Statistik 4
Wharscheinlichkeitstheorie 1
Wharscheinlichkeitstheorie 1
Kartei Details
| Karten | 33 |
|---|---|
| Sprache | Deutsch |
| Kategorie | Psychologie |
| Stufe | Universität |
| Erstellt / Aktualisiert | 11.01.2016 / 03.01.2023 |
| Weblink |
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A = Ω
sicheres Ereignis
disjunkte Ereignisse
A ∩ B = ∅
Laplace-Experiment
Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse
gleichwahrscheinlich sind
Permutation:
- Alle Kugeln einer Urne werden unter Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.
- Anzahl der möglichen Anordnungen (= Permutationen) der k Objekte unter Berücksichtigung der Reihenfolge: k!
Fakultät
- Die Fakultät einer natürlichen Zahl k ist definiert als
- Es gilt: 1! = 1
k ! = k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2 ) ⋅ ... ⋅ (k − (k − 1)) 0! = 1
Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
K = kn
k : Anzahl der möglichen Einzelergebnisse
n : Anzahl der Ziehungen
Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge:
\(K= {k!\over (k-n)!}\)
Anzahl K der möglichen Stichproben bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
\(K = {k!\over (k-n)! * n!}\)
Binomialkoeffizient
Anzahl K der möglichen Ergebnisse bei einer Ziehung mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge:
\(K = {(k + n-1)!\over (k-1)! * n!}\)
Axiome von Kolmogoroff
Anforderungen an die Zahlenzuordnung zur Bewertung der Chancen eines Ereignisses
Erfüllen bestimmte Zahlenzuordnungen die Axiome, so spricht man von Wahrscheinlichkeiten.
Bernoulli-Theorem:
(„Schwaches Gesetz der grossen Zahlen“):
„Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit h(A) von der
tatsächlichen Wahrscheinlichkeit P(A) um weniger als eine beliebig kleine Differenz (ε) abweicht, geht gegen 1, wenn der Stichprobenumfang (n) gegen unendlich geht.“
pendelt sich ein
Bedingte Wahrscheinichkeiten:
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A, wenn ein Ereignis B bereits eingetreten ist.
\(P (A|B) = {P (A ∩ B) \over P(B)}\), P(B) > 0
Stochastisch unabhängig:
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
P (A|B) = P(A)
P (B|A) = P(B)
Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse:
P (A∩B) = P(A)⋅P(B)
Bayes-Theorem:
(auch Satz von Bayes)
\(P(A|B) = {P(B|A)⋅P(A) \over P(B | A) ⋅ P(A) + P(B | A) ⋅ P(A)}\)
Menge:
Zusammenfassung verschiedener Objekte zu einem Ganzen, die einzelnen Objekte sind Elemente
x ist Element der Menge A (Schreibweise):
x∈A
y ist nicht Element der Menge A (Schreibweise):
y∉A
Teilmenge:
A ist die Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch in B ist.
Schreibweise: A ⊂ B
Schnittmenge:
Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B sind.
Schreibweise: A ∩ B
Vereinigungsmenge:
Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B sind
Schreibweise: A∪B
Differenzmenge:
Die Differenzmenge B \ A ist die Menge aller Elemente, die in B aber nicht in A sind.
Schreibweise: B \ A
Komplementärmenge:
- Für A ⊂ Ω ist die Komplementärmenge A von A bzgl. Ω die Menge aller Elemente von Ω, die nicht in A sind.
- Schreibweise: A=Ω\A
Potenzmenge:
- Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen von A
P ( A ) = {M : M ⊂ A}
Zufallsvorgang:
führt zu einem von mehreren, sich gegenseitig ausschliessenden Ergebnissen
Zufallsexperiment:
Zufallsvorgang, der unter kontrollierten Bedingungen abläuft
möglichen Ergebnissen
Zufallsvorgang mit den möglichen Ergebnissen ω1, ω2, ..., ωK
Ergebnisraum
(auch Stichprobenraum): Ω = {ω1, ω2, ..., ωK}
= Menge aller Ergebnisse ωi , i = 1,...,K, eines Zufallsvorgangs.
Beispiele:
— Münzwurf
— Einmaliges Würfeln
Ω = {Kopf, Zahl}
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)}— Zweimaliges Würfeln
(Zufalls-)Ereignis:
Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse eines Zufallsvorgangs (nach bestimmten Kriterien), Teilmengen von Ω
Elementarereignisse:
einelementige T eilmengen von Ω, d.h. {ω1}, {ω2}, ..., {ωK}
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