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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 04.06.2016 / 12.11.2016
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Satz (Quotientenregel) + Beweis

Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, und ist \(g(x) \neq 0\) so ist auch die Funktion f/g an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: 

\((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\)

 

\(\frac{\frac{f}{g}(z)-\frac{f}{g}(x)}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)}{g(z)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{g(z)g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{1}{g(z)g(x)}\cdot[g(x)\frac{f(z)-f(x)}{z-x}-f(x)\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]\)

Da g an der Stelle x stetig ist, gilt: \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{g(z)g(x)}} = \frac{1}{(g(x))^2}\)

Da f und g an der Stelle x differenzierbar sind, gilt: 

\(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = f'(x)\) und \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{g(z)-g(x)}{z-x}} = g'(x)\)

Anwenden der Grenzwertsätze ergibt daher: \((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\) 

 

 

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Satz (Potenzregel für ganzzahlige Exponenten)

Ist \(n \in Z\) und \(x \neq 0\), so gilt: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

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Satz (Produktregel)

Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Funktion \(f \cdot g\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: 

\((f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)\)

 

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Beweis wie Quotientenregel

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Definition (Verkettung von Funktionen)

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Dann heißt die Funktion \(h: A \rightarrow R\) mit \(h(x) = g(f(x))\) die Verkettung von f und g. Man bezeichnet diese Funktion h mit \(g \circ f\).

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Satz (Kettenregel)

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Ist f an der Stelle x und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist auch \(g \circ f\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:

\((g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)\)

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Satz über Stetigkeit der Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) + Beweis

Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist stetig in \(R^+_0\)

Bew:

Sei \(\epsilon \gg 0\) und \(x_0 \neq 0\). Wähle \(\delta = \epsilon \cdot \sqrt{x_0}\).

Dann ist \(| \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = | \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \cdot \frac{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}\)\(= | x - x_0| \cdot \frac{1}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|} \ll | x - x_0| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_0}}\)\(\ll \frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\ll \epsilon\)

für alle \(x \in R^+_0\) mit \(|x| \ll \delta\).

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Satz über die Differenzierbarkeit der Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\)+ Beweis

Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist an jeder Stelle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

Beweis:

Wir bilden zunächst den Differenzenquotienten von f in einem Intervall [x; z]:

\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{z-x} \)\(= \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{(\sqrt{z}-\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)\(= \frac{1}{(\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)

Da f an der Stelle x stetig ist, gilt \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\sqrt{z}} = \sqrt{x}\). Durch Anwenden der Grenzwertsätze erhält man daher für x > 0:

\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}}\)\(= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)

Beachte: Die Wurzelfunktion ist an der Stelle 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar!

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Satz: Sei \(f: R^+_0 \rightarrow R, f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\), wobei \(n \in N^*\).

Was kann man über die Stetigkeit und Differenzierbarkeit (+ Beweis) aussagen?

a) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+_{0}\) stetig.

b) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+\)differenzierbar, und es gilt: \(f'(x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)

Beweis von b):

Wieder wird zunächst der Differenzenquotient von f in einem Intervall [x; z] vereinfacht:

\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{z-x}\)\(= \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{(\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x})((\sqrt[n]{z})^{n-1}+(\sqrt[n]{z})^{n-2} \cdot \sqrt[n]{x}+(\sqrt[n]{z})^{n-3} \cdot (\sqrt[n]{x})^2 + \dots + (\sqrt[n]{x})^{n-1})}\)

Aufgrund der Stetigkeit der Funktion \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) und der Grenzwertsätze erhält man für \(x \gg 0\):

\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \frac{1}{( \sqrt[n]{x})^{n-1}+( \sqrt[n]{x})^{n-1}+ \dots + ( \sqrt[n]{x})^{n-1}} \)\(= \frac{1}{ n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{-\frac{n-1}{n}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)