VO Reelle Analysis in mehreren und komplexe Analysis in einer Variable für LAK
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250022, LV-Titel: VO Reelle Analysis in mehreren und komplexe Analysis in einer Variable für LAK, LV-Leiterin: Olivia Konstantin, SS 2014
Universität Wien, SPL Mathematik, LV-Nr: 250022, LV-Titel: VO Reelle Analysis in mehreren und komplexe Analysis in einer Variable für LAK, LV-Leiterin: Olivia Konstantin, SS 2014
Definition: Gradientenfeld
siehe Abb
Definition: Gebiet
siehe Abb
Eigentschaften von stetigen Vektorfeldern
siehe Abb
Definition: sternförmig
siehe Abb
M sternförmig => M wegzusammenhängend
praktische Bestimmung einer Stammfunktion laut 8.3.13
Gegeben: Ein Vektorfeld v: G -> G
- Ist v stetig-differenzierbar?
- Ist G sternförmig?
wenn nein: Anderen Weg versuchen (zB Unabhängigkeit der Wegintegrale untersuchen)
wenn ja: => 3. - Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt?
wenn nein: Es gibt keine Stammfunktion
wenn ja: => 4. - Konstruieren einer Stammfunktion, siehe Abb
Definition: kompaktes n-dimensionales Intervall, Inhalt, Durchmesser
siehe Abb
Definition: Zerlegung, Feinheit
siehe Abb
Definition: Oberfläche eines Flächenstücks mit Parametrisierung
siehe Abb
Definition: Zwischenvektor
siehe Abb (???)
Definition: Oberintegral, Unterintegral, RIEMANN-integrierbar
siehe Abb
Satz von FUBINI (Anwendung: Iterierte Integrale)
- einfache Variante
- verallgemeinerte Variante
siehe Abb
Prinzip von CAVALLERI ("Salamischnitt"-Integrale)
siehe Abb
Satz zur allgemeinen Substitutionsregel von Mehrfachintegralen
siehe Abb
Definition: Obersumme und Untersumme
siehe Abb
Satz von GAUSS-GREEN
siehe Abb
Definition: Normalenvektor
siehe Abb
Skalares Feld
siehe Abb
Orientiertes Integral eiens Vektorfeldes
siehe Abb
Integralsatz von STOKES
siehe Abb
Satz von GAUSS (Divergenzsatz)
siehe Abb
Recheneigenschaften der konjugiert komplexen
Sei x,y eine komplexe Zahl und x_, y_ dessen Konjugierte.
- x = a+ib => x_= a-ib
- (x+y)_ = x_ + y_
- (x*y)_ = x_ * y_
- Re(x) = (x+x_)/2
- Im(x) = (x-x_)/2i
- x*x_ = a2+b2
Recheneigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl
Seien x,y komoplexe Zahlen und x_, y_ deren konjugierte.
- |x| = sqrt(x2+y2) = sqrt(x*x_)
- |x| ≥ 0 und |x| = 0 <==> x=0
- |x| = |x_|
- |x*y| = |x|*|y|
- |Re(z)| ≤ |x| und |Im(z)| ≤ |x|
- |x+y| ≤ |x|+|y|
Konvergenz von komplexen Folgen
Definition
Eine komplexe Folge cn konvergiert gegen eine komplexe Zahl z0, wenn folgendendes gilt: Sei Epsilon>0 so lässt sich eine N finden s.d. für alle n≥N gilt, dass |cn-z0|<Epsioln.
Das trifft genau dann zu wenn Re(cn) und Im(cn) konvergieren.
Definition stetig-differenzierbar
Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.
Definition: Defferenzierbarkeit von Funktionen mit einer Variable
siehe Abb
Tricks für Limiten
Erkläre anhand der Bsp, wie diese Limiten berechnet werden.
- Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
- Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
- Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
- Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2
Konvergenzkriterien für Reihen
siehe Abb
Definition: Stetigkeit von Funktionen mit einer Variable
siehe Abb
Satz von Cauchy-Hadamard
siehe Abb
Definition: Häufungspunkt
siehe Abb
Definition: Limes von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Definition: Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Theoriefrage 10:
- Definieren Sie punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.
- Zeigen Sie, dass der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktinen stetig ist.
- Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das im Allgemeinen nicht für punktweise konvergente Folge stetiger Funktionen gilt.
siehe Abb
Gegenbeispiel: fn(x)= n-te Wurzel aus x
=> f(x)=0 für x=0 und f(x)=1 für x>0
Definition: Defferenzierbarkeit von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Implikationen zu stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar, partiell ableitbar
siehe Abb
zusätzlich: partiell ableitbar und jede partielle Ableitung stetig => differenzierbar
Mittelwertsatz
siehe Abb
Beweis Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Definition: Richtungsableitung
siehe Abb
Definition: Gradient
Eigentlich nur ein Spezialfall der JACCOBI-Matrix
Definition: Niveaumenge
siehe Abb
Definition: Vektorfeld
siehe Abb
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Lernkarten
Recheneigenschaften der konjugiert komplexen
Sei x,y eine komplexe Zahl und x_, y_ dessen Konjugierte.
- x = a+ib => x_= a-ib
- (x+y)_ = x_ + y_
- (x*y)_ = x_ * y_
- Re(x) = (x+x_)/2
- Im(x) = (x-x_)/2i
- x*x_ = a2+b2
Recheneigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl
Seien x,y komoplexe Zahlen und x_, y_ deren konjugierte.
- |x| = sqrt(x2+y2) = sqrt(x*x_)
- |x| ≥ 0 und |x| = 0 <==> x=0
- |x| = |x_|
- |x*y| = |x|*|y|
- |Re(z)| ≤ |x| und |Im(z)| ≤ |x|
- |x+y| ≤ |x|+|y|
Konvergenz von komplexen Folgen
Definition
Eine komplexe Folge cn konvergiert gegen eine komplexe Zahl z0, wenn folgendendes gilt: Sei Epsilon>0 so lässt sich eine N finden s.d. für alle n≥N gilt, dass |cn-z0|<Epsioln.
Das trifft genau dann zu wenn Re(cn) und Im(cn) konvergieren.
Definition stetig-differenzierbar
Wenn f' an der Stelle x stetig ist, so nennt man f an jener Stelle stetig differenzierbar.
Definition: Defferenzierbarkeit von Funktionen mit einer Variable
siehe Abb
Tricks für Limiten
Erkläre anhand der Bsp, wie diese Limiten berechnet werden.
- Im Zähler und Nenner durch größte Potenz von n dividieren (also durch n^5). Dann Grenzübergang machen => Ergebnis = 1/3.
- Das selbe wie 1. hier ist aber n^(5/2) die größte Potenz. => Ergebnis = 0
- Sandwich Theorem: (-1)^n/n ≤ cos(n)/n ≤ (-1)^n/n und lim( (-1)^n/n ) = 0 also ist auch lim(cos(n)/n)=0
- Binomsche Formel verwenden: mit (sqrt(n^2+n+2)-sqrt(n^2+2)) erweitern und dann haben wir im zähler (a+b)(a-b). Dann wieder durch höchste von n dividieren => Endergebnis = 1/2
Konvergenzkriterien für Reihen
siehe Abb
Definition: Stetigkeit von Funktionen mit einer Variable
siehe Abb
Satz von Cauchy-Hadamard
siehe Abb
Definition: Häufungspunkt
siehe Abb
Definition: Limes von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Definition: Stetigkeit von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Theoriefrage 10:
- Definieren Sie punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.
- Zeigen Sie, dass der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktinen stetig ist.
- Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass das im Allgemeinen nicht für punktweise konvergente Folge stetiger Funktionen gilt.
siehe Abb
Gegenbeispiel: fn(x)= n-te Wurzel aus x
=> f(x)=0 für x=0 und f(x)=1 für x>0
Definition: Defferenzierbarkeit von Funktionen mit mehreren Variablen
siehe Abb
Implikationen zu stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar, partiell ableitbar
siehe Abb
zusätzlich: partiell ableitbar und jede partielle Ableitung stetig => differenzierbar
Mittelwertsatz
siehe Abb
Beweis Idee:
- Definiere g(x):= f(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a)
- Betrachte g(a) und g(b) => g(a)=g(b) => Wir könne Satz von ROLLE anwenden.
- Es gibt also ein p zwischen a und b mit g'(p)=0.
- Betrachte: g'(p) = f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a) dann nach f'(x) umformen.
Definition: Richtungsableitung
siehe Abb
Definition: Gradient
Eigentlich nur ein Spezialfall der JACCOBI-Matrix
Definition: Niveaumenge
siehe Abb
Definition: Vektorfeld
siehe Abb
Definition: Diffeomorphismus
siehe Abb
Definition: lokale und globale Maxima/ Minima
siehe Abb
Definition: kritischer Punkt
siehe Abb
Definition: pos. definit, pos. semidefinit, indefinit, neg. semidefinit, neg. definiti
siehe Abb
Merkmale zur Definitheit einer Matrix
siehe Abb
Definition: separat stetig
siehe Abb
Cauchys Irrtum - Peanos Gegenbeispiel
siehe Abb
Definition: stetig und gleichmäßig stetig
siehe Abb
Gleichung für Tangentialebene
siehe Abb
Definition:
- zulässige Parametrisierung
- äquivalente Wege
- Parametrisierung
siehe Abb
Definition: Weglänge
siehe Abb
Definition: Wegintegral
siehe Abb
Definition: inverser Weg
siehe Abb
Definition: Gradientenfeld
siehe Abb
Definition: Gebiet
siehe Abb
Eigentschaften von stetigen Vektorfeldern
siehe Abb
Definition: sternförmig
siehe Abb
M sternförmig => M wegzusammenhängend
praktische Bestimmung einer Stammfunktion laut 8.3.13
Gegeben: Ein Vektorfeld v: G -> G
- Ist v stetig-differenzierbar?
- Ist G sternförmig?
wenn nein: Anderen Weg versuchen (zB Unabhängigkeit der Wegintegrale untersuchen)
wenn ja: => 3. - Ist die Integrabilitätsbedingung erfüllt?
wenn nein: Es gibt keine Stammfunktion
wenn ja: => 4. - Konstruieren einer Stammfunktion, siehe Abb
Definition: kompaktes n-dimensionales Intervall, Inhalt, Durchmesser
siehe Abb
Definition: Zerlegung, Feinheit
siehe Abb
