SEM

Bei Berücksichtigung der Mittelwertstruktur kommen neue, unbekannte Parameter hinzu. Bei einem Modell aus drei manifesten Variablen und einem latenten Faktor ergeben sich beispielsweise 4 neue Parameter: Drei Intercepts (aufgrund der manifesten Variablen) und der Mittelwert des Faktors (latenter Mittelwert). Dadurch entsteht folgendes Problem: Für die Schätzung stehen nur drei beobachtete Mittelwerte zur Verfügung. Darüber hinaus muss zur Schätzung des latenten Mittelwerts dieser mit einem Mittelwert („origin“) versehen werden.

·  Fixierung des latenten Mittelwers auf Null. Dies löst beide Probleme, sollte aber nur angewendet werden, wenn die Mittelwertstruktur nicht interessiert.

·  Fixierung des Intercepts eines Indikators auf 0. Hierdurch übernimmt der latente Mittelwert den Mittelwert dieses Indikators.

              Im Rahmen multipler Gruppenvergleiche zum Zwecke der Modellidentifikation die Intercepts zwischen den Gruppen gleichgesetzt und der latente Mittelwert in einer Referenzgruppe auf 0 fixiert.

Messinvarianz bezieht sich auf das Messinstrument und stellt die Frage, ob ein Messinstrument in unterschiedlichen Populationen das gleiche misst. Sie ist Voraussetzung für Fragen nach Populationsheterogenität.

Es werden vier verschiedene Arten unterschieden: konfigurale, metrische und skalare Messinvarianz sowie die strict factorial invariance

Ohne konfigurale Messinvarianz, keine metrische Messinvarianz; ohne metrische Messinvarianz, keine skalare Messinvarianz.

Auf Englisch wird diese als „equal form“ bezeichnet und sie stellt de Frage, ob in den unterschiedlichen Populationen die gleiche faktorielle Struktur, also die gleiche Anzahl von latenten Variablen sowie die gleichen Indikatoren, vorliegt

Sie wird auf Englisch als „weak factorial invariance“ bezeichnet und fragt danach, ob die Faktorladungen gleich sind. Dazu werden die Ladungen der Indikatoren auf den verschiedenen latenten Variablen verglichen. Sie ist Voraussetzung für den Vergleich der Beziehungen zwischen latenten Variablen. Wenn sie nicht gegeben ist, dann haben die Faktoren eine unterschiedliche Bedeutung in den unterschiedlichen Populationen.

Skalare Messinvarianz (=„strong factorial invariance“) ist beim Vergleich von latenten Mittelwerten nötigt und fragt nach der Gleichheit der Intercepts. Sie ist Voraussetzung für den Vergleich der absoluten Ausprägung in den latenten Variablen zwischen den unterschiedlichen Populationen. Wenn keine skalare Messinvarianz gegeben ist ergeben sich unterschiedliche Itemfunktionen (differential item functioning) und die beobachteten Mittelwertsunterschiede entsprechen nicht den wahren Mittelwertsunterschieden.

Die „strict factorial invariance“ fragt nach der Gleichheit der Residuen der Indikatoren. In der Regel wird diese Art der Messinvarianz nicht geprüft, da es keine zwangsläufige Voraussetzung ist.

·         Sind die Beziehungen zwischen den Faktoren (latenten Variablen) gleich?

·         Sind die Ausprägungen in den Faktoren gleich?

·         Sind die Faktorvarianzen gleich? (in der Praxis eher selten.)

Die Datengrundlage bei einem multiplen Gruppenvergleich sind die Varianz-Kovarianzmatrizen und die Mittelwertvektoren aus den verschiedenen Gruppen. Die Modellparameter werden unter Vorgabe von Gleichheitsrestriktionen (ergibt einen zusätzlichen Freiheitsgrad) für die verschiedenen Gruppen simultan geschätzt. Danach werden restriktiver mit weniger restriktiven Modellen mittels des Chi-Quadrat-Differenzen-Tests verglichen. Beim Vorgehen kann zwischen einem Step-Up und einem Step-Down-Ansatz unterschieden werden

Es ist der empfohlene Ansatz zum Vorgehen, welche Schritte durchgeführt werden ist jedoch abhängig von der Fragestellung, da nicht immer alle benötigt werden. Die Schritte 1 – 5 beziehen sich auf die Messinvarianz, die Schritte 6 – 8 auf die Populationsheterogenität.

1)      Schätzung des Modells separat in allen Gruppen

2)      Prüfung konfiguraler Invarianz mittels eines multiplen Gruppenvergleichs

3)      Prüfung metrischer Messinvarianz

4)      Prüfung skalarer Messinvarianz

5)      Prüfung gleicher Residuen der Indikatoren (optional)

6)      Prüfung gleicher Faktorvarianzen (wenn sinnvoll)

7)      Prüfung gleicher Faktorkovarianzen (bzw. im Rahmen von SEM gerichteter Beziehungen)

8)      Prüfung gleicher Faktormittelwerte

Im Rahmen multipler Gruppenvergleiche zum Zwecke der Modellidentifikation die Intercepts zwischen den Gruppen gleichgesetzt und der latente Mittelwert in einer Referenzgruppe auf 0 fixiert. Die latenten Mittelwerte in den übrigen Gruppen geben dann die Differenz zu dieser Referenzgruppe an. Bei mehr als zwei Gruppen muss daher ggf. das Vorgehen mit unterschiedlichen Referenzgruppen wiederholt werden.

Partielle Messinvarianz bezeichnet den Zustand, das nur teilweise Messinvarianz gegeben ist, das als eine Reihe von Faktorladungen und Intercepts sich zwischen den Gruppen unterscheidet

Partielle Messinvarianz ist ausreichend zur Prüfung von Populationsheterogenität. Das ist jedoch nur in wenigen Simulationsstudien untersucht wurden. Nach Steinmetz (2013) stellt partielle metrische Messinvarianz kein Problem dar. Partielle skalare Messinvarianz hingegen führt bei einem abweichenden Intercept zu Verzerrungen.

Längsschnittdaten als wiederholte Messungen an denselben Individuen habe eine Reihe von Vorteilen gegenüber Querschnittserhebungen. Die zeitliche Beziehung zwischen Merkmalen ist ein Kriterium für Kausalität – die Wirkung sollte der Ursache folgen und nicht umgekehrt. Längsschnittdaten ermöglichen darüber hinaus die Betrachtung von intraindividuellen Veränderungen und den interindividuellen Unterschieden in diesen Veränderungen. Zudem lässt sich die Frage nach den Prädiktoren von Veränderung stellen

Es gibt drei unterschiedliche Varianten: Cross-lagged-Modelle, Latent-Change-Modelle und Latente Wachstumkurvenmodelle. Welche Variante gewählt werden sollte hängt von der/den konkreten Fragestellungen ab.

Gemein ist allen Varianten die Möglichkeit der Verwendung von latenten Variablen. Die Überprüfung der Messmodelle ist möglich und damit auch die Überprüfung der Messinvarianz. Zudem wird der Messfehler berücksichtigt.

Cross-lagged-Modelle sind SEM die die Untersuchung der zeitlichen Beziehung zwischen Variablen ermöglichen. Sie werden auch autoregressive Modelle genannt. Idealerweise sollten wenigstens drei Messzeitpunkte vorhanden sein. Es reichen jedoch auch zwei Messzeitpunkte. Auch in diesem Fall lässt sich eine Mediationshypothese prüfen, da die zeitliche Vorgeordnetheit im Sinne einer kausalen Kette betrachtet werden kann

Bei Cross-lagged Modellen sind für jede Messung die beobachteten Werte Y_[t] und X_[t] durch eine Funktion der wahren Werte y_[t] und x_[t] und den Messfehlern e_y[t] und e_x[t].

 und

Bei Cross-lagged-Modellen wird auch die Beziehung der wahren Werte berücksichtigt, sodass jede latente Variable zum Zeitpunkt t eine Funktion aus drei Komponenten ist: eine Autoregression β, eine cross-lagged-Regression γ und ein Residuum d.

Eine cross-lagged-Regression γ stellt den Effekt der vorherigen Messung einer anderen Variablen dar, der konstant ist für alle Interlle.

Das Residuum d ist für alle Messzeitpunkte gleichgesetzt und kann mit dem Residuum einer anderen Variablen zum gleichen Messzeitpunkt korrelieren. Die Veränderung in Merkmalen ist in den Residuen d enthalten und wird nicht direkt als Parameter geschätzt.

Autoregressive Pfade β laufen vom Merkmalswert einer Variable an einem Zeitpunkt t zu einem Merkmalswert derselben Variable zum Zeitpunkt t+1. Sie stellen damit den Einfluss einer vorherigen Messung dieser Variablen dar und sind konstant für alle Intervalle. Sie geben die Stabilität eines Merkmals wieder. Eine Nicht-Berücksichtigung der Autoregression führt zur Überschätzung eines Effekts.

Es muss Stationarität gegeben sein. Stationarität meint die zeitliche Stabilität der kausalen Struktur. Das bedeutet, dass die γ- und auch die β-Werte gleich sind, egal welcher Messzeitpunkt ausgewählt wird (kausale Effekte sind konstant)

· Ermöglichen eine bessere Schätzung kausaler Effekte im Vergleich zur SEM (oder andere Verfahren) basierend auf Querschnittsdaten

Die autoregressiven Pfade kontrollieren zumindest einen Teil der Einflüsse von nicht berücksichtigten Drittvariablen, eine Erweiterung um Drittvariablen ist möglich

Nein. Der Einfluss von Drittvariablen kann nicht ausgeschlossen werden. Einen Hinweis auf vorhandene Drittvariablen geben bedeutsame Kovarianzen

Querschnittsdaten setzen Äquilibrium (Gleichgewicht: gleiche Varianzen und Kovarianzen über die Messzeitpunkte) und Stationarität voraus.

·  Die Veränderung in Merkmalen ist in den Residuen d enthalten, wird aber nicht direkt als Parameter geschätzt.

·  Keine direkte Analyse von (absoluten) Veränderungen in Merkmalen möglich.

Intraindividuelle Veränderungen können nicht abgebildet werden, ebenso wie interindividuelle Unterschiede in der intraindividuellen Veränderung (keine Variablilität darstellbar.

Cross-lagged Modelle sollten dann verwendet werden, wenn allein die zeitliche Beziehung zwischen Variablen von Interesse ist. Wenn möglich sollten dann latente Variablen verwendet werden, da diese zum Beispiel Verzerrungen verhindern.

Latente Wachstumskurvenmodelle (engl. Latent growth curve models; LGM) sind SEM, die die Mittelwertsstruktur berücksichtigen. Dadurch können in Kombination mit bestimmten Spezifikationen des Modells intraindividuelle Veränderungen und interindividuelle Unterschiede in diesen Veränderungen analysiert werden

Für jede Variable wird ein Intercept und ein Slope (y₀ und y_s; x₀ und x_s) sowie jeweils eine Varianz der Intercepts und Slopes (y₀^* und y_s^*; x₀^* und x_s^*) berücksichtigt. Von zentralem Interesse sind die Mittelwerte der Slopes (μ_ys und μ_xs). Die Ladungen der Indikatoren auf den Slope-Faktoren (λ_y[t] und λ_x[t]) und die Korrelation zwischen den Slopes (ρ_{ys, xs}) sind ebenfalls wichtige Parameter.

·         Die Varianzen σ – die gerichteten Pfade zwischen Intercept/Slope eines Merkmals und deren Varianz- geben interindividuelle Unterschiede in interindividuellen Veränderungen an.

·         Die Kovarianzen ρ zeigen an, ob sich die Merkmale parallel zueinander verändern.

·         Der Slope zeigt die Veränderung von einem vorherigen zu einem späteren Messzeitpunkt an (Mittelwert = mittlere Veränderung zwischen zwei Messzeitpunkten)

·         Der latente Intercept gibt das Ausgangsniveau in x an (Mittelwert = mittlere Ausprägung in x zum ersten Messzeitpunkt)

- Durch unterschiedliche Fixierungen der Ladungen der Indikatoren auf dem Slope-Faktor können lineare (0, 1, 2, 3) und nicht-lineare (0, 1, 4, 9) Veränderungen modelliert werden, bspw. Über das Einbinden eines weiteren Slope Faktors, sodass Hypothesen über die Form der Veränderung getestet werden können. Bei genügend Informationen ist es auch möglich diese frei zu schätzen.

            -Ladungen auf dem Intercept-Faktor sind immer auf 1 fixiert