WT 1
Maß- und Integrationstheorie > Sigma-Algebren, Inhalte & Maße/ Elementare Bsp v Wahrscheinlichkeitsräumen/ Sigma-Stetigkeit v Maßen/ Verteilungsfuntion/ Bedingte W-keiten/ ZV/ Bildmaße & Verteilungen/ Integration/ Dichte & Satz von Radon-Nikodym
Maß- und Integrationstheorie > Sigma-Algebren, Inhalte & Maße/ Elementare Bsp v Wahrscheinlichkeitsräumen/ Sigma-Stetigkeit v Maßen/ Verteilungsfuntion/ Bedingte W-keiten/ ZV/ Bildmaße & Verteilungen/ Integration/ Dichte & Satz von Radon-Nikodym
Def
Produkt-Sigma-Algebra
(Omega_i, A_i) Messräume
Def
Zufallsvariable, Zufallsvektor, Realisierung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum
Satz zu W-maß auf (Omega', A') / Verteilung von X
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X: (Omega, A) --> (Omega', A') ZV
Satz zu W-räumen mit Index i
(Omega_i, A_i, P_i) W-räume
Def
gemeinsame Verteilung, Randverteilung
(Omega, A, P) W-raum, (Omega_i, A_i) Messräume, X_i : (Omega, A) --> (Omega_i, A_i) Abb
Def
Elementar-/ Treppenfunktion
(Omega, A) Messraum
Def
Normaldarstellung
.
Def
Integral von Elementarfunktionen
f element E(A) mit einer Normaldarstellung
Def
Integral nicht-negativer Funktionen
(Omega, A, my) Meßraum, f messbar
Def
My-Integrierbarkeit, Integral
f messbare Abb von Omega nach [-Unendl, Unendl]
Lemma (Eigenschaften von my-integrierbaren Funktionen)
(Omega, A, my) Meßraum, f,g my-integrierbare Funktionen, Alpha element R
Def
Erwartungswert
(Omega, A, P) W-raum, X : Omega --> R P-integrierbare ZV
Satz von Beppo Levi I und II
(I: Satz zur monotonen Konvergenz)
I. f_n messbar, f_n punktweise gegen f
II. |f_n| Lebesgue-integrierbar, f_n gegen f my-fast sicher
Lemma von Fatou
f_n messbar
Satz von der majorisierten Konvergenz (Lebesgue)
f_n, f, g : Omega --> [-Unendl, Unendl] messbar, f_n gegen f, |f_n| kleinergleich g
Satz von Tonelli
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endliche Maßräume, i=1,2, f ...-meßbar
Satz von Fubini
(Omega_i, A_i, my_i) Sigma-endl Maßräume, i=1,2, f ...-integrerbar
Satz von der Transformationsformel
(Omega, A, P) W-raum, (Omega', A') Messraum, X : Omega --> Omega' ZV, f messbar
Satz zur Dichte
(Omega, A, my) Maßraum, f messbar
Satz von Radon-Nikodym
my, ny Sigma-endliche Maße auf Messraum (Omega, A)
Def
Kongruente Mengen
A,B Teilmengen aus R^n für n größergleich 1
Satz zu Maßfunktion (mit Potenzmenge)
keine Maßfkt für n größergleich 1 (bei Potenzmenge)
Def
(Sigma-) Algebra
Omega nicht leer, beliebig, P(Omega)
--> Maßfkt. i.A. nicht auf ganzer Potenzmenge def. nur auf Teilmengen --> baruchen bestimmte Struktur --> Einführung von Sigma-Algebren
Def
Messbare Mengen, Messraum
A Sigma-Algebra
Def
Inhalt, Maß
Omega nicht leer, C Teilmenge von P(Omega) mit Leerer Menge in C
Fkt von C auf Intervall [0, unendlich]
Begriffsdef
- Maßraum
- endliches Maß, endlicher maßraum
- W-Maß, W-raum
Begriffsdef
Def
Borelsche Sigma-Algebra
(Omega, d) metrischer Raum
--> Ziel: Sigma-Algebren auf metr. Räumen def
Beispiele zu Borelschen Sigma-Algebren
R^n mit euklidischer Metrik
Def
Gleichverteilung, Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum
Omega nicht leer, endlich
Beispiel Gleichverteilung (Fairer Würfel)
Fairer Würfel
Beispiel Gleichverteilung (Wiederholter Münzwurf)
Münzwurf
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Unfaire Münze)
Unfaire Münze
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Mehrfaches Werfen einer unfairen Münze)
Unfaire Münze
Def
Binomialverteilung
definiert auf N_0 (Ntürliche Zahlen inklusive 0)
Beispiel Binomialverteilung (Ankreuztest)
Anzreuztest
Def
Zählmaß, Dirac-Maß
Omega nicht leer
Def
Zähldichte
reelle Zahlenfolge
Beispiel Zähldichte (Poissonverteilung)
zugehörige W-maß zur Dichte: Poissonverteilung
Beispiel Pois und Binom (Zellenbelegung)
Zellenbelegung
Def
Sigma-Stetigkeit (von unten und von oben)
A_i Teilmengen aus Omega
-
- 1 / 72
-
Lernkarten
Def
Kongruente Mengen
A,B Teilmengen aus R^n für n größergleich 1
Satz zu Maßfunktion (mit Potenzmenge)
keine Maßfkt für n größergleich 1 (bei Potenzmenge)
Def
(Sigma-) Algebra
Omega nicht leer, beliebig, P(Omega)
--> Maßfkt. i.A. nicht auf ganzer Potenzmenge def. nur auf Teilmengen --> baruchen bestimmte Struktur --> Einführung von Sigma-Algebren
Def
Messbare Mengen, Messraum
A Sigma-Algebra
Def
Inhalt, Maß
Omega nicht leer, C Teilmenge von P(Omega) mit Leerer Menge in C
Fkt von C auf Intervall [0, unendlich]
Begriffsdef
- Maßraum
- endliches Maß, endlicher maßraum
- W-Maß, W-raum
Begriffsdef
Def
Borelsche Sigma-Algebra
(Omega, d) metrischer Raum
--> Ziel: Sigma-Algebren auf metr. Räumen def
Beispiele zu Borelschen Sigma-Algebren
R^n mit euklidischer Metrik
Def
Gleichverteilung, Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum
Omega nicht leer, endlich
Beispiel Gleichverteilung (Fairer Würfel)
Fairer Würfel
Beispiel Gleichverteilung (Wiederholter Münzwurf)
Münzwurf
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Unfaire Münze)
Unfaire Münze
Beispiel Bernoulli-Verteilung (Mehrfaches Werfen einer unfairen Münze)
Unfaire Münze
Def
Binomialverteilung
definiert auf N_0 (Ntürliche Zahlen inklusive 0)
Beispiel Binomialverteilung (Ankreuztest)
Anzreuztest
Def
Zählmaß, Dirac-Maß
Omega nicht leer
Def
Zähldichte
reelle Zahlenfolge
Beispiel Zähldichte (Poissonverteilung)
zugehörige W-maß zur Dichte: Poissonverteilung
Beispiel Pois und Binom (Zellenbelegung)
Zellenbelegung
Def
Sigma-Stetigkeit (von unten und von oben)
A_i Teilmengen aus Omega
Def
lim sup / lim inf für Mengen
Wahrscheinlichkeitsraum
Lemma von Borel-Cantelli Teil 1
W-raum
Falls die A_n hinreichend disjunkt --> fast alle Ereignisse aus Omega sind in nur endlich vielen A_n
Def
Halbring
H Teillmenge von P(Omega) (Potenzmenge von Omega)
Satz zu Halbring und Sigma-endliches Maß
H Halbring über Omega, Omega nicht leer, my (Abb von H aus) ein Sigma-endliches Maß
! Jedes Sigma-endliche Maß auf einem Halbring H lässt sich zu einem Maß auf Sigma(H) eindeutug fortsetzen.
Kor zu Halbring und Sigma-endllichen Maßen
H Halbring, A=Sigma(H), my, ny (Abb. von A aus) zwei Sigma-endliche Maße mit Eigenschaft my(A)=ny(A) für alle A Teilmenge von H
! Sigma-endliche Maße sind durch ihr Verhalten auf Durchschnitt-stabilen Erzeugendensytemen eindeutig bestimmt.
Beispiel zu Fortsetzung von Maßen
Beispiel
Beispiel Lebesgue-Maß
Beispiel
Lemma (Eigenschaften zum Lebesgue-Maß)
i) und ii)
Def
my-Nullmenge, my-fast alle Gültigkeit
(Omega, A, my) ein Maßraum
Def
Vollständiger Maßraum
Maßraum (Omega, A, my)
Def
Gleichverteilung
Omega aus B^n
Def
Spur-Sigma-Algebra
(Omega, A) Messraum, B element A
Def
Einschränkung eines Maßes
(Omega, A, my) Maßraum, B element A
Def
Verteilungsfunktion
Funktion F (Abb von R aus)
Satz zu Verteilungsfunktion
Für alle W-maße P auf B ex genau eine Verteilungsfunktion F
Def
Bedingte Wahrscheinlichkeit
W-raum mit A,B und P(B)>0
P(A|B) Wahrscheinlichkeit von A unter er Bedingung B
Satz zu Bedingter W-keit (Eigenschaften)
W-raum, B mit P(B)>0
Eigenschaften
Satz
i) Formel von der totalen W-keit
ii) Formel von Bayes
W-raum, B_i höchstens abzählbare Zerlegung von Omega, B_i paarweise disjunkt und P(B_i)>0 (für alle i)
Beispiel (Alarmanlage)
W-keit Alarm und Einbruch
Stichprobe mit Reihenfolge mit Zurücklegen
Gleichverteilung
