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Cartes-fiches
Was ist ein Axiomensystem?
Es handelt sich dabei um grundlegende mathematische Aussagen über Beziehungen zwischen den bis dahin eingeführten Begriffen. Axiome werden nicht beweisen, sie werden vielmehr wie Spielregeln annerkant.
Mann muss darauf achten das man ein vollständig, unabhängig und widerspruchsfrei ist. Die daraus abgeleiteten Sätze sind nur noch relativ wahr, also nur in Bezug auf die Spielregeln.
Was gehört zu einem mathematischen Beweis?
Zu einem mathematischen Beweis gehört nur die logische Folgerichtigkeit.
Was ist eine logische Aussage?
Eine logische Aussage ist ein als Salz formulierter Gedanke, den man auf sinvolle Weise Wahrheitswerte zuordnen kann.
Als Werte sind nur "wahr" oder "falsch" zugelassen.
Definition Konjunktion
Unter der Konjunktion zweier Aussagen A und B versteht man die Aussage \(A \bigwedge B\) (in Worten "A und B"), die genau dann wahr ist, wenn A und B gleichzeit wahr sind.
A B \(A \bigwedge B\)
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Definition Disjunktion
Unter der Disjunktion zweier Aussagen A und B versteht man die Aussage \(A \bigvee B\) (in Worten A oder B), die genau dann wahr ist, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen A oder B wahr ist.
A B \(A \bigvee B\)
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Definition Negation
Unter der Negation einer Aussage versteht man die Aussage \(\lnot A\) (nicht A), die genau Dann wahr ist, wenn A selber falsch ist.
Definition Impikation
Unter der Implikation \(A \Rightarrow B\) (in Worten A impliziert B) versteht man die zusammengesetzte Aussage \(B \bigvee ( \lnot A)\)
A B \(A \Rightarrow B\)
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" Aus A folgt B" oder "Wenn A, dann B", B dann, wenn A, A nur dann, wenn B"
\(A \Rightarrow B\) sagt nichts über die Wahrheit oder Falschheit von A und B aus. Es ist nur unmöglich, dass A wahr ist und B falsch ist. Denn \(A \Rightarrow B\) bedeutet gerade das auch B wahr ist, wenn A wahr ist.
Achtung: Falsche Aussagen können wahre Aussagen implizieren.
Was ist eine Aussageform?
Unter einer Aussageform versteht man ein sprachliches Gebilde, das formal wie eine Aussage aussieht, das aber eine oder mehrere Variable enthält.
Definition Äquivalenz
Wenn \(A \Rightarrow B\) und \(B \Rightarrow A\) beide wahr sind, spricht man von einer logisch äquivalenten Aussage
Was ist eine Inversion?
Eine Inversion ist ein üblicher Fehler.
Eine Inversion der Implikation "wenn A, dann B" ist die Aussage "wenn nicht A, dann nicht B". Was logisch gesehen keine Aussagekraft hat
\(A \Rightarrow B\) ist nicht äquivalent zu \( \lnot A \Rightarrow \lnot B\). Auch sagt die Aussage \(A \Rightarrow B\) nichts über die Wahrheit dessen Inversion aus.
Was ist eine Notwendige Bedingung?
Eine notwendige Bedingung ist eine, die benötigt wird, damit eine Aussage gilt.
Anders gesagt beduetet "A ist notwendig für B" demnach, dass "B nur dann wenn A" gilt. Wie wir wissen ist das dasselbe wie \(B \Rightarrow A\)
Was ist eine Hinreichende Bedingung?
Eine hindreichende Bedingung ist eine, die garantiert, dass eine Aussage gilt.
Anders gesagt, bedeutet "A ist hinreichend für B" demmnach, dass "B falls A" gilt. Das ist dasselbe wie " \(A \Rightarrow B\)"
Was ist eine Kontraproduktion?
Eine Kontraproduktion einer Implikatio \(A \Rightarrow B\) ist \(\lnot B \Rightarrow \lnot A\)
Was ist eine Konversion?
Konversion ist eine Umkehrung
die Konversion von \(A \Rightarrow B\) ist \(B \Rightarrow A\)
Was ist eine Tautologie?
Es gibt Aussageverknüpfungen, die allein auf Grund ihrer logischen Struktur immer wahr sind, unabhängig davon, welche Wahrheitswerte die verknüpften Einzelaussagen besitzen.
de Morgan'sche Regeln
\(\lnot (A \bigwedge B) \Longleftrightarrow (\lnot A) \bigvee (\lnot B)\)
\(\lnot (A \bigvee B) \Longleftrightarrow (\lnot A) \bigwedge (\lnot B)\)
Kommutativgesetzt
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Kommutativgesetzt
\(A \bigwedge B \Longleftrightarrow B \bigwedge A\)
\(A \bigvee B \Longleftrightarrow B \bigvee A\)
Assoziativgesetz
\(A \bigwedge (B \bigwedge C) \Longleftrightarrow (A \bigwedge B) \bigwedge C\)
\(A \bigvee (B \bigvee C) \Longleftrightarrow (A \bigvee B) \bigvee C\)
Distributivgesetzt
\(A \bigwedge (B \bigvee C) \Longleftrightarrow (A \bigwedge B) \bigvee (A\bigwedge C)\)
\(A \bigvee (B \bigwedge C) \Longleftrightarrow (A \bigvee B) \bigwedge (A\bigvee C)\)
