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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 04.06.2016 / 12.11.2016
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Definition (Monotonie):

 

Sei \(f: A \rightarrow R\)eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

f heißt streng monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \ll f(x_2)\)

f heißt streng monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\)gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \gg f(x_2)\)

f heißt monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)

f heißt monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)

 

 

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Satz von der Intervallmonotonie

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion, \(f': A \rightarrow R\) ihre Ableitung und \(I \subseteq A\) ein Intervall.

Gilt \(f'(x) \gg 0\) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton steigend in I.

Gilt \(f'(x) \ll 0 \) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton fallend in I.

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Satz vom Ableitungsvorzeichen

Sei f eine Polynomfunktion und I ein Intervall. Besitzt f' keine Nullstelle in I, so gilt entweder f'(x) > 0 für alle \(x \in I\) oder f'(x) < 0 für alle \(x \in I\).

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Definition (Maximum- und Minimumstelle)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

Die Stelle \(p \in M\) heißt Maximumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \leq f(p)\).
Die Stelle \(p \in M\) heißt Minimumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \geq f(p)\)

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Definition (lokale Extremstellen) mit Umgebung

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \leq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \geq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

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Satz (lokale Extremstellen) - Ableitung

Sei f eine Polynomfunktion. Dann gilt: 

Ist p eine lokale Extremstelle von f, so ist f'(p) = 0.

 

Beachte: Umkehrung gilt nicht ( f(x) = x^3, f'(0) = 0 aber keine Extremstelle) - Sattelpunkte

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Definition (Krümmung)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion mit Ableitungsfunktion f', und \(I \subseteq A\) ein Intervall. 

Die Funktion f heißt in I linksgekrümmt, wenn f' in I streng monoton steigend ist. 
Die Funktion f heißt in I rechtsgekrümmt, wenn f' in I streng monoton fallend ist. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p|f(p)) heißt in diesem Fall Wendepunkt des Graphen von f.

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Satz (lokale Extremstellen / 2. Ableitung)

Sei \(f: I \rightarrow R\) eine reelle Funktion, I ein Intervall und peine innere Stelle von I. 

Dann gilt: 
Ist \(f'(p) = 0\) und \(f''(p) \ll 0\), so ist p eine lokale Maximumstelle von f.
Ist \(f'(p) = 0\) und \(f''(p) \gg 0\), so ist p eine lokale Minimumstelle von f.