B1 AI
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Lernkarten
Definition 1. Aussagen
sind Satze zur Beschreibung von Eigenschaften
(Pradikaten) p; q; : : : von Individuen x0; x1; : : : aus einem bestimmten
Individuenbereich x = fx0; x1; : : :g: Aussagen sind entweder wahr w oder falsch
f. (Der Dozent Z. ist alter als der Student S..)
Defintion 2. Aussagenvariable
a,b,...sind Symbole für Aussagen
Definition 3. Aussagenlogische Ausdrücke
sind definiert wie folgt:
- die Aussagenvariable a, b,... und die Wahrheitswerte w und f sind Ausdrücke
- wenn a und b Ausdrucke sind, so sind auch a nicht, a ^ b, a oder b, a impliziert b und a äquivalent b Ausdrücke
- nur diese gebildeten Zeichenketten sind Ausdrücke.
Definition 4. Terme
sind die Wahrheitswerte w und f sowie alle
Individuensymbole x. Ist f ein n-stelliges Funktionssymbol und t1,..., tn Terme,
so ist auch f(t1,...,tn) ein Term. Andere Terme existieren nicht.
Definition 5.
Wenn p ein n-stelliges Pradikatensymbol und t1,...,tn Terme
sind, so ist auch p(t1,...,tn) ein Elementarausdruck. Wenn t1 und t2 Terme
sind, so ist auch t1 = t2 ein Elementarausdruck.
Definition 6.
Jeder Elementarausdruck ist ein pradikatenlogischer Ausdruck.
Sind a und b Ausdrucke, so sind auch \(a,a\wedge b, a \rightarrow b, a \sim b\) Ausdrucke. Wenn
a(x) ein Ausdruck und x ein in a(x) vorkommendes Individuensymbol ist, wobei
in a(x) keine Symbolfolge der Art \(\forall x\) oder \(\exists x\) vorkommt, so sind auch \(\forall x (a(x))\)
oder \(\exists x (a(x))\) pradikatenlogische Ausdrucke. Nur so gebildete Zeichenreihen sind
pradikatenlogische Ausdrucke.
Definition 7.
Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlde nierter Elemente
fur die eine von diesen Elementen abhangige Aussage wahr ist.
\(\forall a(a \in A \leftrightarrow p_A(a))\) wahr ist. oder \(A= \lbrace a_0, a_1,...\rbrace\)
Algebra
besteht aus einer Tragermenge P(M), Operationen uber dieser
Menge, die bestimmte Eigenschaften (Axiome) erfullen, sowie neutralen
Elementen fur diese Operationen (neutral heisst, keinen Ein
uss auf das
Ergebnis der Operation)
\(BMA = [P(M), \cup, \cap, \overline{n}, \emptyset,M]\)
Axiome
bilden das Regelwerk der Algebra Kommutativität, Assoziativität,
Distributivität, Operationen mit neutralen Elementen (\(\emptyset\) ist neutrales Element
der Vereinigung), Komplementarität
Umformungs- Kürzungsregeln
de MORGANsche Regel, Idempotenz,
Adjunktivitat, Vereinigungsregel, Schnittregel, Komplementregel
Mächtigkeit
|A| = \(m \leftrightarrow A\) enthält m Elemente
