Statistik Teil 2
oh mein Gott -.-
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Lernkarten
Zufallsvorgang
Prozess, der zu einem von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen führt -> kleines Omega
Elementarereignis
Mögliche Ergebnisse eines Zufallsvorgangs. -> Ereignis das nicht weiter zerlegbar ist -> Einelementige Teilmenge von Omega
Ergebnis Menge
Die Menge Omega, kann endlich oder unendlich viele Elemente enthalten. Fasst alle Elementarereignisse zusammen
Komplementärereignis
Ereignis das genau dann Eintritt, wenn A nicht eintritt.
Komplementärmenge
umfasst alle Elementarereignisse, die zu Omega aber nicht zu A gehören
Venn-Diagramm
Veranschaulichung zusammengesetzter Ereignisse. Besteht aus einem Rechteck, bei dem die Ausgangsereignisse als Kreise oder Ellipsen dargestellt werden.
Merkmale eines Zufallexperimentes (3)
1. es ist (zumindest theoretisch) beliebig oft wiederholbar
2. es gibt mehrere mögliche Ergebnisse
3. das konkrete Ergebnis ist vorab nicht vorherzusagen
Welche vier Ereignisse gibt es?
1 Elementarereignis
2. kombinierte Ereignisse
3. sicheres Ereignis
4. unmögliches Ereignis
Vereinigungsmenge
Enthält alle Elemente die in A oder in B enthalten sind.
A U B ist das Eregnis das A oder B oder sogar beides eintritt
Schnittmenge
Alle Elemente die in A und auch gleichzeitig in B liegen.
Ereignis das sowohl A als auch B gemeinsam eintreten.
Differenzmenge
Enthälr alle Elemente aus A, die nicht gleichzeitig in B enthalten sind
Ereignis A aber nicht B tritt ein
sicheres Ereignis
Es wird auf jedenfall eins der Elemente einer Menge in einem Zufallsvorgang realisiert.
Unmögliches Ereignis
stellt die Komplementärmenge zum sicheren Ereignis dar. es wird durch eine leere Menge dargestellt.
disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B, deren Schnittmenge die leere Menge ist, schließen sich aus.
Zufallsexperiment
Zufallsvorgang unter kontrollierten Bedingungen, ist unter gleichbleibenden Bedingungen wiederholbar.
Zufallsvorgang unter nicht-kontrollierten Bedingungen
Ist nicht mit den gleichen Bedingungen wiederholbar.
Wie wird die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A mathematisch beschrieben?
Chance für das Eintreten von Ereignissen A können anhand einer Maßzahl P(A) beschrieben werden.
Wie lauten die 3 Axiome von Kolmogoroff?
K1: P(A) > = 0 Nicht-Negativitätsbedingung
K2: P(Omega) =1 Normierung
K3: P(A U B) = P(A) + P(B) Falls A und B = Ø
Was ist die Besonderheit des dritten Axioms von Kolmogoroff?
Die darin beschriebene Additivität gilt nur bei disjunkten Ereignissen
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
1. Die Komplementärmenge von P(A) ist = 1-P(A)
2. Die Vereinigungsmenge (A oder B) ist = P(A) + P(B) - P( A und B) <- letzter Term fällt bei disjunkten Ereignissen weg
3. Die Differenzmenge von (A\B) ist = P(A) - (P(A und B)
Welche Eigenschaften müssen bei einem Laplace-Experiment vorliegen?
1. Die Ergebnismenge ist endlich
2. Die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse sind alle gleich groß
Wie wird P(A) nach Laplace berechnet?
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Was ist das besondere von Laplace?
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten nach Laplace erfüllen auch immer die Axiome von Kolmogoroff
relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann als Grenzwert relativer Häufigkeiten berechnet werden.
fn stellt dann die Approximation (Schätzwert) für die interessierende Wahrscheinlichkeit dar.
Urnenmodell
Modell zur Herleitung zentraler Ergebnisse für Zufallsvorgänge mit endlicher Ergebnismenge
Urnenmodell mit Zurücklegen
Bsp.: 2 Kugeln in einer Urne es wird n-Mal gezogen, vor jeder Ziehung aber die gezogene Kugel zurückgelegt.
-> Ausgangssituation ist bei der Entnahme eines jeden Elements der Stichprobe unverändert.
- Stichprobenziehung mit Zurücklegen
Urnenmodell ohne Zurücklegen
Bsp.: Lottozahlen, nach der Ziehung einer Zahl wird diese draußen behalten.
-> Die Ausgangssituation ändert sich mit Ziehung jeder Kugel
-> Anzahl der auswählbaren Kugeln nimmt mit jedem Auswahlschritt ab.
- Stichprobenziehung ohne Zurücklegen
Wovon ist die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Urne n Kugeln zu ziehen bestimmt? (Laplace)
1. Urnenmodell mit oder ohne Zurücklegen
2. Urnenmodell mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
geordnete Auswahl
Anordnung der n Kugeln wird berücksichtigt
ungeordnete Auswahl
Anordnung der n Kugeln wird nicht berücksichtigt
Permutationen der n Elemente
Wenn man n nummerierte Kugeln hat gibt es n! Möglichkeiten diese Anzuzordnen.
Binominalkoeffizient
N über n
Zeigt die Anzahl der möglichen Zufallsstichproben des Umfangs n für den fall einer ungeordneten Auswahl ohne Zurücklegen
Wie wird die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet?
Anzahl der für A und B günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der fürB günstigen Ergebnisse
Wie wird die Wahrscheinlichkeit von A und B berechnet?
Anzahl der für A und B günstigen Ergebnisse geiteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Welche Formel gilt für die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A)?
P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)
Wie wird die Formel für die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A) genannt?
Satz von Bayes
unabhängigkeit zweier zufälliger Ereignisse A und B
Das Eintreten von B hat keinen Einfluss aus das Ereignis A.
-> P(A|B) und P(A|¯B) sind mit P(A) identisch
Welcher Bedingung müssen zwei Ereignisse A und B genügen um unabhängig zu sein?
P(A und B) = P(A) +P(B)
Worin liegt der Unterschied der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeit?
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B betrachtet
stochastisches Modell
- berücksichtigt Zufallseinflüsse
