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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 08.10.2016 / 09.02.2018
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Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert 8 und Standardabweichung 3 gilt

Mehr als 90% aller beobachteten Werte sollten im Bereich von 6 bis 10 liegen

Werte X >9 sind häufiger zu erwarten als solche mit X < 6.

Es kann niemals ein Wert von X = 1 gemessen werden.

Ein Wert X < 1 tritt in weit weniger als 95% aller Beobachtungen ein

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In einer Umfrage werden 100 GrundschülerInnen nach ihrer Zufriedenheit (von 1: überhaupt nicht zufrieden bis 5: sehr zufrieden) mit einem bestimmten Produkt gefragt. Dabei ergibt sich 1 mit 5%, 2 mit 30%, 3 mit 21%, 4 mit 19% und 5 mit 25%.

 
Die Spannweite ergibt sich zu 4

Der Modus ergibt sich zu 2

Der Median ergibt sich zu 3

Die Varianz kann nicht berechnet werden

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Welches Skalenniveau weisen die folgenden Merkmale maximal auf? Begründen Sie:

Konfessionszugehörigkeit
Güteklassen von Obst
Körpergröße in cm
Temperatur in Kelvin

 

  • Konfession: Nominalskala
    Die Merkmale lassen sich nicht in eine Reihenfolge bringen
  • Güteklasse Obst: Ordinalskala
    Klassen besitzen eine natürliche Reihenfolge
    Wir können mit den Werten dieser Skala nicht rechnen, aber Vergleiche durchführen
  • Körpergröße & Temperatur in Kelvin: Verhältnisskala
    arithmetische Rechenoperationen ohne Einschränkung möglich
    Verhältnisse können gebildet werden
    es existiert ein natürlicher Nullpunkt
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Zwei Studenten A und B spielen Poolbillard. Gewinner ist derjenige der zuerst zwei Spiele gewinnt. Zeichnen Sie das Baumdiagramm und geben sie den Ereignisraum

 

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Ereignisraum:

{AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB}

Wahrscheinlichkeit, dass einer zwei Spiele gewinnt?

0,5*0,5+0,5*0,5*0,5+0,5*0,5+0,5*0,5*0,5

=0,125+0,0625+0,125

= 0,3125

= 31,25 %

 

 

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Wie ist die Kovarianz definiert und worüber gibt sie Auskunft?

Welchen Nachteil kann der Korrelationskoeffizient beseitigen und wie geschieht das?

 
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  • Kovarianz gib Auskunft darüber, ob zwischen Merkmalen eine lineare Relation existiert (positiv, negativ).
  • Sie gibt keine Auskunft darüber, ob es sich um einen großen/kleinen Wert handelt oder wie stark der Zusammenhang der Variablen ist.
  • Der Korrelationskoeffizient nach Pearson kann diesen Nachteil beseitigen.
    • Die Maßzahl wird in Verhältnis zu anderen Maßzahlen der Verteilung gesetzt
    • Zur Größennormierung benutzen wir das Produkt der Standardabweichungen der x und y Verteilung (=Korrelationskoeffizient)
 
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was ist das Bestimmtheitsmaß?


Wie hängen R² und rxy bei der einfachen linearen Regression zusammen?


Wie können beide ineinander umgerechnet werden?

 

  • Zahl zwischen 0 und 1
  • ein Maß für den erklärten Anteil der Variabilität (Varianz) einer abhängigen Variablen Y durch ein statistisches Modell.
  • indirekt wird der Zusammenhang zwischen der abhängigen und der/den unabhängigen Variablen gemessen.

R² = (Summe der Quadrate der (durch x) erklärten Abweichungen) (SQE) /

          (Summe der Quadrate der totalen Abweichung) (SQT)

Die Beziehung zwischen dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson (r(xy)) und dem Bestimmtheitsmaß der linearen Regression R² lautet:

r(xy)² = R²

  • Umrechnung: quadriert man den Korrelationskoeffizienten, erhält man das Bestimmtheitsmaß R²
  • zieht man die Wurzel aus dem Bestimmtheitsmaß und gibt dieser das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten b1 erhält man den Korrelationskoeffizienten r

 

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Was ist eine Punktschätzung. Geben Sie mindestens 3 Bsp an

 

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Was besagt der zentrale Grenzwertsatz?

 

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Definition 2:
hat  X keine Normalverteilung oder ist die Verteilung unbekannt, ist die Stichprobenverteilung "ungefähr normal", solange der Umfang der Stichprobe groß genug ist;
je größer der Strichprobenumfang, desto mehr nähert sich die Verteilung der Normalverteilung an

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was muss man beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten beachten?

 

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Amor verschiesst drei Liebespfeile

Beim ersten Schuss beträgt seine Trefferwahrscheinlichkeit 50%

Trifft er, so steigt seine Trefferwahrscheinlichkeit um jeweils 5% (z.B. von 50% auf 55%)

schießt er daneben, so sinkt sie jeweils um 5%


Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Amor … 

  1. dreimal trifft?
  2. genau zweimal trifft?
  3. mindestens zweimal trifft?

 

  1. Dreimal trifft: 0,5*0,55*0,6 = 0,165 16,5%
  2. Genau zweimal trifft: 0,5*0,55*0,4 + 0,5*0,45*0,5 + 0,5*0,45*0,5 = 0,335 33,5%
  3. Mind. Zweimal trifft: 0,165+0,335 = 0,5 50%

 

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Definitionen Statistik

 

  1. Wissenschaft vom Sammeln, Aufbereiten, Darstellen, Analysieren, Interpretieren von Fakten und Zahlen
  •  Beschreibende Statistik
    • Sammeln, Aufbereiten, Darstellen
  • Schließende bzw. beurteilende Statistik
    Analysieren, Interpretieren und Schlussfolgern

2. Zusammenstellung von Fakten einer Untersuchung

3. Statistic“ Größe, berechnet aus Grunddaten

population statistic:
Erforschung der Grundgesamtheit


sample statistic:
Stichprobe ist Grundlage der Berechnung

Prüfgröße/Test statistic:
Berechnung dieser Größe erlaubt eine Aussage über die Wahrscheinlichkeitsverteilung und eignet sich zum Testen von Hypothesen

4. „dritte Art von Lüge“
da Auswertung ohne Nachprüfbarkeit des Konsumenten täuschen kann
 

 

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Konfidenzwahrscheinlichkeit, Irrtumswahrscheinlichkeit & Konfidenzintervall. Beschreiben sie, wie die Konfidenzwahrscheinlichkeit funktioniert wenn die Varianz bekannt ist

 

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Konfidenzwahrscheinlichkeit

  • Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Schätzung richtig sein soll
  • 1–  α  (Irrtumswahrscheinlichkeit)

Irrtumswahrscheinlichkeit

  • α
  • Die verbleibende Wahrscheinlichkeit des Irrtums

Konfidenzintervall

  • Das Intervall um den Stichprobenmittelwert, in dem mit der Wahrscheinlichkeit 1  –  α  der Populationsmittelwert liegt
  • Zufallsresultat, abhängig vom Wert x der Zufallsvariable X (Mittelwert der Stichprobe).

Wie funktioniertdie  Konfidenzwahrscheinlichkeit, wenn die Varianz bekannt ist:

  •   x̅ der  z-Transformation unterwerfen
  •  ein Z-Intervall suchen, in das die Z-Werte mit der Wahrscheinlichkeit 1 – α fallen
  • Außerhalb des Intervalls soll nur ein Teil der Werte angesiedelt sei -> α/2 (Wert aus Tabelle suchen)
  • ->  Intervallschätzung für den Mittelwert der Grundgesamtheit (siehe Grafik)

 

 

 

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Wie können Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden

 

Klassische Methode (oder Laplace Auffassung)

  • Wahrscheinlichkeit als 1/n (n Ergebnisse mit gleichen Chancen)
  • Wahrscheinlichkeit als der Wert, welcher die relative Häufigkeit zutreffend beschreibt

Methode der relativen Häufigkeiten

  • Wahrscheinlichkeit als Wert, dem sich die Häufigkeit der Merkmalsausprägung bei einer großen Zahl Experimente annähert

Subjektive Methode

  • Wahrscheinlichkeit als vernünftige Annahme aus Expertensicht
  • „Die Regenwahrscheinlichkeit für übermorgen ist 20 %.“
 
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Erläutern Sie das Histogramm theoretisch und anhand eines selbstgewählten Beispiels

 
  • Besondere Form eines Säulendiagramms, die Säulen grenzen ohne Zwischenräume aneinander.
  • Dient der Darstellung quantitativer Daten
  • Die Säulenhöhe in einem Histogramm entspricht der Häufigkeitsdichte.
  • der Flächeninhalt ist proportional zur Häufigkeit
  • Beobachtungen werden vorab in Klassen eingeteilt
 
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Begriffe Ereignis, Ereignisraum, Elementarereignis erklären und je ein Beispiel

 

Ereignisraum: Ω  Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
Elementarereignis: Einzelnes Element aus dem Ereignisraum (Ergebnis)
Ereignis: Eine bestimmte Menge von Elementarereignissen/Ergebnissen

Am Beispiel Würfeln:
Ereignisraum: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elementarereignis: 2
Ereignis: Würfeln einer geraden Zahl
{2, 4, 6}

 
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Alle möglichen Elementarereignisse müssen immer dieselbe Wahrscheinlichkeit haben

richtig

falsch

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Stochastische Unabhängigkeit von A & B bedeutet, dass A & B unmögliche Ergebnisse sind

 
richtig

falsch

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Eine stetige Zufallsvariable kann ganzzahlig sein

 
richtig

falsch

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Wenn Verteilung A ein größeres arithmetisches Mittel als Verteilung B hat, dann ist auch die Varianz von Verteilung  A größer als die von Verteilung B

 
richtig

falsch

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Ein qualitatives Merkmal kann nur auf einer Verhältnisskala dargestellt werden

 
richtig

falsch

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Bei einem Wahrscheinlichkeitsbaum haben alle Pfade die gleiche Länge

 
richtig

falsch

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Für Intervallschätzungen muss man genau zwei Stichprobenwerte ziehen

 
richtig

falsch

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Ein/e SchülerIn bekommt drei Prüfungsfragen gestellt (Ja/Nein). Die Wahrscheinlichkeit, dass der/die SchülerIn durch Raten zwei richtig beantwortet, ist ½

 
richtig

falsch

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 Der Median ist dem arithmetischen Mittel immer vorzuziehen, wenn eine Aussage über die zentrale Lage einer Häufigkeitsverteilung gemacht werden soll

 
richtig

falsch

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Zur Ermittlung der Spannweite einer Verteilung werden der größte Wert, der kleinste Wert und der Median benötigt

 
richtig

falsch

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Die Fläche unter der Dichtefunktion einer Zufallsvariable ist gleich 1

 
richtig

falsch

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Zur Ermittlung der Spannweite einer Verteilung werden alle beobachteten Werte benötigt

 
richtig

falsch

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 Für eine unimodale, symmetrische Verteilung gilt stets, dass der Median und der Modus denselben Wert annehmen

 
richtig

falsch

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Der Durchschnitt der Noten 2,7; 2,3 und 4,0 ist 3,0

 
richtig

falsch

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Die Methode der Kleinsten Quadrate basiert darauf, dass die Summe der quadrierten Residuen minimiert

 
richtig

falsch