Statistik KE2 Kapitel 2
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wie können Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte besser berechnet und besser miteinander verglichen werden?
Durch den Übergang zu reellen Zahlen können Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte der deskriptiven Statistik (z.B. Lagemaße, Streuungsmaße) von verschiedenen Experimenten besser berechnet und besser miteinander verglichen werden.
Was ist eine Zufallsvariable?
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Was ist eine diskrete Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable, die nur einzelne (höchstens abzählbar viele) Werte annehmen kann, wird als diskret bezeichnet.
Was ist eine stetige Zufallsvariable?
Kann eine Zufallsvariable jeden Wert der reellen Zahlen annehmen oder kann sie innerhalb eines Intervalls der reellen Zahlen jeden Wert annehmen, so wird von einer stetigen Zufallsvariablen gesprochen.
Welche Reichweite haben Zufallsvariablen?
Zufallsvariablen treten in fast allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften auf. Dabei ist in vielen Fragestellungen nicht sofort erkennbar, dass es sich um ein Zufallsexperiment handelt. In vielen Fällen handelt es sich vor allem um Zufallsvariablen, weil aus unterschiedlichen Gründen, alle Einflüsse einer bestimmten Größe nicht ermittelt und in einen Zusammenhang eingeordnet werden können.
Was besagt die Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Für diskrete Zufallsvariablen ergeben die Werte der Zufallsvariablen und die ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten zusammen die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zwischen einer Häufigkeitsverteilung im verteilung Bereich der deskriptiven Statistik und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht eine starke Analogie.
Wie wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben?
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Wie lautet die Definition der Wahrscheinlichkeitsdefinition?
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Welchen Vergleich kann man mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen ziehen?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen kann mit der Häufigkeitsverteilung für relative Häufigkeiten eines diskreten Merkmals verglichen werden. Die beiden angegebenen Eigenschaften für die Wahrscheinlichkeitsfunktion sind Eigenschaften, die auch für relative Häufigkeiten zutreffen.
Wie kann die grafische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion fX(x) erfolgen einer diskreten Zufallsvariablen X erfolgen?
- Säulen oder
- Stabliniendiagramm
Was ist die Summenhäugkeit?
In der deskriptiven Statistik wurde neben der Häufigkeitsverteilung auch die Verteilung der Summenhäufigkeiten zur Beschreibung der Verteilung eines Merkmals eingeführt. Die Summenhäufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik entspricht der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen.
Wie ist die Verteilungsfunktion FX(x) einer Zufallsvariablen X ist definiert?
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Welche Eigenschaften besitzt die Verteilungsfunktion FX einer Zufallsvariablen X ?
- Fx ist monoton steigend
- FX ist rechtsseitig stetig
- die Verteilungsfunktion geht gegen 0, wenn x immer kleiner wird
- Wenn x immer größer wird, geht der Wert der Verteilungsfunktion schließlich gegen 1
Worauf erstreckten sich die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion?
Die angegebenen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion gelten auch bei stetigen Zufallsvariablen, auf die im nächsten Abschnitt eingegangen wird. Es ist zu beachten, dass die Verteilungsfunktion grundsätzlich für die ganze Menge der reellen Zahlen definiert ist. Zu einer korrekten Beschreibung einer Verteilungsfunktion gehört deshalb die Angabe der Funktion für den gesamten Definitionsbereich. Bei diskreten Zufallsgrößen führt das dazu, dass üblicherweise eine intervallweise Beschreibung erfolgen muss.
Welchen Wert kann eine stetige Zufallsvariable einnehmen?
Eine stetige Zufallsvariable kann innerhalb eines reellen Intervalls jeden beliebigen Wert annehmen. Von daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable exakt einen bestimmtenWert annimmt, gleich Null. Wahrscheinlichkeiten können für stetige Zufallsvariablen somit nur für Intervalle berechnet werden.
Was beschreibt die Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen kann approximativ mittels eines Histogramms dargestellt werden, wobei der Flächeninhalt eines vorliegenden Rechtecks proportional zur Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable in das entsprechende Intervall fällt. Für immer kleiner werdende Intervalle wird ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen durch eine glatte Kurve, der sogenannten Dichtefunktion, dargestellt wird
Was sagt die Fläche innerhalb eines beliebigen Intervalls aus?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable in ein beliebiges Intervall fällt, wird mit der entsprechenden Fläche unterhalb der glatten Kurve angegeben. Diese Fläche wird über das Integral berechnet. D.h. anstelle der Summe der Rechteckflächen wird das Integral verwendet, welches als unendliche Summe von vielen kleinen Rechteckflächen aufgefasst werden kann.
Erläutere die Definition der Dichtefunktion?
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Was besagt die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) in einer Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion fX(x) von dem Punkt a bis zum Punkt b. Eine Dichtefunktion zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert in einem Intervall am Rand annimmt geringer ist als in einem Intervall im mittleren Bereich, d.h. die Fläche unterhalb der Kurve über ein Intervall im mittleren Bereich ist größer als die Fläche unterhalb der Kurve über ein gleichbreites Intervall im Randbereich. Die Werte liegen somit dichter im mittleren Bereich. Daher der Name Dichtefunktion.
Was folgt aus der Interpretation der Wahrscheinlichkeit als Fläche.
Aus der Interpretation der Wahrscheinlichkeit als Fläche über einem Intervall unterhalb der Dichtefunktion folgt direkt, dass die Punktwahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten, vorgegebenen Wert (Punkt) x0 annimmt, gleich Null ist.
Wie lässt sich die Verteilungsfunktion für stetige Zufallsvariablen erläutern
FX(x) = P(X ≤ x)
Für eine stetige Zufallsvariable kann jedoch die Verteilungsfunktion nicht mehr durch Summation ermittelt werden, sondern sie wird durch ein Integral mit variabler oberer Grenze x bestimmt.
Wie ist die Verteilungsfunktion FX(x) einer stetigen Zufallsvariablen X definiert?
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Wie können Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte besser berechnet und besser miteinander verglichen werden?
Durch den Übergang zu reellen Zahlen können Wahrscheinlichkeiten und Kennwerte der deskriptiven Statistik (z.B. Lagemaße, Streuungsmaße) von verschiedenen Experimenten besser berechnet und besser miteinander verglichen werden.
Was ist eine Zufallsvariable?
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Was ist eine diskrete Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable, die nur einzelne (höchstens abzählbar viele) Werte annehmen kann, wird als diskret bezeichnet.
Was ist eine stetige Zufallsvariable?
Kann eine Zufallsvariable jeden Wert der reellen Zahlen annehmen oder kann sie innerhalb eines Intervalls der reellen Zahlen jeden Wert annehmen, so wird von einer stetigen Zufallsvariablen gesprochen.
Welche Reichweite haben Zufallsvariablen?
Zufallsvariablen treten in fast allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften auf. Dabei ist in vielen Fragestellungen nicht sofort erkennbar, dass es sich um ein Zufallsexperiment handelt. In vielen Fällen handelt es sich vor allem um Zufallsvariablen, weil aus unterschiedlichen Gründen, alle Einflüsse einer bestimmten Größe nicht ermittelt und in einen Zusammenhang eingeordnet werden können.
Was besagt die Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Für diskrete Zufallsvariablen ergeben die Werte der Zufallsvariablen und die ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten zusammen die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zwischen einer Häufigkeitsverteilung im verteilung Bereich der deskriptiven Statistik und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besteht eine starke Analogie.
Wie wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben?
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Wie lautet die Definition der Wahrscheinlichkeitsdefinition?
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Welchen Vergleich kann man mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen ziehen?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen kann mit der Häufigkeitsverteilung für relative Häufigkeiten eines diskreten Merkmals verglichen werden. Die beiden angegebenen Eigenschaften für die Wahrscheinlichkeitsfunktion sind Eigenschaften, die auch für relative Häufigkeiten zutreffen.
Wie kann die grafische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion fX(x) erfolgen einer diskreten Zufallsvariablen X erfolgen?
- Säulen oder
- Stabliniendiagramm
Was ist die Summenhäugkeit?
In der deskriptiven Statistik wurde neben der Häufigkeitsverteilung auch die Verteilung der Summenhäufigkeiten zur Beschreibung der Verteilung eines Merkmals eingeführt. Die Summenhäufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik entspricht der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen.
Wie ist die Verteilungsfunktion FX(x) einer Zufallsvariablen X ist definiert?
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Welche Eigenschaften besitzt die Verteilungsfunktion FX einer Zufallsvariablen X ?
- Fx ist monoton steigend
- FX ist rechtsseitig stetig
- die Verteilungsfunktion geht gegen 0, wenn x immer kleiner wird
- Wenn x immer größer wird, geht der Wert der Verteilungsfunktion schließlich gegen 1
Worauf erstreckten sich die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion?
Die angegebenen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion gelten auch bei stetigen Zufallsvariablen, auf die im nächsten Abschnitt eingegangen wird. Es ist zu beachten, dass die Verteilungsfunktion grundsätzlich für die ganze Menge der reellen Zahlen definiert ist. Zu einer korrekten Beschreibung einer Verteilungsfunktion gehört deshalb die Angabe der Funktion für den gesamten Definitionsbereich. Bei diskreten Zufallsgrößen führt das dazu, dass üblicherweise eine intervallweise Beschreibung erfolgen muss.
Welchen Wert kann eine stetige Zufallsvariable einnehmen?
Eine stetige Zufallsvariable kann innerhalb eines reellen Intervalls jeden beliebigen Wert annehmen. Von daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable exakt einen bestimmtenWert annimmt, gleich Null. Wahrscheinlichkeiten können für stetige Zufallsvariablen somit nur für Intervalle berechnet werden.
Was beschreibt die Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen kann approximativ mittels eines Histogramms dargestellt werden, wobei der Flächeninhalt eines vorliegenden Rechtecks proportional zur Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable in das entsprechende Intervall fällt. Für immer kleiner werdende Intervalle wird ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen durch eine glatte Kurve, der sogenannten Dichtefunktion, dargestellt wird
Was sagt die Fläche innerhalb eines beliebigen Intervalls aus?
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable in ein beliebiges Intervall fällt, wird mit der entsprechenden Fläche unterhalb der glatten Kurve angegeben. Diese Fläche wird über das Integral berechnet. D.h. anstelle der Summe der Rechteckflächen wird das Integral verwendet, welches als unendliche Summe von vielen kleinen Rechteckflächen aufgefasst werden kann.
Erläutere die Definition der Dichtefunktion?
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Was besagt die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) in einer Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion fX(x) von dem Punkt a bis zum Punkt b. Eine Dichtefunktion zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert in einem Intervall am Rand annimmt geringer ist als in einem Intervall im mittleren Bereich, d.h. die Fläche unterhalb der Kurve über ein Intervall im mittleren Bereich ist größer als die Fläche unterhalb der Kurve über ein gleichbreites Intervall im Randbereich. Die Werte liegen somit dichter im mittleren Bereich. Daher der Name Dichtefunktion.
Was folgt aus der Interpretation der Wahrscheinlichkeit als Fläche.
Aus der Interpretation der Wahrscheinlichkeit als Fläche über einem Intervall unterhalb der Dichtefunktion folgt direkt, dass die Punktwahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten, vorgegebenen Wert (Punkt) x0 annimmt, gleich Null ist.
Wie lässt sich die Verteilungsfunktion für stetige Zufallsvariablen erläutern
FX(x) = P(X ≤ x)
Für eine stetige Zufallsvariable kann jedoch die Verteilungsfunktion nicht mehr durch Summation ermittelt werden, sondern sie wird durch ein Integral mit variabler oberer Grenze x bestimmt.
Wie ist die Verteilungsfunktion FX(x) einer stetigen Zufallsvariablen X definiert?
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