Stochastik - KE 3 (bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit)

Seien A, B Teilmengen von Omega und P(B) > 0, dann heißt:

P(A|B) = P(A geschnitten B)/P(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B für alle A, es gilt also:

P_B(A) = P(A|B).

Seien A, B Teilmengen von Omega und P(B) > 0, dann gelten:

1. Wenn B eine Teilmenge von A ist, dann ist P(A|B) = 1.
2. Wenn A geschnitten B die leere Menge ist, dann ist P(A|B) = 0.
3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist sigma-additiv.
4. P(A^c|B) = 1 - P(A|B).

Seien (Omega, p) ein Laplace-Experiment, A, B Teilmengen von Omega und B nichtleer, dann gilt:

P(A|B) = |A geschnitten B| / |B|.

Sei (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Omega durch die Vereinigung höchstens abzählbar vieler, disjunkter B_i aus Skript-A darstellbar mit P(B_i) > 0 für alle B_i. Dann gilt:

Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Omega durch die Vereinigung höchstens abzählbar vieler, paarweise disjunkter B_i aus Skript-A darstellbar mit P(B_i) > 0 für alle B_i. Dann gilt:

Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A₁, …, A_n aus Skript-A, dann gilt:

Es ist (Omega, p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und omega = {0, 1}ⁿ für alle omega aus Omega. Betrachtet wird die n-malige Ziehung nicht unterscheidbarer Teilchen mit Zurücklegen von jeweils c+1 Teilchen der gezogenen Sorte für ein c aus IZ aus einer Urne mit r Einsen und s Nullen. Es ist dann:

p(omega) = p(k,r,s,c)

wie angegeben. Dann ist

(ⁿ_k) p(k, r, s, c)

die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung eines n-Tupel mit k Einsen.

Es sind:

• Prävalenz: Verbreitung der Krankheit innerhalb der Grundgesamtheit (zum Beispiel 2% der Bevölkerung eines Landes sind infiziert),
• Spezifität: Quote der positiven Testergebnisse bei Gesunden (zum Beispiel 10% der durch den Test als infiziert erkannten sind gesund),
• Sensititvität: Quote der positiven Testergebnisse bei Infizierten (zum Beispiel 95% der durch den Test als infiziert erkannten sind auch infiziert).

Das Hardy-Weinberg-Gesetz quantifiziert die relativen Häufigkeiten der möglichen Genotypen eines diploiden Organismuses bei freier Partnerwahl in der k-ten Generation ausgehend von Omega ={AA, Aa, aa}³ für die Genotypen des Vaters, der Mutter und des Nachkommens, wobei allgemein gilt r(AA) = u > 0, r(Aa) = 2v > 0 und r(aa) = w > 0, also u + 2v + w = 1, dann gilt:

u_k = (u+v)²,

2v_k = 2(u+v)(v+w),

w_k = (v+w)².

Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B aus Skript-A, dann heißten A und B (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:

P(A geschnitten B) = P(A) P(B).

Seien (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, I, J nichtleere Indexmengen mit J ist Teilmenge von I und {A_i}_{i aus I} eine Familie von Mengen aus Skript-A, dann heißen die A_i (stochastisch) unabhängig bezüglich P, wenn gilt:

P(A_j1 geschnitten … geschnitten A_jk) = P(A_j1) …P(A_jk) für alle j_i aus J.

Sei (Omega, Skript-A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, A¹ := A und A^c das Komplement von A. Die Ereignisse A_i aus Skript-A sind genau dann (stochastisch) unabhängig, wenn für alle (k₁, …, k_n)  aus {1, c}ⁿ gilt:

Sei Omega := { omega = (omega₁, …, omega_n) | omega_i aus {0, 1} für alle i aus [n] } und B_k das Ereignis, dass der k-te Wurf Kopf ist, dann sind die Ereignisse B₁, …, B_n unabhängig.

Seien (Omega₁, p₁), …, (Omega_n, p_n) diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, Omega := Omega₁ x … x Omega_n und p: Omega → [0, 1] definiert durch p(omega) = p(omega₁) …  p(omega_n) für alle omega aus Omega, dann ist die Summe aller p(omega) für alle omega aus Omega gleich 1 und der so konstruierte Wahrscheinlichkeitsraum (Omega, p) heißt der Produktraum der Omega_i mit i aus [n] oder das Produkt-Experiment. Hierbei sind die n Teilexperimente offensichtlich stochastisch unabhängig.

Sei Omega = {E, M}, und p(E) := p und p(M) = 1 - p, dann ist der n-fache Produktraum von Omega :

Omega := {E, M}ⁿ

und es gilt für omega = (omega₁, …, omega_n) aus Omega:

p(omega) = p^k(1-p)^n-k,

wobei k die Anzahl der omega_i = E für i aus [n] bezeichnet. Das hierdurch beschriebene Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Es gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_k, dass k E(rfolge) auftreten:

P(A_k) = (ⁿ_k) p^k(1-p)^n-k := b(k; n, p).

Seien für das i-te Teilexperiment Omega_i := { [k] }, also jeweils k verschiedene Ausgänge möglich, p_i(l) = q_l für l aus [k] und die Summe aller q_l für l aus [k] gleich 1, dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit in n Experimenten insgesamt n₁ mal 1, …, n_k mal k zu ziehen durch:

(ⁿ_{n1, n2, …, nk}) p₁ⁿ¹ p₂ⁿ² … p_k^nk mit n₁ + n_{2 +} … + n_k = n.

Sei Omega₁ := {1, 2, …} = IN und p₁(i) := p(1-p)^i-1, dann liegt ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Länge i vor, bei der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des ersten Erfolgs in der i-ten Ziehung bestimmt wird. Der Wahrscheinlichkeitsraum (Omega₁, p₁) heißt dann geometrisches Experiment.

Sei Omega_r := { omega = (omega₁, …, omega_r) | omega_i aus IN für 1 <= i <= r } und p_r(omega) := p₁(omega₁) … p₁(omega_r), dann liegt ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p vor, bei der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Misserfolgen vor dem r-ten Erfolg bestimmt wird. Der Wahrscheinlichkeitsraum (Omega_r, p_r) heißt dann negatives Bernoulli-Experiment Experiment und die gesucht Wahrscheinlichkeit ist:

(^k+r-1_k) p^r(1-p)^k = (^-r_k) p^r(1-p)^k.

Es beschreibt die Ziehung von n Kugeln aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln mit Zurücklegen, also ein Bernoulli-Experiment mit p(r) = r/(r+s) und p(s) = s/(r+s) und somit für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_k, dass k rote Kugeln gezogen wurden:

P(A_k) = (ⁿ_k) [r/(r+s)]^k [s/(r+s)]^n-k.

Es handelt sich um ein Produktexperiment, das für c = 0 dem Polyá'schen Urnenmodell entspricht.

Es beschreibt die Ziehung von n Kugeln aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln ohne Zurücklegen, somit erhält man in diesem Fall für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A_k, dass k rote Kugeln gezogen wurden zunächst (^r+s_n) Möglichkeiten die n Kugeln zu ziehen und bei k roten gezogenen Kugeln zunächst (^r_k) Möglichkeiten diese k Kugeln und anschließend (^s_n-k) für die zusätzlichen schwarzen Kugeln, also:

P(A_k) = (^r_k) (^s_n-k)/(^r+s_n).

Wir sprechen hierbei von einem hypergeometrischen Experiment, dass vom Charakter einem mehrstufigen Zufallsexperiment entspricht, das kein Produktexperiment ist. Für c = -1 entspricht das Polyá'sche Urnenmodell dem hier vorgestellten.

Es sind für große r und s mit r+s = n, also viele Kugeln die Wahrscheinlichkeiten nahezu gleich, also: