Zahlenmengen
offen, geschlossen,beschränkt,kompakt,konvex
offen, geschlossen,beschränkt,kompakt,konvex
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Lernkarten
Was ist die wichtigste Checkliste für Mengeneigenschaften?
Beschränkt: geht sie irgendwo bis unendlich?
Offen: sind keine Randpunkte enthalten?
Abgeschlossen: sind alle Randpunkte enthalten?
Kompakt: abgeschlossen und beschränkt?
Konvex: bleibt jede Verbindungsstrecke in der Menge?
Zwei beliebige Punkte aus der Menge nehmen und prüfen, ob die gesamte Verbindungsstrecke zwischen ihnen in der Menge liegt.
Zuerst abgeschlossen prüfen, dann beschränkt prüfen. Beides muss gelten.
Prüfen, ob alle Randpunkte zur Menge gehören. Fehlt auch nur ein Randpunkt, ist die Menge nicht abgeschlossen.
Prüfen, ob jeder Punkt ein innerer Punkt ist. Enthält die Menge einen Randpunkt, ist sie nicht offen.
Prüfen, ob irgendeine Koordinate beliebig gegen +∞ oder -∞ gehen kann. Falls ja, ist die Menge nicht beschränkt.
Eine Menge ist nur beschränkt, wenn sie in allen Richtungen begrenzt ist. Kann eine Komponente beliebig gross oder klein werden, ist die gesamte Menge unbeschränkt.
Ungleichungen ≤ oder ≥ und Gleichungen =, weil die entsprechende Grenze enthalten ist. Dies ist nur ein Hinweis; alle Bedingungen müssen geprüft werden.
Strikte Ungleichungen < oder >, weil die entsprechende Grenze nicht enthalten ist. Dies ist nur ein Hinweis; alle Bedingungen müssen geprüft werden.
Ja. Zum Beispiel ℝⁿ und die leere Menge.
Ja. Wenn sie einige Randpunkte enthält und andere nicht, ist sie weder offen noch abgeschlossen.
Offen: keine Randpunkte gehören zur Menge. Abgeschlossen: alle Randpunkte gehören zur Menge.
Nein. A ∪ B muss nicht konvex sein.
Ja. Sind A und B konvex, dann ist auch A ∩ B konvex.
Schnittmenge: Nur die Punkte, die gleichzeitig in A und B liegen.
Vereinigung: Alle Punkte, die in A oder in B oder in beiden Mengen liegen.
Alle reellen Zahlen ab 0, also x ≥ 0. +∞ selbst ist keine Zahl und gehört nicht zum Intervall.
Das Komplement Gᶜ = ℝⁿ \ G enthält alle Punkte, die nicht zu G gehören.
Nein. Eine unendlich grosse Ebene kann konvex und gleichzeitig unbeschränkt sein.
Zum Beispiel ausgefüllte Kreisflächen, Rechtecke, Kugeln, ausgefüllte Zylinder und Ebenen.
Zwei beliebige Punkte der Menge gedanklich verbinden. Bleibt die gesamte Strecke innerhalb der Menge, ist sie konvex. Verlässt sie die Menge, ist sie nicht konvex.
Für alle x,y ∈ G und λ ∈ [0,1] muss gelten: λx + (1-λ)y ∈ G.
Verbindet man beliebige zwei Punkte der Menge mit einer geraden Strecke, muss die gesamte Strecke in der Menge liegen.
Kompakt bedeutet abgeschlossen UND beschränkt. Fehlt eine der beiden Eigenschaften, ist die Menge nicht kompakt.
Ein Punkt, um den man eine genügend kleine Umgebung legen kann, die vollständig in der Menge liegt.
Ein Punkt, bei dem jede noch so kleine Umgebung sowohl Punkte aus der Menge als auch Punkte ausserhalb der Menge enthält. Der Randpunkt selbst muss nicht zur Menge gehören.
Ja. Beispiel: C = [5,7). Die 7 gehört nicht zu C, ist aber trotzdem ein Randpunkt. Deshalb ist C nicht abgeschlossen.
Alle Randpunkte der Menge gehören zur Menge. Ungleichungen mit ≤ oder ≥ sind häufig ein Hinweis darauf, dass die Grenze enthalten ist.
Strikte Ungleichungen wie x < 3 oder x > 0 sind ein Hinweis, weil die Grenze nicht enthalten ist. Aber immer alle Bedingungen prüfen.
Jeder Punkt der Menge ist ein innerer Punkt. Um jeden Punkt gibt es eine genügend kleine Umgebung, die vollständig in der Menge liegt. Eine offene Menge enthält keine Randpunkte.
Wenn sie in mindestens eine Richtung beliebig weit gehen kann. Beispiel: x₂ ≥ -1 erlaubt x₂ = 100, 1000 usw.
Die Menge geht in keine Richtung unendlich weit. Alle Komponenten besitzen eine obere und untere Schranke.
