Schulmathematik 6 - Differential- u Integralrechnung
Uni Wien, Koth
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Flashcards
Satz (Quotientenregel) + Beweis
Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, und ist \(g(x) \neq 0\) so ist auch die Funktion f/g an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:
\((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\)
\(\frac{\frac{f}{g}(z)-\frac{f}{g}(x)}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)}{g(z)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{g(z)g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{1}{g(z)g(x)}\cdot[g(x)\frac{f(z)-f(x)}{z-x}-f(x)\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]\)
Da g an der Stelle x stetig ist, gilt: \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{g(z)g(x)}} = \frac{1}{(g(x))^2}\)
Da f und g an der Stelle x differenzierbar sind, gilt:
\(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = f'(x)\) und \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{g(z)-g(x)}{z-x}} = g'(x)\)
Anwenden der Grenzwertsätze ergibt daher: \((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\)
Satz (Potenzregel für ganzzahlige Exponenten)
Ist \(n \in Z\) und \(x \neq 0\), so gilt: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Satz (Produktregel)
Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Funktion \(f \cdot g\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:
\((f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)\)
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Beweis wie Quotientenregel
Definition (Verkettung von Funktionen)
Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Dann heißt die Funktion \(h: A \rightarrow R\) mit \(h(x) = g(f(x))\) die Verkettung von f und g. Man bezeichnet diese Funktion h mit \(g \circ f\).
Satz (Kettenregel)
Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Ist f an der Stelle x und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist auch \(g \circ f\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:
\((g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)\)
Satz über Stetigkeit der Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) + Beweis
Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist stetig in \(R^+_0\)
Bew:
Sei \(\epsilon \gg 0\) und \(x_0 \neq 0\). Wähle \(\delta = \epsilon \cdot \sqrt{x_0}\).
Dann ist \(| \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = | \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \cdot \frac{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}\)\(= | x - x_0| \cdot \frac{1}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|} \ll | x - x_0| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_0}}\)\(\ll \frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\ll \epsilon\)
für alle \(x \in R^+_0\) mit \(|x| \ll \delta\).
Satz über die Differenzierbarkeit der Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\)+ Beweis
Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist an jeder Stelle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Beweis:
Wir bilden zunächst den Differenzenquotienten von f in einem Intervall [x; z]:
\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{z-x} \)\(= \frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{(\sqrt{z}-\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)\(= \frac{1}{(\sqrt{z}+\sqrt{x})}\)
Da f an der Stelle x stetig ist, gilt \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\sqrt{z}} = \sqrt{x}\). Durch Anwenden der Grenzwertsätze erhält man daher für x > 0:
\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}}\)\(= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \)
Beachte: Die Wurzelfunktion ist an der Stelle 0 zwar stetig, aber nicht differenzierbar!
Satz: Sei \(f: R^+_0 \rightarrow R, f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\), wobei \(n \in N^*\).
Was kann man über die Stetigkeit und Differenzierbarkeit (+ Beweis) aussagen?
a) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+_{0}\) stetig.
b) Die Funktion f ist an jeder Stelle \(x \in R^+\)differenzierbar, und es gilt: \(f'(x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)
Beweis von b):
Wieder wird zunächst der Differenzenquotient von f in einem Intervall [x; z] vereinfacht:
\(\frac{f(z)-f(x)}{z-x} = \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{z-x}\)\(= \frac{\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x}}{(\sqrt[n]{z}-\sqrt[n]{x})((\sqrt[n]{z})^{n-1}+(\sqrt[n]{z})^{n-2} \cdot \sqrt[n]{x}+(\sqrt[n]{z})^{n-3} \cdot (\sqrt[n]{x})^2 + \dots + (\sqrt[n]{x})^{n-1})}\)
Aufgrund der Stetigkeit der Funktion \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) und der Grenzwertsätze erhält man für \(x \gg 0\):
\(f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \frac{1}{( \sqrt[n]{x})^{n-1}+( \sqrt[n]{x})^{n-1}+ \dots + ( \sqrt[n]{x})^{n-1}} \)\(= \frac{1}{ n \cdot (\sqrt[n]{x})^{n-1}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{-\frac{n-1}{n}}\)\(= \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n}-1}\)
Satz (Potenzregel für rationale Exponenten) + Beweis
Jede Potenzfunktion \(f: R^+ \rightarrow R\) mit \(f(x) = x^q \; (q \in Q)\) ist an jeder Stelle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = x^q \Rightarrow f'(x) = q \cdot x^{q-1}\)
Beweis:
Es sei \(q = \frac{m}{n}\) mit \(m \in Z, n \in N^+\). Dann ist \(f(x) = x^q = x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}}\).
Wir differenzieren nach der Kettenregel, wobei wir verwenden, dass die Potenzregel für Exponenten \(m \in Z\) sowie \(\frac{1}{n}\) mit \(n \in N^+\) schon bewiesen worden ist:
\(f'(x) = \frac{1}{n} \cdot (x^m)^{\frac{1}{n}-1}\cdot m \cdot x^{m-1}\)\( = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n}-m} \cdot x^{m-1} = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n}-1} = q \cdot x^{q-1}\)
Satz (Differenzierbarkeit der Winkelfunktionen)
Die Funktionen sin und cos sind für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt:
\(sin'(x) = cos(x)\) und \(cos'(x) = -sin(x)\)
Aufgabe: Berechne die Steigung der Funktion \(f(x) = e^x\) an der Stelle 0.
Aus \(\frac{f(z)-f(0)}{z-0} = \frac{e^z-e^0}{z-0} = \frac{e^z-1}{z}\) folgt: \(f'(0) = \lim \limits_{z \rightarrow 0}{\frac{e^z-1}{z}}\)
Diesen Grenzwert kann man mit Hilfe der Reihendarstellung der Funktion \(e^x\) bestimmen:
\(e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!} + \dots\)
\(\Rightarrow e^z - 1 = z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \dots\)
\(\Rightarrow \frac{e^z - 1}{z} = 1 + \frac{z}{2!} + \frac{z^2}{3!} + \frac{z^3}{4!} + \dots\)
Die Reihendarstellung zeigt: Nähert sich z unbegrenzt der Zahl 0, so nähert sich \(\frac{e^z-1}{z}\) unbegrenzt der Zahl 1. Also erhalten wir: \(f'(0) = \lim \limits_{z\rightarrow 0}{\frac{e^z-1}{z}} = 1\)
Satz: Differenzierbarkeit und Ableitung der Funktion \(f(x)= e^x\)?
Die Funktion \(f(x) = e^x\) ist für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt \(f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x\)
Beweis:
\(f(x) = e^x \Rightarrow \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\)\(\frac{e^{x} \cdot e^h-e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^{h}-1}{h}\)
Nach Aufgabe* ist \(\lim \limits_{h \rightarrow 0}{\frac{e^h-1}{h}} = 1\). * (andere Frage im Katalog)
Daraus folgt nun: \(f'(x) = \lim \limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}} = e^x \cdot 1 = e^x\)
Satz: Differenzierbarkeit und Ableitung der Funktion \(f(x)= a^x \; (a \in R^+)\)?
Die Funktion \(f(x) = a^x \; (a \in R^+)\) ist für alle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt \(f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot ln(a)\)
Beweis:
\(f(x) = a^x = (e^{ln(a)})^x = e^{x \cdot ln(a)}\)\(\Rightarrow f'(x) = e^{x\cdot ln(a)}\cdot ln(a) = (e^{ln(a)})^x\cdot ln(a) = a^x \cdot ln(a)\)
Satz: Ableitung der Umkehrfunktion
Es sei f eine invertierbare, an der Stelle \(x_0\) differenzierbare Funktion mit \(f'(x_0) \neq 0\). Die Umkehrfunktion \(f^*\) sei an der Stelle \(y_0 = f(x_0)\) stetig.
Dann ist \(f^*\) in \(y_0\) differenzierbar und es gilt: \(f^{*}{'}(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^*(y_0)}\)
Satz: Differenzierbarkeit und Ableitung der Funktion \(f(x) = ln(x)\)?
Die Funktion \(f(x) = ln(x)\) ist für alle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}\)
Beweis:
Die Umkehrfunktion der Funktion \(f(x) = e^x\) ist \(f^*(x) = ln(x)\) . Aus der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion folgt:
\(f^{*}{'}(y) = \frac{1}{f'(f^*(y)} = \frac{1}{e^{f^*(y)}} = \frac{1}{e^{ln(y)}} = \frac{1}{y}\)
Satz: Differenzierbarkeit und Ableitung der Funktion \(f(x) = ^{a}log(x)\)?
Die Funktion \(f(x) = ^alog(x) \; (a \in R^+/{1})\) ist für alle \(x \in R^+\) differenzierbar, und es gilt: \(f(x) = ^alog(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x\cdot ln(a)}\)
Beweis:
Aus \(f(x) = ^alog(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} = \frac{1}{ln(a)} \cdot ln(x)\)und \((ln(x))' = \frac{1}{x}\) folgt: \(f'(x) = \frac{1}{ln(a)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \cdot ln(a)}\)
