Vektorrechnung
Formeln zur Vektorrechnung
Formeln zur Vektorrechnung
Betrag (Länge) eines Vektors
Richtiungswinkel eines Vektors (Richtungskosinus)
Berechnung der Vektorkoordinaten ax, ay, az
Addition und Subtraktion von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem reelen Skalar (Komponentenweise)
Skalarprodukt in der Komponentenschreibweise
Schnittwinkel zweier Vektoren
Vektorprodukt a x b
Geometrisch ergibt der Betrag des Vektorprodukts a x b den Flächeninhalt des durch die Vektoren "a" und "b" aufgespannten Parallelogramms.
\(\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\)
Geometrische Deutung des Betrags des Vektorproduktes
In welchen Anwendungen kommen Skalarprodukte von Vektoren vor?
- Arbeit einer Kraft beim Verschieben einer Masse.
- Spannung (Potenzialdifferenz) zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes.
- Winkelberechnung zwischen zwei Kräften oder in ebenen geometrischen Figuren (z.B. in Dreiecken)
Skalarprodukt
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\gamma}\)
(Es ist immer der kleiner Winkel zu nehmen)
Was passiert, wenn das Skalarprodukt zweier, vom Nullvektor verschiedenen, Vektoren verschwindet, also = 0 ist?
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (orthogonoal).
Winkel zwischen zwei Vektoren
\(\gamma = \arccos \left (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot | \vec{b}|}\right ) \)
Welche Größen sind als Vektorprodukt darstellbar?
- Drehmoment M einer an einem starren Körper angreifenden Kraft
- Drehimpuls L eines rotierenden Körpers
- Lorentz-Kraft FL die ein Ladungsträger (z.B. ein Elektron) beim Durchgang durch ein Magnetfeld erfährt
- Kraft auf eunen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld
Berechnung des Vektorproduktes anhand der skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten)
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} \)
Definition des Spatprodukts
\([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \)
Geometrische Deutung eines Spatproduktes
Die drei Vektoren a, b und c spannen ein sogenanntes Parallelepiped (Spat) auf. Der Betrag gibt das Spatvolumen an.
Betrag des Spatproduktes
\(V_{Spat} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b} \times \vec{c}| \cdot | \cos \varphi|\)
Berechnung des Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
\([ \vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c}) \\= a_x(b_yc_z - b_zc_y) + a_y (b_zc_x - b_xc_z)+ a_z(b_xc_y - b_yc_x) \)
Regel von Sarrus
Vektorproduktes in Determinantenschreibweise
Determinantenschreibweise Spatprodukt
Wie lautet die Komponentenschreibweise von Vektoren?
\(\vec{a} = a_x \vec{e}_x + a_y \vec{e}_y + a_z \vec{e}_z \)
Was heißt "lineare Unabhängigkeit"?
In einem dreidimensionalen Raum können höchstens 3 Vektoren linear unabhängig sein.
Es bedeutet,das die lineare Vektorgleichung (Komponentendarstellung oder Linearkombination) nur für Koeefizienten = 0 Null werden.
Was bedeutet die lineare Abhängigkeit beim Spatprodukt
Das Spatprodukt wird bei unteschiedlichen Koeffizienten zu Null und damit liegen die Vektoren in einer Ebene.
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Cartes-fiches
Betrag (Länge) eines Vektors
Richtiungswinkel eines Vektors (Richtungskosinus)
Berechnung der Vektorkoordinaten ax, ay, az
Addition und Subtraktion von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem reelen Skalar (Komponentenweise)
Skalarprodukt in der Komponentenschreibweise
Schnittwinkel zweier Vektoren
Vektorprodukt a x b
Geometrisch ergibt der Betrag des Vektorprodukts a x b den Flächeninhalt des durch die Vektoren "a" und "b" aufgespannten Parallelogramms.
\(\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\)
Geometrische Deutung des Betrags des Vektorproduktes
In welchen Anwendungen kommen Skalarprodukte von Vektoren vor?
- Arbeit einer Kraft beim Verschieben einer Masse.
- Spannung (Potenzialdifferenz) zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes.
- Winkelberechnung zwischen zwei Kräften oder in ebenen geometrischen Figuren (z.B. in Dreiecken)
Skalarprodukt
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\gamma}\)
(Es ist immer der kleiner Winkel zu nehmen)
Was passiert, wenn das Skalarprodukt zweier, vom Nullvektor verschiedenen, Vektoren verschwindet, also = 0 ist?
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (orthogonoal).
Winkel zwischen zwei Vektoren
\(\gamma = \arccos \left (\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot | \vec{b}|}\right ) \)
Welche Größen sind als Vektorprodukt darstellbar?
- Drehmoment M einer an einem starren Körper angreifenden Kraft
- Drehimpuls L eines rotierenden Körpers
- Lorentz-Kraft FL die ein Ladungsträger (z.B. ein Elektron) beim Durchgang durch ein Magnetfeld erfährt
- Kraft auf eunen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld
Berechnung des Vektorproduktes anhand der skalaren Vektorkomponenten (Vektorkoordinaten)
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} \)
Definition des Spatprodukts
\([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \)
Geometrische Deutung eines Spatproduktes
Die drei Vektoren a, b und c spannen ein sogenanntes Parallelepiped (Spat) auf. Der Betrag gibt das Spatvolumen an.
Betrag des Spatproduktes
\(V_{Spat} = | \vec{a}| \cdot | \vec{b} \times \vec{c}| \cdot | \cos \varphi|\)
Berechnung des Spatproduktes aus den skalaren Vektorkomponenten
\([ \vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c}) \\= a_x(b_yc_z - b_zc_y) + a_y (b_zc_x - b_xc_z)+ a_z(b_xc_y - b_yc_x) \)
Regel von Sarrus
Vektorproduktes in Determinantenschreibweise
Determinantenschreibweise Spatprodukt
Wie lautet die Komponentenschreibweise von Vektoren?
\(\vec{a} = a_x \vec{e}_x + a_y \vec{e}_y + a_z \vec{e}_z \)
Was heißt "lineare Unabhängigkeit"?
In einem dreidimensionalen Raum können höchstens 3 Vektoren linear unabhängig sein.
Es bedeutet,das die lineare Vektorgleichung (Komponentendarstellung oder Linearkombination) nur für Koeefizienten = 0 Null werden.
Was bedeutet die lineare Abhängigkeit beim Spatprodukt
Das Spatprodukt wird bei unteschiedlichen Koeffizienten zu Null und damit liegen die Vektoren in einer Ebene.
