Schulmathematik 6 - Differential- u Integralrechnung

Ist \(n \in Z\) und \(x \neq 0\), so gilt: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Funktion \(f \cdot g\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: 

\((f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)\)

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Beweis wie Quotientenregel

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Dann heißt die Funktion \(h: A \rightarrow R\) mit \(h(x) = g(f(x))\) die Verkettung von f und g. Man bezeichnet diese Funktion h mit \(g \circ f\).

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Ist f an der Stelle x und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist auch \(g \circ f\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:

\((g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)\)

Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist stetig in \(R^+_0\)

Bew:

Sei \(\epsilon \gg 0\) und \(x_0 \neq 0\). Wähle \(\delta = \epsilon \cdot \sqrt{x_0}\).

Dann ist \(| \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = | \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \cdot \frac{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}\)\(= | x - x_0| \cdot \frac{1}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|} \ll | x - x_0| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_0}}\)\(\ll \frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\ll \epsilon\)

für alle \(x \in R^+_0\) mit \(|x| \ll \delta\).

Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist an jeder Stelle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Beweis:

Wir bilden zunächst den Differenzenquotienten von f in einem Intervall [x; z]:

\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{z-x} \)\(= \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{(\sqrt{z}-\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)\(= \frac{1}{(\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)

Da f an der Stelle x stetig ist, gilt \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\sqrt{z}} = \sqrt{x}\). Durch Anwenden der Grenzwertsätze erhält man daher für x > 0:

\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}}\)\(= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

Beachte: Die Wurzelfunktion ist an der Stelle 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar!

a) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+_{0}\) stetig.

b) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+\)differenzierbar, und es gilt: \(f'(x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)

Beweis von b):

Wieder wird zunächst der Differenzenquotient von f in einem Intervall [x; z] vereinfacht:

\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{z-x}\)\(= \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{(\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x})((\sqrt[n]{z})^{n-1}+(\sqrt[n]{z})^{n-2} \cdot \sqrt[n]{x}+(\sqrt[n]{z})^{n-3} \cdot (\sqrt[n]{x})^2 + \dots + (\sqrt[n]{x})^{n-1})}\)

Aufgrund der Stetigkeit der Funktion \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) und der Grenzwertsätze erhält man für \(x \gg 0\):

\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \frac{1}{( \sqrt[n]{x})^{n-1}+( \sqrt[n]{x})^{n-1}+ \dots + ( \sqrt[n]{x})^{n-1}} \)\(= \frac{1}{ n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{-\frac{n-1}{n}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)

Jede Potenzfunktion \(f: R^+ \rightarrow R\) mit \(f(x) = x^q \; (q \in Q)\) ist an jeder Stelle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = x^q \Rightarrow f'(x) = q \cdot x^{q-1}\)

Beweis:

Es sei \(q = \frac{m}{n}\) mit \(m \in Z, n \in N^+\). Dann ist \(f(x) = x^q = x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}}\).

Wir differenzieren nach der Kettenregel, wobei wir verwenden, dass die Potenzregel für Exponenten \(m \in Z\) sowie \(\frac{1}{n}\) mit \(n \in N^+\) schon bewiesen worden ist: 

\(f'(x) = \frac{1}{n} \cdot (x^m)^{\frac{1}{n}-1}\cdot m \cdot x^{m-1}\)\( = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n}-m} \cdot x^{m-1} = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n}-1} = q \cdot x^{q-1}\)

Die Funktionen sin und cos sind für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt: 

\(sin'(x) = cos(x)\) und \(cos'(x) = -sin(x)\)

Aus \(\frac{f(z)-f(0)}{z-0} = \frac{e^z-e^0}{z-0} = \frac{e^z-1}{z}\) folgt: \(f'(0) = \lim \limits_{z \rightarrow 0}{\frac{e^z-1}{z}}\)

Diesen Grenzwert kann man mit Hilfe der Reihendarstellung der Funktion \(e^x\) bestimmen:

\(e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!} + \dots\)

\(\Rightarrow e^z - 1 = z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \dots\)

\(\Rightarrow \frac{e^z - 1}{z} = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \frac{z^3}{4!} + \dots\)

Die Reihendarstellung zeigt: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 0, so nähert sich \(\frac{e^z-1}{z}\) unbegrenzt der Zahl 1. Also erhalten wir: \(f'(0) = \lim \limits_{z\rightarrow 0}{\frac{e^z-1}{z}} = 1\)

Die Funktion \(f(x) = e^x\) ist für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt \(f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x\)

Beweis:

\(f(x) = e^x \Rightarrow \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\)\(\frac{e^{x} \cdot e^h-e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^{h}-1}{h}\)

Nach Aufgabe* ist \(\lim \limits_{h \rightarrow 0}{\frac{e^h-1}{h}} = 1\).                       * (andere Frage im Katalog)

Daraus folgt nun: \(f'(x) = \lim \limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = e^x \cdot 1 = e^x\)

Die Funktion \(f(x) = a^x \; (a \in R^+)\) ist für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt \(f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot ln(a)\)

Beweis:

\(f(x) = a^x = (e^{ln(a)})^x = e^{x \cdot ln(a)}\)\(\Rightarrow f'(x) = e^{x\cdot ln(a)}\cdot ln(a) = (e^{ln(a)})^x\cdot ln(a) = a^x \cdot ln(a)\)

Es sei f eine invertierbare, an der Stelle \(x_0\) differenzierbare Funktion mit \(f'(x_0) \neq 0\). Die Umkehrfunktion \(f^*\) sei an der Stelle \(y_0 = f(x_0)\) stetig.

Dann ist \(f^*\) in \(y_0\) differenzierbar und es gilt: \(f^{*}{'}(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^*(y_0)}\)

Die Funktion \(f(x) = ln(x)\) ist für alle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)

Beweis:

Die Umkehrfunktion der Funktion \(f(x) = e^x\) ist \(f^*(x) = ln(x)\) . Aus der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion folgt: 

\(f^{*}{'}(y) = \frac{1}{f'(f^*(y)} = \frac{1}{e^{f^*(y)}} = \frac{1}{e^{ln(y)}} = \frac{1}{y}\)

Die Funktion \(f(x) = ^alog(x) \; (a \in R^+/{1})\) ist für alle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = ^alog(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x\cdot ln(a)}\)

Beweis:

Aus \(f(x) = ^alog(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} = \frac{1}{ln(a)} \cdot ln(x)\)und \((ln(x))' = \frac{1}{x}\) folgt: \(f'(x) = \frac{1}{ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \cdot ln(a)}\)

Sei \(s: t \mapsto s(t)\)ist eine Zeit-Weg-Funktion. Man nennt \(v(t) = \lim\limits_{z \rightarrow t}{\frac{s(z)-s(t)}{z-t}}\) die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t.

Sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert \(f'(x)=\lim\limits_{z\rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)heißt Differentialquotient von f an der Stelle x (Änderungsrate von f an der Stelle x).

Sei f eine reelle Funktion und f'(x) ihr Differentialquotient an der Stelle x. 
Die Gerade durch den Punkt X(x/f(x)) mit der Steigung f'(x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X.
Die Steigung f'(x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. 

\(f(x) = c\)

\(f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c-c}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{0} = 0\)

\(f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0\)

\(f(x) = x \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z-x}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{1}= 1\)

\(f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) =\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^2 - x^2}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z-x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z+x) = 2x}\)

\(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^3 - x^3}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z^2+xz+x^2)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z^2+xz+x^2)} = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2\)

Allgemein gilt für \(f(x) = x^n\) mit \(n \geq 2:\)

\(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^n-x^n}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)\cdot (z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{(z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}\)\(= x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\dots+x^{n-1} = n \cdot x^{n-1}\)

\((c\cdot f)'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(c\cdot f)(z) - (c \cdot f)(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c\cdot f(z)-c \cdot f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{c \cdot \frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)

Ist f eine reelle Funktion, und f' ihre Ableitungsfunktion, so gilt:

\((c \cdot f)' = c \cdot f' (c \in R)\)

Seien f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g'. Dann kann man auch die Ableitungsfunktion der Funktion \(f+g: x \rightarrow f(x) + g(x)\)bestimmen: 

\((f+g)'(x) = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(f+g)(z)-(f+g)(x)}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{[f(z)+g(z)]-[f(x)+g(x)]}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)+g(z)-g(x)}{z-x}} = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{[\frac{f(z)-f(x)}{z-x}+\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]}\)

Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so strebt \(\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\) gegem f'(x) und \(\frac{g(z)-g(x)}{z-x}\) gegen g'(x). Folglich strebt der Ausdruck in der eckigen Klammer gegen f'(x)+g'(x).

Satz(Summenregel):

Sind f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g', so gilt: (f+g)' = f' + g'

Sei \(f: A \rightarrow R\)eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

f heißt streng monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \ll f(x_2)\)

f heißt streng monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\)gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \gg f(x_2)\)

f heißt monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)

f heißt monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion, \(f': A \rightarrow R\) ihre Ableitung und \(I \subseteq A\) ein Intervall.

Gilt \(f'(x) \gg 0\) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton steigend in I.

Gilt \(f'(x) \ll 0 \) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton fallend in I.

Sei f eine Polynomfunktion und I ein Intervall. Besitzt f' keine Nullstelle in I, so gilt entweder f'(x) > 0 für alle \(x \in I\) oder f'(x) < 0 für alle \(x \in I\).

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

Die Stelle \(p \in M\) heißt Maximumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \leq f(p)\).
Die Stelle \(p \in M\) heißt Minimumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \geq f(p)\)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \leq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \geq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

Sei f eine Polynomfunktion. Dann gilt: 

Ist p eine lokale Extremstelle von f, so ist f'(p) = 0.

Beachte: Umkehrung gilt nicht ( f(x) = x^3, f'(0) = 0 aber keine Extremstelle) - Sattelpunkte

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion mit Ableitungsfunktion f', und \(I \subseteq A\) ein Intervall. 

Die Funktion f heißt in I linksgekrümmt, wenn f' in I streng monoton steigend ist. 
Die Funktion f heißt in I rechtsgekrümmt, wenn f' in I streng monoton fallend ist. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p|f(p)) heißt in diesem Fall Wendepunkt des Graphen von f.