Statistik 1

Gegeben sind zwei Ereignisse A und B. Die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eines dieser Ereignisse eintritt ist:

P(A oder B)= P(A)+P(B)-P(A undB)

Unabhägnige Ereignisse (Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht vom Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst wird. P(AundB)= P(A)*P(B). -> Einfach P multiplizieren.

Abhängige Ereignisse

Kann nicht einfach multipliziert werden.

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Kreise bzw. Wahrscheinlichkeiten sind getrennz bzw. schneiden sich nicht.

Ist die gemeinsame Wahrscheinlchkeit disjunkt, so kann man sie einfach addieren

\(P(A|B) = P(A und B)/ P(B)\)

\(P(A|B) nicht gleich P(B|A)\)

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• Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, welche jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zuordnet.
• Ist diskret, wenn sie abzählbar viele Werte annehmen kann.
• Ist stetig, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annimmt.

p(x)>= 0

∑p(x_i)=1; Summe aller P=1

p(X)≤1

E(X)=µ= x1*p(x1)+ x2*P(x2)+ x3*p(x3)+......

Der Erwartungswert muss kein möglicher Wert von X sein. Nach sehr vielen Versuchen strebt der Mittelwert der beobachteten Zufallsvariablen gegen den Erwartungswert

Ist der Erwartunswert positiv, so steigt die 'Aktie'

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B

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• verschiedene 'Geldanlagen' können verglichen werden
• X= risikobehaftete Geldanlage; µ Rendite; Ó (Risiko der Rendite). r_f = Rendite einer risikolosen Anlage
• Dann: \(S(X)=µ-rf/Ó\)
• Je höher S(X), desto besser ist das Investment

gender {"M","F", "M","M","M"}

ifFn(gender="M",1,_)         {1,_,1,1,1}

ifFn(gender="M",age,gender)        {29,"F",26,23,29}

count(ifFn(price=27995,1,_))        3

sum(ifFn(type="xi",mileage,_))      737289

count(ifFn(location="Chicago"and mileage>30000,1,_))

delvoid(ifFn(location="Chicago",price,_)      {23987,29995,27995}

Der Modus: einer kategoriellen Variablen ist diejenige Kategorie, die am häufigsten vorkommt. Wert der am Häufigsten kommt. Es können mehrere Modi vorkommen! Der Höhepunkt der Grafik heisst Modi

Median: einer ordinalen Variablen ist die mittlere Beobachtung. Funktioniert nur mit numerischen Variablen. Der "Median" ist der Wert, der genau "in der Mitte" der Datenliste steht, nachdem wir die Daten aufsteigend sortiert haben. 50. Percentil

Ist n ungerade, dann ist die mittlere Beobachtung eindeutig.

Ist n gerade, so gibt es zwei milltere Beobachtungen. Der Median ist dann das arithmetische Mittel dieser beiden Werte.

1;1;2;4; [4; 5]; 6;7;8;8 -> 4.5

Das arithmetische Mittel von numerischen Daten ist gleich der Summe aller Werte, geteilt durch die Anzahl Werte.

sum(size)/count(size) = mean(size) = stat.x

Die Varianz ist ein Streuungsmaß, welches die Verteilung von Werten um den Mittelwert kennzeichnet. Sie ist das Quadrat der Standardabweichung. Die Varianz ist die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert.

varSamp(size)

sum((size-mean(size))^2)/(count(size)-1)

Die Standardabweichung ist die Quadradwurzel der Varianz.

Wurzel(varSamp(size)

stDevSamp(size)

stat.sx

Variationskoeffizient ist ein relatives Streumass. Er misst die Streuung relativ zum Mittelwert.

cv=s/y = stDevSamp(apfel)/(mean(apfel))

Wenn cv > 1, dann haben die Daten grosse Streuung.

Wenn cv nahe bei 0, dann haben die Daten relativ kleine Streuung. Mittelwet ziemlich genau.

Grafik weist zwei Modi -> Zwei höhepunkte

z.b. Grafik wo Geschlechter eine Rolle spielen.

\(z =(y - y)/ s\)(zweites Y mit strich oben)

z=(apfel-mean(apfel))/ stDevSamp(apfel)

Die z-Scores sind eine Standardisierung, so dass das der Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1 ist.

Standardisierung ist z. B. notwendig, um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu können

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Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem grössten und dem kleinsten Wert:

Spannweite = Max - Min

8 10 13 25 37 39 47 -> 39

Probleme:

• Die Spannweite hängt nur von 2 Werten ab.
• Ausreisser beeinflussen die Spannweite stark.

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Fünf-Punkte-Zusammenfassung:

min(size); median(size); max(size); stat.q3x-stat.q1x; stat.maxx-stat.minx

-> stat.results