v_n\) et si \(lim \; u_n =+\infty\) alors \(lim \; v_n = +\infty\)

\(u_n \le v_n\) et si \(lim \; v_n = -\infty\) alors \(lim \; u_n = -\infty\)

Etude des suites de la forme \((q^n)\) avec \(q \in \mathbb{R}\)

1. \(q>1\)

2. \(-1 < q < 1\)

3.\(q=1\)

4.\(q=1 \; et \; q\le-1\)

1. \(lim \; q^n=+\infty\)

2.\(lim \; q^n=0\)

3.\((q^n)\) est constamment égale à 1

4. Pas de limite

Convergence des suites monotones :

Théorème :

•Soit \((u_n)\) une suite croissante.Si  \((u_n)\) converge vers un réel L, alors pout tout \(n \in \mathbb{N}\)\(u_n \leq L\)

•Soit \((u_n)\) une suite décroissante. Si \((u_n)\) converge vers un réel L, alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\)\(u_n \ge L\)

Théorème de convergence des suites monotones :

• Toutes suites croissantes et majorées Converges

•Toutes suites décroissantes et minorées Converges