SEM

Latente Wachstumskurvenmodelle (engl. Latent growth curve models; LGM) sind SEM, die die Mittelwertsstruktur berücksichtigen. Dadurch können in Kombination mit bestimmten Spezifikationen des Modells intraindividuelle Veränderungen und interindividuelle Unterschiede in diesen Veränderungen analysiert werden

Für jede Variable wird ein Intercept und ein Slope (y₀ und y_s; x₀ und x_s) sowie jeweils eine Varianz der Intercepts und Slopes (y₀^* und y_s^*; x₀^* und x_s^*) berücksichtigt. Von zentralem Interesse sind die Mittelwerte der Slopes (μ_ys und μ_xs). Die Ladungen der Indikatoren auf den Slope-Faktoren (λ_y[t] und λ_x[t]) und die Korrelation zwischen den Slopes (ρ_{ys, xs}) sind ebenfalls wichtige Parameter.

·         Die Varianzen σ – die gerichteten Pfade zwischen Intercept/Slope eines Merkmals und deren Varianz- geben interindividuelle Unterschiede in interindividuellen Veränderungen an.

·         Die Kovarianzen ρ zeigen an, ob sich die Merkmale parallel zueinander verändern.

·         Der Slope zeigt die Veränderung von einem vorherigen zu einem späteren Messzeitpunkt an (Mittelwert = mittlere Veränderung zwischen zwei Messzeitpunkten)

·         Der latente Intercept gibt das Ausgangsniveau in x an (Mittelwert = mittlere Ausprägung in x zum ersten Messzeitpunkt)

- Durch unterschiedliche Fixierungen der Ladungen der Indikatoren auf dem Slope-Faktor können lineare (0, 1, 2, 3) und nicht-lineare (0, 1, 4, 9) Veränderungen modelliert werden, bspw. Über das Einbinden eines weiteren Slope Faktors, sodass Hypothesen über die Form der Veränderung getestet werden können. Bei genügend Informationen ist es auch möglich diese frei zu schätzen.

            -Ladungen auf dem Intercept-Faktor sind immer auf 1 fixiert

·  LGM können (u.a.) durch das Hinzufügen von latenten Indikatoren (Kontrolle des Messfehlers) für den Intercept- und Slope-Faktor erweitert werden.

              - Es ist auch möglich weitere Merkmale  zur Vorhersage der Varianz im Intercept- und Slope-Faktor hinzuzufügen, zum Beispiel im Sinne einer Moderationshypothese.

LGM sind nur identifiziert, wenn mindestens drei Messzeitpunkte im Falle von linearen Annahmen gegeben sind. Für nicht-lineare sind vier nötig und für komplexere Verteilungsannahmen noch mehr.

Wenn die absolute Veränderung (+Prädiktion) und die Form der Veränderung interessieren

Latent-Change Modelle ermöglichen ebenso wie LGM die Analyse intraindividueller Veränderungen sowie interindividueller Unterschiede in diesen Veränderungen.

Differenzwerte werden häufig als Methode zur Betrachtung von Veränderungen verwendet. In Latent-Change Modellen wird ein latenter Veränderungsfaktor (latent difference score) geschätzt

Der latente Slope-Faktor gibt die kumulierte Veränderung (àMittelwert) wieder

 Berücksichtigung weiterer Merkmale

Prädiktoren von Veränderung

Die genaue funktionelle Form der Veränderung kann in Latent Change Modellen nicht betrachtet werden, in LGM aber schon. Eine Erweiterung zu dynamischen Latent Change Modellen ist dazu notwendig

Englisch werden sie als latent difference score dynamic models bezeichnet und sind eine Kombination aus Cross-lagged und Latent Change Modellen. Dazu werden die autoregressiven Pfade β integriert. Die Coupling-Pfade γ entsprechen den cross-lagged Pfaden und dienen der Untersuchung von kausalen Beziehungen. Weitere Parameter sind Intercepts und Slopes, Differenzwerte, Varianzen, Mittelwerte und Kovarianzen

Wenn die absolute Veränderung (+Prädiktion) interessiert

Wenn sowohl die zeitliche Beziehung zwischen Variablen wie auch deren Veränderungen über die Zeit interessieren.

Das Vorliegen von Messinvarianz ist eine Voraussetzung für die quantitative Analyse von Längsschnittdaten und damit auch für die vorgestellten Varianten der SEM: Cross-lagged, Latent Change und Latent Growth Curve Modelle.

Die zentralen Formen der Messinvarianz sind wie allgemein bei SEM die konfigurale, die metrische und die skalare. Bei cross-lagged Modellen muss (partielle) metrische Messinvarianz gegeben sein, bei den anderen Varianten skalare Messinvarianz, da hier die Mittelwertstruktur berücksichtigt wird

Messinvarianz kann ähnlich wie bei einem multiplen Gruppenvergleich mit einem Step-Up Ansatz mittels einer längsschnittlichen CFA überprüft werden

Dabei dürfen die Residuen korrelieren.

Ein Residuum setzt sich aus der systematischen und der unsystematischen Varianz zusammen. Die systematische Varianz kann in allen Messzeitpunkten auftreten, wodurch sich Kovarianz ergibt. Bei latenten Variablen in diesen Modellen sollte dementsprechend die Autokorrelation zugelassen werden. Ansonsten ist das Modell meist nicht korrekt spezifiziert

Wenn das Messmodell zu jedem Messzeitpunkt passt

Wenn die Ladungen bei den Messzeitpunkten gleich bleiben

--> SEM ermöglichen strengere Tests formalisierter Hypothese

--> Komplexe Beziehungsmuster zwischen mehreren Variablen können gleichzeitig modelliert werden (z.B. mehrere AVs/UVs/Kovariate)

             --> Berücksichtigung von Messfehlern -> In der Psychologie gibt es fast keine Messungen ohne Messfehler, in Folge dessen können Effekte von Zusammenhängen unterschätzt werden

Für SEM werden relativ große Stichproben benötigt. Es gibt auch noch weitere

Manifeste Variablen werden durch Rechtecke dargestellt,

latente Variablen durch Ellipsen.

Für gerichtete Beziehungen werden gerichtete Pfeile (Pfeilspitze an einem Ende) verwendet,

für ungerichtete Beziehungen (Varianz, Kovarianz) Doppelpfeile

Die SEM stellt eine Kombination von Faktorenanalyse (Messmodell: konfirmatorische Faktorenanalyse) und multipler Regression (Pfadanalyse, Strukturmodelle) dar.

Das Strukturmodell stellt die Abhängigkeiten der latenten Variablen untereinander dar. Dadurch, dass in Strukturgleichungsmodellen mehrere abhängige Variable existieren, müssen auch mehrere Regressionsgleichungen (nämlich eine Gleichung pro abhängiger Variable) spezifiziert werden

Es gibt rekursive Modelle (rekursiv und teilweise rekursiv), bei denen der kausale Fluss nur in eine Richtung zugelassen wird und nicht in die andere. Und es gibt nonrekursive Modelle (nonrekursiv und teilweise nonrekursiv), bei denen keine Richtung vorgegeben ist, sodass bspw. ein Feedback-Loop möglich ist. Nonrekursive Modelle werden seltener angewendet und sind komplizierter

Für rekursive Modelle unter anderem Äquilibrium, Stationarität und Modellidentifikation

Das Messmodell definiert die Beziehung zwischen manifesten und latenten Variablen

Im Messmodell wird spezifiziert, wie die latenten Variablen durch manifeste Variablen gebildet werden. Dazu sollten die manifesten Variablen, die latenten Konstrukte möglichst gut wiedergeben. Zum Aufstellen der zugehörigen Messgleichungen muss zunächst das Messmodell näher definiert werden.

Modellspezifikation

Modellidentifikation

Modellschätzung

Bewertung Modellgüte (Modellfit angemessen?)

Interpretation der Schätzer

Vergleich genesteter Modelle

Ergebnisse berichten

Jedes SEM hat eine Reihe von unbekannten Parametern, die auf Basis der Daten geschätzt werden.

Die Modellparameter werden in der Regel auf Basis der Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Variablen geschätzt (Stichproben-Varianz-Kovarianzmatrix).

Das Modell ist identifiziert, wenn es eine eindeutige numerische Lösung (df_M ≥ 0) für jeden Parameter in dem Modell gibt und wenn die latenten Faktoren skaliert sind

Die Freiheitsgrade werden über df_M = p – q ermittelt, wobei p der Anzahl der Beobachtungen entspricht und q der Anzahl der zu schätzenden Variablen. p ergibt sich aus der Anzahl an nicht redundanter Information (Beobachtungen) mit , wobei v der Anzahl manifester Variablen entspricht.

df_M > 0. Es gibt keine Lösung die alle Gleichungen erfüllen würde. Es müssen daher Kriterien eingeführt werden, um Schätzungen zu ermöglichen. Die Daten werden i.d.R. nicht perfekt reproduziert (es gibt immer Abweichungen). Das das die kleinste Abweichung darstellt, passt besser.

Lineare Abhängigkeit kann dazu führen, dass es unendlich viele Lösungen gibt, obwohl gilt df_M = 0. df_M ≥ 0 garantiert also nicht die Identifikation des Modell!

Die Skalierung und damit auch die Varianzen der latenten Variablen (Faktoren und Residuen) sind nicht bekannt und müssen daher definiert werden. Skalierung meint damit, dass die Metrik einer Variablen festgelegt werden muss

Maximum-Likelihood-Schätzung (ML)

-->  full-information-Methode, da alle Modellparameter gleichzeitig geschätzt werden.

Das Vorgehen ist in dem Sinne iterativ, dass mit einem Startwert begonnen wird und die Parameter so lange weiter angepasst werden bis ein Konvergenzkriterium erreicht wird.

ML-Schätzer sind konsistente Schätzer, wobei der Schätzer umso näher am Populationswert liegt je größer die Stichprobe ist. Bei hinreichend großen Stichproben ist die Schätzung darüber hinaus effizient, d.h. das sie möglichst präzise ist (à Standardfehler ist möglichst klein).

Es wird angenommen, dass die endogenen Variablen in der Population multivariat normalverteilt sind. Diese Annahme ist zwar sehr unrealistisch, bei ausreichend großen Stichproben (N>400) können kleine Abweichungen jedoch vernachlässigt werden.

Alternativ gibt es für kleinere Stichproben auch robustere ML-Schätzungen oder es kann mit Bootstrapping kombiniert werden.

Angestrebt wird bei der Schätzung die Minimierung der Diskrepanz zwischen S (empirische Varianz-Kovarianzmatrix) und Σ(Θ) (modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix). Es wird eine Fitting Funktion oder Discrepancy Funktion erstellt, die vergleichbar ist mit dem Kriterium der kleinsten Quadrate.

 Anhand der Modellgleichung (Bsp. Mit 1 AV und 3 UV) Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + ε lassen sich Gleichungen zur Bestimmung von Varianzen und Kovarianzen ableiten. Die Modellparameter werden so geschätzt, dass die empirischen Daten maximal wahrscheinlich sind.

Um die Anpassungsgüte zu beurteilen gibt es ein teststatistisches Verfahren und deskriptive Indizes zur Abschätzung der Anpassungsgüte.