Statistik
Statistik..
Statistik..
Welche Merkmale gehören zu qualitativen Daten?
Welche Aussagen sind korrekt bei quantitativen 1 1 2 2 4 7?
Was kann eine Untersuchungseinheit sein?
Welche Merkmale sind stetig?
Eine Kostenfunktion sei mit linearer Regression geschätzt worden
wobei sich b=0,5; r=0,9 und a = 100 ergaben
Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert 8 und Standardabweichung 3 gilt
In einer Umfrage werden 100 GrundschülerInnen nach ihrer Zufriedenheit (von 1: überhaupt nicht zufrieden bis 5: sehr zufrieden) mit einem bestimmten Produkt gefragt. Dabei ergibt sich 1 mit 5%, 2 mit 30%, 3 mit 21%, 4 mit 19% und 5 mit 25%.
Welches Skalenniveau weisen die folgenden Merkmale maximal auf? Begründen Sie:
Konfessionszugehörigkeit
Güteklassen von Obst
Körpergröße in cm
Temperatur in Kelvin
- Konfession: Nominalskala
Die Merkmale lassen sich nicht in eine Reihenfolge bringen - Güteklasse Obst: Ordinalskala
Klassen besitzen eine natürliche Reihenfolge
Wir können mit den Werten dieser Skala nicht rechnen, aber Vergleiche durchführen - Körpergröße & Temperatur in Kelvin: Verhältnisskala
arithmetische Rechenoperationen ohne Einschränkung möglich
Verhältnisse können gebildet werden
es existiert ein natürlicher Nullpunkt
Zwei Studenten A und B spielen Poolbillard. Gewinner ist derjenige der zuerst zwei Spiele gewinnt. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und geben sie den Ereignisraum
Ereignisraum:
{AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB}
Wahrscheinlichkeit, dass einer zwei Spiele gewinnt?
0,5*0,5+0,5*0,5*0,5+0,5*0,5+0,5*0,5*0,5
=0,125+0,0625+0,125
= 0,3125
= 31,25 %
Wie ist die Kovarianz definiert und worüber gibt sie Auskunft?
Welchen Nachteil kann der Korrelationskoeffizient beseitigen und wie geschieht das?
- Kovarianz gib Auskunft darüber, ob zwischen Merkmalen eine lineare Relation existiert (positiv, negativ).
- Sie gibt keine Auskunft darüber, ob es sich um einen großen/kleinen Wert handelt oder wie stark der Zusammenhang der Variablen ist.
- Der Korrelationskoeffizient nach Pearson kann diesen Nachteil beseitigen.
- Die Maßzahl wird in Verhältnis zu anderen Maßzahlen der Verteilung gesetzt
- Zur Größennormierung benutzen wir das Produkt der Standardabweichungen der x und y Verteilung (=Korrelationskoeffizient)
was ist das Bestimmtheitsmaß?
Wie hängen R² und rxy bei der einfachen linearen Regression zusammen?
Wie können beide ineinander umgerechnet werden?
- Zahl zwischen 0 und 1
- ein Maß für den erklärten Anteil der Variabilität (Varianz) einer abhängigen Variablen Y durch ein statistisches Modell.
- indirekt wird der Zusammenhang zwischen der abhängigen und der/den unabhängigen Variablen gemessen.
R² = (Summe der Quadrate der (durch x) erklärten Abweichungen) (SQE) /
(Summe der Quadrate der totalen Abweichung) (SQT)
Die Beziehung zwischen dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson (r(xy)) und dem Bestimmtheitsmaß der linearen Regression R² lautet:
r(xy)² = R²
- Umrechnung: quadriert man den Korrelationskoeffizienten, erhält man das Bestimmtheitsmaß R²
- zieht man die Wurzel aus dem Bestimmtheitsmaß und gibt dieser das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten b1 erhält man den Korrelationskoeffizienten r
Was ist eine Punktschätzung. Geben Sie mindestens 3 Bsp an
Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
Definition 2:
hat X keine Normalverteilung oder ist die Verteilung unbekannt, ist die Stichprobenverteilung "ungefähr normal", solange der Umfang der Stichprobe groß genug ist;
je größer der Strichprobenumfang, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an
was muss man beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten beachten?
Amor verschiesst drei Liebespfeile
Beim ersten Schuss beträgt seine Trefferwahrscheinlichkeit 50%
Trifft er, so steigt seine Trefferwahrscheinlichkeit um jeweils 5% (z.B. von 50% auf 55%)
schießt er daneben, so sinkt sie jeweils um 5%
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Amor …
- dreimal trifft?
- genau zweimal trifft?
- mindestens zweimal trifft?
- Dreimal trifft: 0,5*0,55*0,6 = 0,165 16,5%
- Genau zweimal trifft: 0,5*0,55*0,4 + 0,5*0,45*0,5 + 0,5*0,45*0,5 = 0,335 33,5%
- Mind. Zweimal trifft: 0,165+0,335 = 0,5 50%
Definitionen Statistik
- Wissenschaft vom Sammeln, Aufbereiten, Darstellen, Analysieren, Interpretieren von Fakten und Zahlen
- Beschreibende Statistik
- Sammeln, Aufbereiten, Darstellen
- Schließende bzw. beurteilende Statistik
Analysieren, Interpretieren und Schlussfolgern
2. Zusammenstellung von Fakten einer Untersuchung
3. Statistic“ Größe, berechnet aus Grunddaten
population statistic:
Erforschung der Grundgesamtheit
sample statistic:
Stichprobe ist Grundlage der Berechnung
Prüfgröße/Test statistic:
Berechnung dieser Größe erlaubt eine Aussage über die Wahrscheinlichkeitsverteilung und eignet sich zum Testen von Hypothesen
4. „dritte Art von Lüge“
da Auswertung ohne Nachprüfbarkeit des Konsumenten täuschen kann
Konfidenzwahrscheinlichkeit, Irrtumswahrscheinlichkeit & Konfidenzintervall. Beschreiben sie, wie die Konfidenzwahrscheinlichkeit funktioniert wenn die Varianz bekannt ist
Konfidenzwahrscheinlichkeit
- Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Schätzung richtig sein soll
- 1– α (Irrtumswahrscheinlichkeit)
Irrtumswahrscheinlichkeit
- α
- Die verbleibende Wahrscheinlichkeit des Irrtums
Konfidenzintervall
- Das Intervall um den Stichprobenmittelwert, in dem mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α der Populationsmittelwert liegt
- Zufallsresultat, abhängig vom Wert x der Zufallsvariable X (Mittelwert der Stichprobe).
Wie funktioniertdie Konfidenzwahrscheinlichkeit, wenn die Varianz bekannt ist:
- x̅ der z-Transformation unterwerfen
- ein Z-Intervall suchen, in das die Z-Werte mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α fallen
- Außerhalb des Intervalls soll nur ein Teil der Werte angesiedelt sei -> α/2 (Wert aus Tabelle suchen)
- -> Intervallschätzung für den Mittelwert der Grundgesamtheit (siehe Grafik)
Wie können Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden
Klassische Methode (oder Laplace Auffassung)
- Wahrscheinlichkeit als 1/n (n Ergebnisse mit gleichen Chancen)
- Wahrscheinlichkeit als der Wert, welcher die relative Häufigkeit zutreffend beschreibt
Methode der relativen Häufigkeiten
- Wahrscheinlichkeit als Wert, dem sich die Häufigkeit der Merkmalsausprägung bei einer großen Zahl Experimente annähert
Subjektive Methode
- Wahrscheinlichkeit als vernünftige Annahme aus Expertensicht
- „Die Regenwahrscheinlichkeit für übermorgen ist 20 %.“
Erläutern Sie das Histogramm theoretisch und anhand eines selbstgewählten Beispiels
- Besondere Form eines Säulendiagramms, die Säulen grenzen ohne Zwischenräume aneinander.
- Dient der Darstellung quantitativer Daten
- Die Säulenhöhe in einem Histogramm entspricht der Häufigkeitsdichte.
- der Flächeninhalt ist proportional zur Häufigkeit
- Beobachtungen werden vorab in Klassen eingeteilt
Begriffe Ereignis, Ereignisraum, Elementarereignis erklären und je ein Beispiel
Ereignisraum: Ω Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
Elementarereignis: Einzelnes Element aus dem Ereignisraum (Ergebnis)
Ereignis: Eine bestimmte Menge von Elementarereignissen/Ergebnissen
Am Beispiel Würfeln:
Ereignisraum: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elementarereignis: 2
Ereignis: Würfeln einer geraden Zahl
{2, 4, 6}
Alle möglichen Elementarereignisse müssen immer dieselbe Wahrscheinlichkeit haben
Stochastische Unabhängigkeit von A & B bedeutet, dass A & B unmögliche Ergebnisse sind
Eine stetige Zufallsvariable kann ganzzahlig sein
Wenn Verteilung A ein größeres arithmetisches Mittel als Verteilung B hat, dann ist auch die Varianz von Verteilung A größer als die von Verteilung B
Ein qualitatives Merkmal kann nur auf einer Verhältnisskala dargestellt werden
Bei einem Wahrscheinlichkeitsbaum haben alle Pfade die gleiche Länge
Für Intervallschätzungen muss man genau zwei Stichprobenwerte ziehen
Ein/e SchülerIn bekommt drei Prüfungsfragen gestellt (Ja/Nein). Die Wahrscheinlichkeit, dass der/die SchülerIn durch Raten zwei richtig beantwortet, ist ½
Der Median ist dem arithmetischen Mittel immer vorzuziehen, wenn eine Aussage über die zentrale Lage einer Häufigkeitsverteilung gemacht werden soll
Zur Ermittlung der Spannweite einer Verteilung werden der größte Wert, der kleinste Wert und der Median benötigt
Die Fläche unter der Dichtefunktion einer Zufallsvariable ist gleich 1
Zur Ermittlung der Spannweite einer Verteilung werden alle beobachteten Werte benötigt
Für eine unimodale, symmetrische Verteilung gilt stets, dass der Median und der Modus denselben Wert annehmen
Der Durchschnitt der Noten 2,7; 2,3 und 4,0 ist 3,0
Die Methode der Kleinsten Quadrate basiert darauf, dass die Summe der quadrierten Residuen minimiert
Elementarereignisse haben immer eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1
bei einem Zufallsexperiment sind Ereignis und Gegenereignis nie voneinander unabhängig
Die Familie der t-Verteilung hat wie die Familie der Normalverteilung zwei Parameter
Im Fall einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Verteilungsfunktion das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Für die Darstellung von zwei quantitativen Merkmalen verwendet man am besten ein
-
- 1 / 49
-
Cartes-fiches
Was ist qualitativ?
Was kann Merkmalsausprägung sein?
Was ist diskret?
Sechsseitiger Würfel mit den Würfen 1,3,1,2,1,2,5,6,3,6
Welches Merkmal hat eine Intervallskala?
Welche Merkmale gehören zu qualitativen Daten?
Welche Aussagen sind korrekt bei quantitativen 1 1 2 2 4 7?
Was kann eine Untersuchungseinheit sein?
Welche Merkmale sind stetig?
Eine Kostenfunktion sei mit linearer Regression geschätzt worden
wobei sich b=0,5; r=0,9 und a = 100 ergaben
Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert 8 und Standardabweichung 3 gilt
In einer Umfrage werden 100 GrundschülerInnen nach ihrer Zufriedenheit (von 1: überhaupt nicht zufrieden bis 5: sehr zufrieden) mit einem bestimmten Produkt gefragt. Dabei ergibt sich 1 mit 5%, 2 mit 30%, 3 mit 21%, 4 mit 19% und 5 mit 25%.
Welches Skalenniveau weisen die folgenden Merkmale maximal auf? Begründen Sie:
Konfessionszugehörigkeit
Güteklassen von Obst
Körpergröße in cm
Temperatur in Kelvin
- Konfession: Nominalskala
Die Merkmale lassen sich nicht in eine Reihenfolge bringen - Güteklasse Obst: Ordinalskala
Klassen besitzen eine natürliche Reihenfolge
Wir können mit den Werten dieser Skala nicht rechnen, aber Vergleiche durchführen - Körpergröße & Temperatur in Kelvin: Verhältnisskala
arithmetische Rechenoperationen ohne Einschränkung möglich
Verhältnisse können gebildet werden
es existiert ein natürlicher Nullpunkt
Zwei Studenten A und B spielen Poolbillard. Gewinner ist derjenige der zuerst zwei Spiele gewinnt. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und geben sie den Ereignisraum
Ereignisraum:
{AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB}
Wahrscheinlichkeit, dass einer zwei Spiele gewinnt?
0,5*0,5+0,5*0,5*0,5+0,5*0,5+0,5*0,5*0,5
=0,125+0,0625+0,125
= 0,3125
= 31,25 %
Wie ist die Kovarianz definiert und worüber gibt sie Auskunft?
Welchen Nachteil kann der Korrelationskoeffizient beseitigen und wie geschieht das?
- Kovarianz gib Auskunft darüber, ob zwischen Merkmalen eine lineare Relation existiert (positiv, negativ).
- Sie gibt keine Auskunft darüber, ob es sich um einen großen/kleinen Wert handelt oder wie stark der Zusammenhang der Variablen ist.
- Der Korrelationskoeffizient nach Pearson kann diesen Nachteil beseitigen.
- Die Maßzahl wird in Verhältnis zu anderen Maßzahlen der Verteilung gesetzt
- Zur Größennormierung benutzen wir das Produkt der Standardabweichungen der x und y Verteilung (=Korrelationskoeffizient)
was ist das Bestimmtheitsmaß?
Wie hängen R² und rxy bei der einfachen linearen Regression zusammen?
Wie können beide ineinander umgerechnet werden?
- Zahl zwischen 0 und 1
- ein Maß für den erklärten Anteil der Variabilität (Varianz) einer abhängigen Variablen Y durch ein statistisches Modell.
- indirekt wird der Zusammenhang zwischen der abhängigen und der/den unabhängigen Variablen gemessen.
R² = (Summe der Quadrate der (durch x) erklärten Abweichungen) (SQE) /
(Summe der Quadrate der totalen Abweichung) (SQT)
Die Beziehung zwischen dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson (r(xy)) und dem Bestimmtheitsmaß der linearen Regression R² lautet:
r(xy)² = R²
- Umrechnung: quadriert man den Korrelationskoeffizienten, erhält man das Bestimmtheitsmaß R²
- zieht man die Wurzel aus dem Bestimmtheitsmaß und gibt dieser das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten b1 erhält man den Korrelationskoeffizienten r
Was ist eine Punktschätzung. Geben Sie mindestens 3 Bsp an
Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?
Definition 2:
hat X keine Normalverteilung oder ist die Verteilung unbekannt, ist die Stichprobenverteilung "ungefähr normal", solange der Umfang der Stichprobe groß genug ist;
je größer der Strichprobenumfang, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an
was muss man beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten beachten?
Amor verschiesst drei Liebespfeile
Beim ersten Schuss beträgt seine Trefferwahrscheinlichkeit 50%
Trifft er, so steigt seine Trefferwahrscheinlichkeit um jeweils 5% (z.B. von 50% auf 55%)
schießt er daneben, so sinkt sie jeweils um 5%
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Amor …
- dreimal trifft?
- genau zweimal trifft?
- mindestens zweimal trifft?
- Dreimal trifft: 0,5*0,55*0,6 = 0,165 16,5%
- Genau zweimal trifft: 0,5*0,55*0,4 + 0,5*0,45*0,5 + 0,5*0,45*0,5 = 0,335 33,5%
- Mind. Zweimal trifft: 0,165+0,335 = 0,5 50%
Definitionen Statistik
- Wissenschaft vom Sammeln, Aufbereiten, Darstellen, Analysieren, Interpretieren von Fakten und Zahlen
- Beschreibende Statistik
- Sammeln, Aufbereiten, Darstellen
- Schließende bzw. beurteilende Statistik
Analysieren, Interpretieren und Schlussfolgern
2. Zusammenstellung von Fakten einer Untersuchung
3. Statistic“ Größe, berechnet aus Grunddaten
population statistic:
Erforschung der Grundgesamtheit
sample statistic:
Stichprobe ist Grundlage der Berechnung
Prüfgröße/Test statistic:
Berechnung dieser Größe erlaubt eine Aussage über die Wahrscheinlichkeitsverteilung und eignet sich zum Testen von Hypothesen
4. „dritte Art von Lüge“
da Auswertung ohne Nachprüfbarkeit des Konsumenten täuschen kann
Konfidenzwahrscheinlichkeit, Irrtumswahrscheinlichkeit & Konfidenzintervall. Beschreiben sie, wie die Konfidenzwahrscheinlichkeit funktioniert wenn die Varianz bekannt ist
Konfidenzwahrscheinlichkeit
- Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Schätzung richtig sein soll
- 1– α (Irrtumswahrscheinlichkeit)
Irrtumswahrscheinlichkeit
- α
- Die verbleibende Wahrscheinlichkeit des Irrtums
Konfidenzintervall
- Das Intervall um den Stichprobenmittelwert, in dem mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α der Populationsmittelwert liegt
- Zufallsresultat, abhängig vom Wert x der Zufallsvariable X (Mittelwert der Stichprobe).
Wie funktioniertdie Konfidenzwahrscheinlichkeit, wenn die Varianz bekannt ist:
- x̅ der z-Transformation unterwerfen
- ein Z-Intervall suchen, in das die Z-Werte mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α fallen
- Außerhalb des Intervalls soll nur ein Teil der Werte angesiedelt sei -> α/2 (Wert aus Tabelle suchen)
- -> Intervallschätzung für den Mittelwert der Grundgesamtheit (siehe Grafik)
Wie können Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden
Klassische Methode (oder Laplace Auffassung)
- Wahrscheinlichkeit als 1/n (n Ergebnisse mit gleichen Chancen)
- Wahrscheinlichkeit als der Wert, welcher die relative Häufigkeit zutreffend beschreibt
Methode der relativen Häufigkeiten
- Wahrscheinlichkeit als Wert, dem sich die Häufigkeit der Merkmalsausprägung bei einer großen Zahl Experimente annähert
Subjektive Methode
- Wahrscheinlichkeit als vernünftige Annahme aus Expertensicht
- „Die Regenwahrscheinlichkeit für übermorgen ist 20 %.“
Erläutern Sie das Histogramm theoretisch und anhand eines selbstgewählten Beispiels
- Besondere Form eines Säulendiagramms, die Säulen grenzen ohne Zwischenräume aneinander.
- Dient der Darstellung quantitativer Daten
- Die Säulenhöhe in einem Histogramm entspricht der Häufigkeitsdichte.
- der Flächeninhalt ist proportional zur Häufigkeit
- Beobachtungen werden vorab in Klassen eingeteilt
Begriffe Ereignis, Ereignisraum, Elementarereignis erklären und je ein Beispiel
Ereignisraum: Ω Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
Elementarereignis: Einzelnes Element aus dem Ereignisraum (Ergebnis)
Ereignis: Eine bestimmte Menge von Elementarereignissen/Ergebnissen
Am Beispiel Würfeln:
Ereignisraum: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elementarereignis: 2
Ereignis: Würfeln einer geraden Zahl
{2, 4, 6}
