theoretische Akustik
Gleichungen und andere Zusammenhänge.
Gleichungen und andere Zusammenhänge.
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Cartes-fiches
Eigenschaften von LTI-Systemen?
- Linear -> Superpositionsprinzip
\(L\{c_1*x_1(t)+c_2*x_2(t)\}=c_1*L\{x_1(t)\}+c_2*L\{x_2(t)\}\)
- zeitinvariant -> späterer Versuch hat das gleiche Ergebnis
\(y_1(t)=L\{x_1(t)\}\\ y_1(t-\tau)=L\{x_1(t-\tau)\}\)
- frequenztreu -> Eingang und Ausgang bestehen in derselben Frequenz
\(L\{x_0*cos(\omega t)\}=y_0*cos(\omega t+\phi)\)
- Das Ausgangssignal eines LTI-Systems entspricht der Faltung des Eingangssignals mit der Systemantwort auf den Dirac-Impuls (also der Impulsantwort)
Beschreibung LTI-Übertrager durch Impulsantwort - Ansatz?
Zerlegung in nicht zerkleinerbare Teile und anschließende Summation.
Kleinster Baustein: Rechteckfunktion
\(r_{\Delta T}=\begin{matrix} \frac{1}{\Delta T}&;&-\frac{\Delta T}{2}\leq t\leq \frac{\Delta T}{2}\\ 0&;&sonst \end{matrix}\)
Was ist die Impulsantwort?
Die Systemantwort h(t) auf den Dirac-Impuls am Eingang.
\(h(t)=L\{\delta(t)\}\)
Was besagt das Invarianz-Prinzip?
Falls der Eingang des Systems aus einem reinen Ton besteht, entspricht der Ausgang eines LTI-Übertragers aus einem reinen Ton gleicher Frequenz.
\(\\y(t)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau) Re\{\underline{x} e^{jw(t-\tau)}\}d\tau \\y(t)=Re\{\underline{x}e^{j\omega t} H(\omega)\}\)
Fourier-Reihen: Ansatz?
Zerlegung in harmon. Anteile besteht nur aus Bausteinen mit Periodendauer Tn, die ganzzahlige Vielfache sind einer Periodendauer T:
\(T_n=\frac{T}{n} -> \omega_n=\frac{2\pi}{T_n}=\frac{2\pi n}{T}\)
Modell Eingangssignal:
\(x_M(t)=\sum_{-N}^{N}A_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t}\)
enthält 2n+1 Summanden, mit wachsendem N kommt xM(t) immer näher an x(t) heran
-> Bestimmung von An
Nenne die Geichungen für die Fourier-Reihe (Berechnung der Amplituden und Zerlegung des Eingangssignals)
\(A_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}\)
mit
\(x(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}A_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t}\)
Nenne Analyse- und Synthesegleichung der Fouriertransformation
Analyse: \(X(\omega)=\lim_{T\to\infty}TA_n=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\)
Synthese: \(x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\)
Was beschreibt die Hilbert-Transformation?
Die Hilbert-Transfprmation liefert einen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil einer Übertragungsfunktion so, dass sich der beschriebene Übertrager kausal verhält.
\(Im\{H(\omega)\}=-j\mathcal{F}\{h_u(t)\}=-j\mathcal{F}\{Sign(t)\mathcal{F}^{-1}\{Re\{H(\omega)\}\}\}\)
Wie lautet die Boyle-Mariotte-Gleichung?
\(p_GV_G=\frac{m}{M_{mol}}RT_G\)
bzw. für akustische Zwecke:
\(p_G=\frac{R}{M_{mol}}\rho_GT_G\)
Wie verhält sich der relative Schalldruck zu Temperatur und Dichte?
\(\frac{p}{p_0}=\frac{T}{T_0}+\frac{\rho}{\rho_0}\)
Nenne die adiabatische Zustandsgleichung (linearisiert und nicht linearisiert).
\(\frac{p_G}{p_0}=(\frac{\rho_g}{\rho_0})^\kappa\)
linearisiert mit Taylor-Reihe:
\(\frac{p}{p_0}=\kappa \frac{\rho}{\rho_0}\)
Nenne zwei Formeln für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit.
1. \(c=\sqrt{\frac{p}{\rho}}\) (Dichte als Wechselgröße, nicht als Ruhegröße!)
2.\(c=\sqrt{\kappa\frac{R}{M_{mol}}T_0}\)
Welche Prinzipien wurden zur Herleitung der Wellengleichung verwendet?
Die Massen- und die Impulserhaltung.
Wie wurde die Massenerhaltung in der Herleitung der WG angewandt?
- Betrachtung eines Volumenelements mit Seitenfläche S, Breite \(\Delta x\)
1. Massenänderung entspricht Differenz aus Massenzufluss und Massenabfluss:
\(\Delta M=u(x)S\,\rho_G(x)\,\Delta t-u(x+\Delta x)S\,\rho_G(x+\Delta x)\Delta t\)
2. Massenänderung entspricht Zu- bzw. Abnahme der gespeicherten Masse im Volumen dV:
\(\Delta M=[\rho_G(t+\Delta t)-\rho_G(t)]\Delta xS\)
3.Gleichsetzen, durch "delta" x und "delta" t teilen
4.Differenzenquotienten zu Ableitungen umformen (Volumenelement wird unendlich klein, Zeitdifferenz unendlich kurz):
\(\frac{\partial(\rho_Gu)}{\partial x}+\frac{\partial\rho_G}{\partial t}=0\)
Wie wurde die Impulserhaltung zur Herleitung der WG angewandt?
Betrachtung des Volumenelements mit Seitenfläche S und Breite \(\Delta x\)
1. Impulszuwachs durch äußere Kraft
\(\Delta I_1=[p_G(x)-p_G(x+\Delta x)]\,S\,\Delta t\)
(Impuls ja eigentlich definiert durch I=m*v. Hier ist I = p*S*t. p*S ist die Kraft F, diese ist m*a. Man hat also m*a*t. a*t ist v.)
2. Impulszuwachs durch zu -bzw. abfließende Masse
\(\Delta I_2=\rho_G(x)u(x)S\enspace u(x)-\rho_G(x+\Delta x)u(x+\Delta x) S \enspace u(x+\Delta x)\)
3. Impulsänderung durch Änderung des Produktes aus Masse und Geschwindigkeit
\(\Delta I=\rho_G(t+\Delta t)u(t+\Delta t)S\,\Delta x - \rho_G(t)u(t)S\,\Delta x \\ \Delta I= [\rho_G(t+\Delta t)u(t+\Delta t)- \rho_G(t)u(t)]\,S\,\Delta x\)
4. I1 + I2 = I, durch delta x und delta t teilen, Differenzenquotienten zu Ableitung machen:
\(\frac{\partial(\rho_G u)}{\partial t}+\frac{\partial p_G}{\partial x}+\frac{\partial (\rho_Gu²)}{\partial x}= 0\)
Was ist die Lighthill-Gleichung?
Die Lighthill-Gleichung ist die allgemeinste Beschreibung von 1D-Vorgängen. Sie enthält alle Nichtlinearitäten außer Reibung.
\(\frac{\partial ² p_G}{\partial t²}-\frac{\partial² p_G}{\partial t²}+\frac{\partial ² (\rho_G u²)}{\partial x²}=0\) (Drücke und Dichte sind Gesamtgrößen aus Ruhegrößen und Wechselgrößen!)
Lighthill ergibt sich aus
\({\partial Massenerhaltung \over \partial t} = {\partial Impulserhaltung \over \partial t}\)
Wie lautet die Wellengleichung?
\(\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial p^2}{\partial t^2}=0\)
Wie lautet das Trägheitsgesetz der Akustik?
\(\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial x}\)
