Statistik Basics

- Häufigkeitstabelle
- Kuchendiagramm
- Balkendiagramm

alle Werte zusammenzählen und durch Azahl Werte teilen

teilt die Stichprobe in 2 Hälften, 50% der Daten sind kleiner oder grösser als der Median

kleinster & grösster Werz einer Stichprobe

25% liegen darunter, 75% darüber

75% liegen daruter, 25% darüber

Maximum minus Minimum (Differenz)

Differenz des oberen und des unteren Quartils -> die extremsten Werte, die oberen und unteren 25% werden somit eliminiert!

mittlere quadratische Abweichung der Daten zu ihrem Mittelwert

se(x) = sd(x) / Wurzel von n

die Quadratwurzel der Varianz

misst die Symmetrie/Asymmetrie eines Datensatzes

> 0 heisst rechtsschief oder linkssteil
< 0 heisst linksschief oder rechtssteil
= 0 heisst symmetrische Verteilung

- empirische Verteilfunktion
- Boxplot
- Histogramm

F_n(x) ist der Anteil der Werte, die kleiner sind als x!
-> kann beim Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten dienen: ca. 6% der Schüler sind 1.60m oder kleiner, gleichzeitig heisst es auch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Studentin kleiner als 160 ist, 6% beträgt.
-> die empirische Verteilungsfunktion schätzt die wahre Verteilungsfunktion F ab.

-> macht ab einer Stichprobengrösse von n= 15 Sinn
-> man kann mit Hilfe des Boxplots gut beurteilen ob die Daten symmetrisch verteilt sind oder nicht (wenn man Darstellung beim Median spiegeln kann, dann symmetrisch!)
-> der Boxplot ist nicht gut verfälschbar!

-> Anzahl Kategorien idealerweise zwischen 5 und 20
-> macht ab einer Stichprobengrösse von n=50 Sinn
-> in einem Histogramm wird zu jeder Kategorie ein Balken in der Höhe der absoluten oder relativen Kategorienhäufigkeit gezeichnet.
-> Unterschied zum Balkendiagramm = keine Lücken zwischen den Balken
-> die gleichen Daten mit unterschiedlicher Intervalleinteilung!
-> das Histogram schätzt die Dichtefunktion f ab.

Die Verteilungsfunktion an der Stelle t ist die Fläche unter der Dichtefunktion bis zur Stelle t. -> 2 verschiedene Darstellungen vom Gleichen.

:->  ein Teil der Population

     Einfache Stichprobe: man erhält sie indem man zufällig einige Personen aus einer Population auswählt

     Geschichtete Stichprobe: wenn die Population inhomogen ist (verschiedene Altersgruppen, Geschlechter, soziale Schichten, usw.) muss die Population in Untergruppen aufgeteilt werden und aus jeder Untergruppe eine einfache Stichprobe gezogen werden.

o   Proportional: die richtigen Proportionen einer Population werden gewahrt, eine solche Stichprobe ist repräsentativ für die Population

o   Disproportional: aus jeder Schicht wird die gleiche Anzahl Elemente ausgewählt. Diese Methode erleichtert den Vergleich zwischen den verschieden Schichten.

Prospektiv: die Behandlung liegt in der Gegenwart oder der Zukunft
Retrospektiv: die Behandlung liegt in der Vergangenheit

Resultate und Folgerungen sind verfälscht (biased): 3 Kategorien von Bias-Fehlern:

      - Bias durch die Auswahl der Probanden in einer Stichprobe

      - Bias durch die Vermengung, wenn wichtige Faktoren nicht berücksichtigt werden

      - Bias durch falsche Informationen

Randomisierung: die Gruppenzuteilung der Probanden einer Studie erfolgt zufällig

Stratifikation: wenn bei der Randomisierung bestimmte Faktoren mit einbezogen werden, die die Zielgrösse stark beeinflussen können.

-        Mittelwerte von genügend vielen unabhängigen Zufallsexperimenten sind annäherungsweise normalverteilt
-        Zufällige Messfehler sind bei einigen Versuchen annäherungsweise normalverteilt
-        Einige quantitative Merkmale sind normalverteilt
-        Die Normalverteilung ist symmetrisch!
Wenn eine Normalverteilung herrscht, dann liegt zwischen dem Mittelwert +/- der Standartabweichung ca. 1/3 der gesamten Stichprobe:

Zur Beurteilung ob Daten normalverteilt sind, benutzt man das Quantil-Quantil-Diagramm (QQ-Plot). Wenn die Daten normalverteilt sind, sollten die Punkte auf einer Geraden liegen.
-> kann erst ab einer Stichprobengrösse von mindestens n=30 eingesetzt werden.
(wenn man nicht berechnen kann ob eine Stichprobe normalverteilt ist oder nicht, geht man davon aus, dass sie NICHT normalverteilt ist!)

Rote Hilfslinien: nicht mehr als 5% aller Punkte dürfen ausserhalb dieser Linien liegen

Man möchte den Populationsmittelwert herausfinden, dies geschieht auf einfache Weise mit dem empirischen Mittelwert geschätzt werden. Dabei entsteht ein einziger Wert, welcher aber sehr ungenau sein kann!

Dabei wird eine untere und eine obere Grenze angegeben, zwischen denen der wahre Wert mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% liegt. Das heisst das Vertrauensintervall erlaubt 5% Fehlerquote. (wenn wir ein Experiment 100x Wiederholen, dann liegt der wahre Wert 95x im Vertrauensintervall drin)

zweiseitig: eine untere und obere Grenze wird geschätzt.
einseitig: es wird nur eine Grenze geschätzt, die andere wird auf - oder  gesetzt

- der Stichprobenumfang grösser wird
- die Streuung der Daten kleiner wird
- die Vertrauenswahrscheinlichkeit kleiner wird

wenn 0 nicht im Vertrauensintervall ist, gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen den zwei Gruppen (zu 95%)

Wenn wir Populationsmittelwerte zweier Gruppen miteinander vergleichen möchten, müssen wir zuerst bestimmen, ob die beiden Gruppen abhängig (verbunden, gepaart) oder unabhängig (unverbunden, ungepaart)

dieselben Messungen an den gleichen Personen -> abhängig
dieselben Messungen an unterschiedlichen Personen -> unabhängig

Nullhypothese: darunter versteht man die Behauptung, die man ablehnen / widerlegen möchte. Sie enthält im Normalfall de Gleichheit. Bsp: die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 1 sind gleich gross wie die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 2.

Alternativhypothese: sie wird der Nullhypothese gegenüber gestellt, sie enthält also die Motivation unseres Experimentes. Sie kann sowohl einseitig, wie auch zweiseitig formuliert werden.

Bsp zweiseitig: die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 1 sind nicht gleich gross, wie die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 2.
Bsp einseitig: die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 1 sind grösser als die Mittelwerte der Messungen der Gruppe 2.

die Wahrscheinlichkeit, dass der beobachtete Wert der Teststatistik unter der Nullhypothese vorkommen kann.

Ist diese Wahrscheinlichkeit genügend klein, so ist die Nullhypothese nicht plausibel. Als übliche Grenze (sogenanntes Signifikanzniveau) nimmt man meistens 5%. Je kleiner der p-Wert (normalerweise Grenze von 5%, als Dezimalzahl 0.05), desto unwahrscheinlicher, dass die Nullhypothese stimmt (das was wir wollen!)
Interpretation:

<0.05 man entscheidet zugunsten der Alternativhypothese
<0.05 man kann die Alternativhypothese nicht beweisen, heisst aber nicht, dass sie falsch ist

et voilà

et voilà

-> beschreibt den Zusammenhang zweier Variablen
-> jeder Punkt repräsentiert eine Stichprobe
-> je weiter die Punkte voneinander entfernt sind, desto geringer ist der Zusammenhang

 = r
-> beschreibt den linearen Zusammenhang zweier Variablen
-> ist NICHT robust gegenüber Ausreissern!

- kein Zusamenhang r = 0
- positiver Wert = positive Steigung, negativer Wert = negative Steigung
- starker linearer Zusammenhang r=/> 0.7
- mittlerer linearer Zusammenhang r= 0.3-0.7
- schwacher linearer Zusammenhang r < 0.3

=r_s
-> beschrebt den monotoen Zusammenhang zweier Variablen
-> ist robust gegnüber Ausreissern
-> dieselbe Interpretation wie beim Korrelationskoeffizient nach Pearson

abhängige oder erklärte Varieble: y-Achse
unabhängige oder erkärende Variable: x-Achse

Bsp: welche Faktoren haben einen starken Einfluss auf den Blutdruck? BD wäre die abhängige Variable und der Rest sind die erklärenden Variablen.

y = a + b * x

-        Die Gleichung erlaubt nun eine Vorhersage. -> man kann einfach die erhaltene Zahl x in die Gleichung einsetzen, ist bei einem mittleren linearen Zusammenhang sehr ungenau!

-        Die Regressionsgerade wird so berechnet, dass die Summe aller Abweichungen dieser Gerade möglichst klein ist. Und dass sich diese nicht aufheben, werden die Werte quadriert.

-        Die Regressionsgerade verläuft durch den so genannten Schwerpunkt (y:x) der Daten.

Residuen = Abweichungen der Regressionsgerade zu den y Werten
-> sind sie normalverteilt?
-> haben sie eine konstante nicht von x abhängige Variabilität? (also keinen linearen / monotonen Zusammenhan!)

- bestimmt die Stärke des Zusammenhangs zwischen abhängiger und erklärender Variable.
- In der einfachen linearen Regression entspricht das Bestimmtheitsmass dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson im Quadrat.
- Ist R² < 0.5 spricht man von einem starken Zusammenhang.