Theoretische Physik II Elektrodynamik
Definitionen, Sätze und Identitäten aus der theoretischen Elektrodynamik auf Grundlage der entsprechenden Vorlesung an der TUM im WS 16/17
Definitionen, Sätze und Identitäten aus der theoretischen Elektrodynamik auf Grundlage der entsprechenden Vorlesung an der TUM im WS 16/17
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Cartes-fiches
Wie lautet der Gauß'sche Satz und was ist seine Aussage?
\( \iiint_V \vec{\nabla} \cdot \vec{E}(\vec{r}) ~d^3\vec{r}~ = \oint _{A = \partial V} \vec{E} \cdot d\vec{A}\)
Der Fluss eines differenzierbaren Vektorfeldes \(\vec{E}(\vec{r})\) durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Volumenintegral über dessen Quelldichte \(\text{div}~\vec{A}(\vec{r}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A}\)
Wie lautet der Satz von Stokes und was ist seine Aussage?
\(\oint_{C = \partial F} ~d\vec{r} \cdot \vec{A}(\vec{r}) = \iint_F ~ d\vec{F} \cdot \text{rot} \vec{A} (\vec{r})\)
Die Zirkulation eines Vektorfeldes entlang der geschlossenen Kurve C ist gleich der gesamten Wirbeldichte in der Umschlossenen Fläche.
Was sagt der Helmholtz'sche Zerlegung und Eindeutigkeitssatz über Vektorfelder?
Jedes hinreichend schnell abfallende Vektorfeld kann eindeutig in einen wirbelfreien (transversalen) und einen quellfreien (longitudialen) Anteil zerlegt werden:
\(\vec{A}(\vec{r}) = \text{grad}(\alpha(\vec{r})) +\text{rot}(\beta (\vec{r}))\)
Dabei ist \(\alpha\) bestimmt durch
\(\alpha (\vec{r}') = - \frac{1}{ 4 \pi } \int d^3 r' \frac{\text{div} \vec{A}(\vec{r}')}{\vert \vec{r} - \vec{r}' \vert } \)
und \(\beta\) durch
\(\)\(\beta (\vec{r}') = \frac{1}{ 4 \pi } \int d^3 r' \frac{\text{rot} \vec{A}(\vec{r}')}{\vert \vec{r} - \vec{r}' \vert } \)
Was sind Schlussforlgerungen aus dem Helmholtz'schen Zerlegungs und Eindeutigkeitssatz?
1) Ein wirbelfreies Feld (rot A = 0) ist ein Gradientenfeld
2) Ein quellfreies Feld ist ein Rotationsfeld
3) Ein Vektrofeld ist immer eine Überlagerung aus Rotations und Gradientenfeld
4) Das skalare Potential \(\alpha (\vec{r})\) des Vektorfeldes bestimmt sich aus den Quellen von \(\vec{A}(\vec{r}) \):
\(\Delta \alpha(\vec{r}) = \text{div} \vec{A}(\vec{r})\)
5) Das Vektorpotential \(\beta (\vec{r}) \) bestimmt sich aus den Wirbeln von \(\vec{A}(\vec{r}) \):
\(\Delta \beta (\vec{r}) = -\text{rot} \vec{A}(\vec{r}) \)
Wie ist die Dirac'sche Deltadistribution definiert? Was sind wichtige Identitäten?
Die Funktion ist definiert als \(\delta(x) = \begin{cases} \infty& \text{für} ~ x = 1\\ 0 ~ &\text{sonst} \end{cases}\) mit der Eigenschaft, dass \(\int_{-\infty}^\infty dx ~\delta(x) = 1\)
Wichtige Identitäten sind \(\Delta \frac{1}{\vert \vec{r} - \vec{r}' \vert} = - 4 \pi \delta(\vec{r} - \vec{r}' )\) und \(\delta(x - a) = \lim \limits_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon }{\epsilon ^2 + (x -a )^2}\)
Weiter ist \(\int_\alpha^\beta f(x) \delta(x -a ) dx = \begin{cases} f(a), & \alpha < a < \beta \\ \frac{1}{2} f(a) , & a = \alpha ~ \text{oder}~ a = \beta \\ 0 , & a \ne \alpha, \beta\end{cases} \)
Ferner ist bei einer Koordinaten Transformation die Deltadistribution im Integral mit dem 1/Funktionaldeterminante zu multiplizieren (Siehe Nolting S. 7)
Wie ist \(\epsilon_{klm}\epsilon_{pqm} \) mit Kronecker' Deltas auszudrücken? Wie ist das Produkt \(\epsilon_{klm}\epsilon_{pqr} \) allgemein als Determinante auszudrücken?
\(\delta_{kp}\delta_{lq} - \delta_{kp}\delta_{lp}\)
Es ist die Determinante einer 3x3 Matrix mit Kronecker Deltas als Eintrag deren Indizes der Position des Eintrags (Zeile Spalte) entsprechen.
Was ist eine Identität für \(\text{div}(\vec{A} \times \vec{B})\)
\(\text{div}(\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot rot \vec{A} - \vec{A} \cdot \text{rot} \vec{B}\)
Was ist eine Identität für \(\text{rot}(\vec{A} \times \vec{B}) \)
\(\text{rot}(\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \text{div} \vec{B} - \vec{B} \text{div} \vec{A} +(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A} -( \vec{A} \cdot \nabla) \vec{B}\)
Wie lautet die differentielle Form des Gauß'schen Gesetzes?
\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4 \pi \rho\)
Das Elektrische Feld in der Elektrostatik ist rotationsfrei.
\(\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0\)
Wie ist das Elektrostatische Potential \(\Phi\) definiert ?
\(\Phi ( \vec{x}) = \int d^3x' \frac{\rho( \vec{x}')}{\vert \vec{x} - \vec{x} ' \vert } \to \vec{E} = - \vec{\nabla} \cdot \Phi\)
Was sind die 2 Green'schen Identitäten ?
Für \(\Phi, \Psi\) zwei Skalarfelder folgt:
1) \(\int_V d^3x (\Phi \Delta\Psi + (\vec{\nabla} \Phi) \cdot (\vec{\nabla} \Psi)) = \int_{\partial V} da \Phi \frac{\partial \Psi}{\partial n}\) mit \(\frac{\partial \Psi}{\partial n} = \vec{n} \cdot \vec{\nabla}\Psi\)
2) \(\int_V d^3x (\Phi \Delta \Psi - \Psi \Delta\Phi) = \int_{\partial V} da (\Phi \frac{\partial \Psi}{\partial n} - \Psi \frac{\partial \Phi}{\partial n}) \)
