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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 04.06.2016 / 12.11.2016
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Definition Differezenquotient

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reele Funktion, \(a,b \in A\) und \(a \neq b\). Dann heißt \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von \(f\) in \([a;b]\).

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Definition: Geschwindigkeit im Zeitpunkt t

Sei \(s: t \mapsto s(t)\)ist eine Zeit-Weg-Funktion. Man nennt \(v(t) = \lim\limits_{z \rightarrow t}{\frac{s(z)-s(t)}{z-t}}\) die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t.

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Definition: Differentialquotient

Sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert \(f'(x)=\lim\limits_{z\rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)heißt Differentialquotient von f an der Stelle x (Änderungsrate von f an der Stelle x).

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Definition: Tangente, Steigung der Funktion

Sei f eine reelle Funktion und f'(x) ihr Differentialquotient an der Stelle x. 
Die Gerade durch den Punkt X(x/f(x)) mit der Steigung f'(x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X.
Die Steigung f'(x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. 

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Satz: Ableitung einer konstanten Funktion + Herleitung

 

\(f(x) = c\)

\(f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c-c}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{0} = 0\)

\(f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0\)

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Satz: Potenzregel für natürliche Exponenten

\(f(x) = x \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z-x}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{1}= 1\)

\(f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) =\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^2 - x^2}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z-x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z+x) = 2x}\)

\(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^3 - x^3}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z^2+xz+x^2)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z^2+xz+x^2)} = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2\)

Allgemein gilt für \(f(x) = x^n\) mit \(n \geq 2:\)

\(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^n-x^n}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)\cdot (z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{(z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}\)\(= x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\dots+x^{n-1} = n \cdot x^{n-1}\)

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Satz (Regel vom konstanten Faktor):

\((c\cdot f)'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(c\cdot f)(z) - (c \cdot f)(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c\cdot f(z)-c \cdot f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{c \cdot \frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)

Ist f eine reelle Funktion, und f' ihre Ableitungsfunktion, so gilt:

\((c \cdot f)' = c \cdot f' (c \in R)\)

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Satz (Summenregel) + Herleitung

Seien f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g'. Dann kann man auch die Ableitungsfunktion der Funktion \(f+g: x \rightarrow f(x) + g(x)\)bestimmen: 

\((f+g)'(x) = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(f+g)(z)-(f+g)(x)}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{[f(z)+g(z)]-[f(x)+g(x)]}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)+g(z)-g(x)}{z-x}} = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{[\frac{f(z)-f(x)}{z-x}+\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]}\)

Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so strebt \(\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\) gegem f'(x) und \(\frac{g(z)-g(x)}{z-x}\) gegen g'(x). Folglich strebt der Ausdruck in der eckigen Klammer gegen f'(x)+g'(x).

Satz(Summenregel):

Sind f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g', so gilt: (f+g)' = f' + g'