Statistik 3

• δ-getrimmtes Mittel  
• δ-winsorisiertes Mittel 

bestimmte Anzahl der kleinsten und grössten Werte werden entfernt und das arithmetische Mittel der verbleibenden Werte wird bestimmt

–  z.B. werden beim δ = 0,05-getrimmten Mittel 5 % der kleinsten sowie 5 % dergros̈stenWerteentfernt

–  wenn n * δ keine ganze Zahl ergibt wird das Ergebnis abgerundet und die entsprechende Anzahl von Werten am unteren und am oberen Ende der Verteilung entfernt

– Beispiel mit δ = 0,20: 10 Studierendenjobs, Monatslohn in CHF
 160; 200; 200; 400; 440; 720; 760; 800; 820; 5000


0,20 * 10 = 2 --> 2 Werte oben und unten entfernen 

Extremwerte werden nicht wie beim getrimmten Mittel entfernt, sondern auf einen bestimmten Wert festgelegt

–  Die unteren Extremwerte werden dabei auf den niedrigsten »gezählten« 
 (d. h. nicht entfernten) Wert gesetzt; die oberen Extremwerte werden auf denhoc̈hsten»gezaḧlten«Wertgesetzt

–  die Berechnung der Anzahl der gleichzusetzenden Werte entspricht derjenigen beim getrimmten Mittel

–  Beispiel mit δ = 0,20: 10 Studierendenjobs, Monatslohn in CHF
 160; 200; 200; 400; 440; 720; 760; 800; 820; 5000


0,20*10=2 


--> 2 Werte oben und unten dem jeweils letzten »gezählten« gleichsetzen 

Wert xp (0 < p < 1), für den gilt, dass mindestens ein Anteil 

p · 100% der Daten kleiner oder gleich xp und mindestens ein


Anteil (1 – p) · 100% der Daten grösser oder gleich xp ist 

x_p =x_q falls n·p keine ganze Zahl ist (q ist die nächste ganze Zahl, die auf n · p folgt)

x_p =0,5∙(x_q+x_q+1) falls n·p eine ganze Zahl ist (q=n·p) 

• Wertebereich, in dem alle beobachteten Werte liegen: SB = [x_min; x_max] 

v = x_max - x_min 

SQA = IQA/2 

geringe Streuung im mittleren Bereich der Verteilung 

arithmetisches Mittel der quadrierten Abweichungen 
 der Messwerte vom Mittelwert (mittlere quadratische Abweichung) 

s²_x

Quadratwurzel aus der Varianz

s_x

1.  Reagieren empfindlich auf Ausreisser und Extremwerte


(durch die Quadrierung fallen grosse Differenzen stärker ins Gewicht)

2.  Addition einer Konstanten zu den Messwerten ändert die Varianz und Standardabweichung nicht

3.  Multiplikation der Messwerte mit einer Konstanten b führt zu einer Erhöhung der Varianz um den Faktor b² und zu einer Erhöhung der Standardabweichung um den Faktor des Betrages von b

V_x

Masstabsunabhängiges Streuungsmass, das die Standardabweichung am Mittelwert standardisiert 

• Zum Vergleich unterschiedlicher Streuungen, wenn Streuung vom Mittelwert abhängt

• Insbesondere bei verhältnisskalierten Variablen geeignet, da Ähnlichkeits- transformation (y_m = b * x_m) sich auf Standardabweichung und Mittelwert mit dem gleichen Faktorbetrag (b) auswirkt 

>  Werden zur Schätzung der Varianz und Standardabweichung in der Population herangezogen

>  Sind häufig Voreinstellungen bei Computerprogrammen (z.B. SPSS) 

σˆ ²_x 

σˆ_x

Die Verteilung z-transformierter Werte hat einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 (standardisierte Werte) 

etnsteht aus der Urliste: gruppierte und geordnete Auflistung aller Messwerte

> Ausgehend von der primären Häufigkeits-
 verteilung werden Kategorien gebildet und 
 unter diesen werden die Messwerte 
 zusammengefasst

>  Kategorienbildung mehr oder weniger willkürlich 
 (meistens 10-20 Kategorien)

>  Faustregel zur Bestimmung der Anzahl 
 Kategorien:
 \(\sqrt{k}\)

(k: Anzahl Merkmausausprägungen)

>  Kategoriengrenzen (c_j und c_j-1) werden so 
 definiert, dass sie genau zwischen dem 
 grössten und dem kleinsten Messwert 
 benachbarter Kategorien liegen

z.B. für die 1. Kategorie: c₁ (Obergrenze) = 34,5
 c₀ (Untergrenze) = 29,5 

Unterscheidet sich vom Säulendiagramm dadurch, dass die Breite der Säulen 
 interpretierbar ist (da auf Zahlenstrahl angeordnet und Abstand zwischen Zahlen bei metrischen Variablen bedeutsam)

-  Die Mitten der Kategorien werden miteinander verbunden

-  Sinnvoll bei kontinuierlichen Variablen (z.B. Reaktionszeit) 

--> bringt den kontinuierlichen Charakter des Merkmals zum Ausdruck 

-  Symmetrie vs. Asymmetrie

-  Gipfelform (Schiefe und Wölbung) und Gipfelzahl 

links und rechts (spiegelverkehrt) von einem bestimmten Wert identisch

Schwerpunkt ist verschoben

-  Linksgipflig / linkssteil / rechtsschief

-  Rechtsgipflig / rechtssteil / linksschief 

Verteilungen mit vielen Werten um den Modalwert

Verteilungen mit wenig Werten um den Modalwert

-  Unimodal

-  Bimodal

-  Multimodal 

• U-förmige, umgekehrt U-förmige, V-, L- oder J-förmige Verteilungen 

Breite der Box im Box- und Whiykers-Diagramm

(Abstand Unteres Quantil und oberes Quantil)

nicht im Q_1/3 + 1.5 x IQA Whiskers, aber im Q_{1/3 + 3 x IQA Whiskers}

nichtmehr im Q_{1/3 + 3 x IQA Whiskers}