SEM

Es gibt rekursive Modelle (rekursiv und teilweise rekursiv), bei denen der kausale Fluss nur in eine Richtung zugelassen wird und nicht in die andere. Und es gibt nonrekursive Modelle (nonrekursiv und teilweise nonrekursiv), bei denen keine Richtung vorgegeben ist, sodass bspw. ein Feedback-Loop möglich ist. Nonrekursive Modelle werden seltener angewendet und sind komplizierter

Für rekursive Modelle unter anderem Äquilibrium, Stationarität und Modellidentifikation

Das Messmodell definiert die Beziehung zwischen manifesten und latenten Variablen

Im Messmodell wird spezifiziert, wie die latenten Variablen durch manifeste Variablen gebildet werden. Dazu sollten die manifesten Variablen, die latenten Konstrukte möglichst gut wiedergeben. Zum Aufstellen der zugehörigen Messgleichungen muss zunächst das Messmodell näher definiert werden.

Modellspezifikation

Modellidentifikation

Modellschätzung

Bewertung Modellgüte (Modellfit angemessen?)

Interpretation der Schätzer

Vergleich genesteter Modelle

Ergebnisse berichten

Jedes SEM hat eine Reihe von unbekannten Parametern, die auf Basis der Daten geschätzt werden.

Die Modellparameter werden in der Regel auf Basis der Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Variablen geschätzt (Stichproben-Varianz-Kovarianzmatrix).

Das Modell ist identifiziert, wenn es eine eindeutige numerische Lösung (df_M ≥ 0) für jeden Parameter in dem Modell gibt und wenn die latenten Faktoren skaliert sind

Die Freiheitsgrade werden über df_M = p – q ermittelt, wobei p der Anzahl der Beobachtungen entspricht und q der Anzahl der zu schätzenden Variablen. p ergibt sich aus der Anzahl an nicht redundanter Information (Beobachtungen) mit , wobei v der Anzahl manifester Variablen entspricht.

df_M > 0. Es gibt keine Lösung die alle Gleichungen erfüllen würde. Es müssen daher Kriterien eingeführt werden, um Schätzungen zu ermöglichen. Die Daten werden i.d.R. nicht perfekt reproduziert (es gibt immer Abweichungen). Das das die kleinste Abweichung darstellt, passt besser.

Lineare Abhängigkeit kann dazu führen, dass es unendlich viele Lösungen gibt, obwohl gilt df_M = 0. df_M ≥ 0 garantiert also nicht die Identifikation des Modell!

Die Skalierung und damit auch die Varianzen der latenten Variablen (Faktoren und Residuen) sind nicht bekannt und müssen daher definiert werden. Skalierung meint damit, dass die Metrik einer Variablen festgelegt werden muss

Maximum-Likelihood-Schätzung (ML)

-->  full-information-Methode, da alle Modellparameter gleichzeitig geschätzt werden.

Das Vorgehen ist in dem Sinne iterativ, dass mit einem Startwert begonnen wird und die Parameter so lange weiter angepasst werden bis ein Konvergenzkriterium erreicht wird.

ML-Schätzer sind konsistente Schätzer, wobei der Schätzer umso näher am Populationswert liegt je größer die Stichprobe ist. Bei hinreichend großen Stichproben ist die Schätzung darüber hinaus effizient, d.h. das sie möglichst präzise ist (à Standardfehler ist möglichst klein).

Es wird angenommen, dass die endogenen Variablen in der Population multivariat normalverteilt sind. Diese Annahme ist zwar sehr unrealistisch, bei ausreichend großen Stichproben (N>400) können kleine Abweichungen jedoch vernachlässigt werden.

Alternativ gibt es für kleinere Stichproben auch robustere ML-Schätzungen oder es kann mit Bootstrapping kombiniert werden.

Angestrebt wird bei der Schätzung die Minimierung der Diskrepanz zwischen S (empirische Varianz-Kovarianzmatrix) und Σ(Θ) (modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix). Es wird eine Fitting Funktion oder Discrepancy Funktion erstellt, die vergleichbar ist mit dem Kriterium der kleinsten Quadrate.

 Anhand der Modellgleichung (Bsp. Mit 1 AV und 3 UV) Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + ε lassen sich Gleichungen zur Bestimmung von Varianzen und Kovarianzen ableiten. Die Modellparameter werden so geschätzt, dass die empirischen Daten maximal wahrscheinlich sind.

Um die Anpassungsgüte zu beurteilen gibt es ein teststatistisches Verfahren und deskriptive Indizes zur Abschätzung der Anpassungsgüte.

Als inferenzstatisttisches Verfahren gibt es den likelihood ratio chi square oder model chi square .

Die grundlegende Fit-Statistik ist (N-1)F_ML, wobei N für die Stichprobengröße steht und F_ML der Wert des statistischen Kriteriums ist, der bei der ML-Schätzung minimiert wird.

In großen Stichproben bei angenommener multivariater Normalverteilung ist die Fitstatistik approximativ Chi-Quadrat verteilt mit df_M. Der X²M testet dann die Nullhypothese, dass das Modell korrekt ist, also das Σ = Σ(Θ). Wenn der Test signifikant wird, ist die Nullhypothese zu verwerfen, was gegen das angenommene Modell spricht

1.)    Er basiert auf der unrealistischen Annahme, dass ein Modell einen perfekten Populations-Fit hat

2.)    Er ist sensitiv für die Größe der Korrelationen, wobei höhere Korrelationen zu größeren -Werten führen.

3.)    X²M-Wert ist auch durch die Stichprobengröße beeinflusst, was zu einer Ablehnung des Modells führen kann, obwohl es korrekt ist.(aber kann auch erste emp. Evidenz gegen das angenommene Modell)

Ein signifikanter -Test liefert erste Evidenz gegen das angenommene Modell. Dann ist die Betrachtung der Korrelationsresiduen oder der standardisierten Residuen notwendig. Die Korrelationsresiduen geben die absoluten Abweichungen wieder und alle sollten für einen guten Fit möglichst klein sein. Auffällig sind Werte größer .10

Es gibt als Alternative zum teststatistischen Verfahren approximative Fit-Indizes. Die meisten Fit-Indizes basieren auch auf X²M , nehmen aber keinen perfekten Fit an (Kriterium ist also nicht Σ = Σ(Θ)). Parsimony Indizes berücksichtigen darüber hinaus auch die Komplexität (= Anzahl der Freiheitsgrade). Da gilt: Je mehr Restriktionen desto schlechter ist der Fit per se. Die wichtigsten Fit-Indizes sind RMSEA, CFI und SRMR.

Der Root Mean Square Error of Approximation berücksichtigt die Sparsamkeit eines Modells (df, N) und ist damit ein Parsimony-Fit-Index. Zudem nimmt er keinen perfekten Fit an, also keine zentrale Χ²-Verteilung, womit er ein Absoluter Fit-Index ist. Der RMSEA nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei 0 zwar keinen perfekten Fit anzeigt, aber eine sehr gute Approximation des Modell an Σ(Θ). Daumenregel: Akzeptable Werte sind ≤ .08 bzw. ≤ .05 für einen guten Fit. Beim RMSEA kann anders als bei den anderen Informationskriterien ein Konfidenzintervall berechnet werden und eine Testung auf „close-fit“ ist möglich. Der „close-fit“ gibt die Wahrscheinlichkeit an, das  ≤ .05 vorhanden ist.

Der Comparative Fit Index ist ein inkrementeller Fit-Index, der die Verbesserung des Modells zu einem Vergleichsmodell (baseline model) anzeigt. Das Vergleichsmodell ist üblicherweise das Nullmodell (independence model), welches annimmt, dass es keine Beziehungen zwischen den beobachteten Variablen in der Population gibt. Das Nullmodell ist damit das restriktivste Modell und hat den schlechtesten Modell-Fit. Wie der RMSEA nimmt der CFI Werte zwischen 0 und 1 an, jedoch zeigen hier höhere Werte einen besseren Fit an. Es gilt als Daumenregel: Akzeptabel sind Werte ≥ .95 und gut sind Werte über .97

Der Standardized Root Mean Square Residual basiert auf den Residuen der Kovarianzen, also den Differenzen zwischen den beobachteten und den vorhergesagten Kovarianzen. Der SRMR misst den mittleren absoluten Wert der standardisierten Korrelationsresiduen. Der SRMR nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei kleinere Werte einen besseren Fit anzeigen. Werte, die kleiner als .08 sind, werden als gut angesehen. Es sollte jedoch immer geprüft werden, dass einzelne Korrelationsresiduen nicht < .10 sind, da der SRMR dies nicht garantiert.

Cut-offs sind immer auch problematisch, da sie vom Anwendungsfall abhängig sind. Die genannten Grenzen sind lediglich als Richtungsangaben zu verstehen

Zunächst sollte der X²M-Test immer berichtet werden. Für mein Modell ist ein nicht signifikantes Ergebnis wünschenswert. Um den ß-Fehler zu verringern kann ein Signifikanzniveau von .10 statt den standardmäßigen .05 angewendet werden. Wenn X²M  hingegen signifikant ist, sollten die Korrelationsresiduen inspiziert werden.

Von den approximativen Fit-Indizes sollten immer der CFI, der RMSEA und der SRMR angegeben werden, da sie unterschiedlich auf die Stichprobengröße reagieren. Wenn die Modellfits schlecht ausfallen, können Respezifikationen des Ursprungsmodells vorgenommen werden, z.B. durch Freisetzen von Parametern. Diese Respezifikationen müssen immer begründet erfolgen! Wenn ein Modell abgelehnt wird muss zudem diskutiert werden, was dies für die Theorie bedeutet

Genestete Modell sind Alternativmodelle, die in einer hierarchischen Beziehung zum angenommenen Modell stehen und sich nur durch abweichende Parameterspezifikationen unterscheiden, z.B. durch Zulassen der Kovarianz zwischen zwei latenten Variablen, die vorher auf Null fixiert war

Der Vergleich erfolgt über eine Chi-Quadrat-Differenz Statistik, bei dem die absolute Differenz zwischen den Chi-Quadrat-Werten der zu vergleichenden Modelle herangezogen wird. Mathematisch dargestellt: mit Differenz für X²D und dfD

Der Chi-Quadrat-Differenzen-Test testet die Nullhypothese, dass der Modellfit identisch ist. Bei einem nicht signifikanten Testergebnis kann das sparsamere Modell (mehr Freiheitsgrade, da mehr Restriktionen) akzeptiert werden. Bei einem signifikanten Ergebnis führen die Modellrestriktionen zu einem schlechteren Modellergebnis, weshalb das Modell nicht akzeptiert werden kann

Der Vergleich kann auch zur empirischen Modellmodifikation verwendet werden. Über Modifikationsindizes lässt sich einschätzen, um wie viel das Modell besser wird, wenn Parameter freigesetzt werden. Diese Prüfung kann über einen Lagrange-Multiplier(LM)-Test erfolgen. Es handelt sich dabei aber um eine rein willkürliche Verwendung ohne theoretischen Gehalt (Overfitting durch Parameterfreisetzung). Dementsprechend sollte die Modellmodifikation immer auch theoretisch geleitet sein

Zur Beurteilung der Gültigkeit eines Modells sollten immer auch (sinnvolle) äquivalente Modelle berücksichtigt und diskutiert werden. Äquivalente Modelle haben die gleichen Freiheitsgrade, aber die Pfade in dem Modell sind unterschiedlich konfiguriert. Es handelt sich um nicht genestete Modelle

Äquivalente Modelle erzeugen die gleichen vorhergesagten Kovarianzen, allerdings mit einer unterschiedlichen Konfiguration der Pfade in dem Modell. Daher haben sie einen identischen Modellfit , aber einer andere inhaltliche Bedeutung.

Grundsätzlich sollten auch äquivalente Modelle theoretisch erklärbar sein. Für ihre Generierung gilt nach Lee und Herschberger (1991):

·         Innerhalb eines Blocks an Variablen zu Beginn eines Modells, das genau identifiziert ist und mit unidirektionalen Beziehungen kann Y2 → Y1 wie folgt respezifiziert werden: Y1 → Y2; Y2 → Y1; D1↔ D2; Y1 ←→Y2

·         An späteren Stellen des Modells, in dem zwei endogene Variablen die gleichen Ursachen haben und ihre Beziehung unidirektional ist, sind folgende Beziehungen austauschbar: Y1 → Y2; Y2 → Y1; D1↔ D2;  Y1 ←→Y2

AMOS (Analysis of Moment Strucutres) ist ein Programm zur Analyse von Mittelwerts- und Kovarianzstrukturen /Mittelwertsvektoren und Varianz-Kovarianzmatrizen).  Es gibt eine graphikbasierte (AMOS Graphics) und eine sprachbasierte Variante. AMOS Graphics ist sehr leicht erlernbar und bedienbar und benötigt graphischen Input. In den sprachbasierten Varianten AMOS VB.NET und AMOS C# werden Syntaxbefehle verwendet, wodurch eine größere Flexibilität, aber auch ein größerer Lernaufwand zu Beginn entstehen.

Als kommerzielle, sehr teure Alternativen gibt es MPlus (empfehlenswert) und Lisrel (weniger verbreitet). Beide sind sehr mächtig und bieten viele Möglichkeiten. In MPlus können Analysen von kategorialen Variablen, Mehrebenenmodelle und Kombinationen unterschiedlicher Modelle gerechnet werden. Die Syntax ist leicht zu erlernen, es wird regelmäßig geupdatet und der Online-Support ist hervorragend.

Eine weitere Alternative ist EQS, das mit AMOS vergleichbar, aber weniger benutzerfreundlich ist. R als Freeware ist für SEM noch nicht so mächtig und relativ aufwendig zu erlernen. Jedoch wird es in der Zukunft vermutlich häufiger verwendet werden

Mittels eines multiplen Gruppenvergleichs können die Mess- und Strukturparameter eines SEM zwischen zwei oder mehr Gruppen verglichen werden.

Messparameter sind Ladungen, Intercepts und Fehlervarianzen, die im Messmodell zu ermitteln sind