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Sprache Deutsch
Stufe Universität
Erstellt / Aktualisiert 04.06.2016 / 12.11.2016
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Definition Differezenquotient

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reele Funktion, \(a,b \in A\) und \(a \neq b\). Dann heißt \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) der Differenzenquotient oder die mittlere Änderungsrate von \(f\) in \([a;b]\).

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Definition: Geschwindigkeit im Zeitpunkt t

Sei \(s: t \mapsto s(t)\)ist eine Zeit-Weg-Funktion. Man nennt \(v(t) = \lim\limits_{z \rightarrow t}{\frac{s(z)-s(t)}{z-t}}\) die Geschwindigkeit im Zeitpunkt t.

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Definition: Differentialquotient

Sei f eine reelle Funktion. Der Grenzwert \(f'(x)=\lim\limits_{z\rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)heißt Differentialquotient von f an der Stelle x (Änderungsrate von f an der Stelle x).

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Definition: Tangente, Steigung der Funktion

Sei f eine reelle Funktion und f'(x) ihr Differentialquotient an der Stelle x. 
Die Gerade durch den Punkt X(x/f(x)) mit der Steigung f'(x) bezeichnet man als Tangente an den Graphen von f im Punkt X.
Die Steigung f'(x) dieser Tangente heißt auch Steigung der Funktion f an der Stelle x. 

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Satz: Ableitung einer konstanten Funktion + Herleitung

 

\(f(x) = c\)

\(f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c-c}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{0} = 0\)

\(f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0\)

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Satz: Potenzregel für natürliche Exponenten

\(f(x) = x \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z-x}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{1}= 1\)

\(f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) =\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^2 - x^2}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z-x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z+x) = 2x}\)

\(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^3 - x^3}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)(z^2+xz+x^2)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{(z^2+xz+x^2)} = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2\)

Allgemein gilt für \(f(x) = x^n\) mit \(n \geq 2:\)

\(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{z^n-x^n}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{(z-x)\cdot (z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}{z-x}}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow x}{(z^{n-1}+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+\dots+x^{n-1})}\)\(= x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\dots+x^{n-1} = n \cdot x^{n-1}\)

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Satz (Regel vom konstanten Faktor):

\((c\cdot f)'(x) = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(c\cdot f)(z) - (c \cdot f)(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{c\cdot f(z)-c \cdot f(x)}{z-x}} = \lim\limits_{z \rightarrow x}{c \cdot \frac{f(z)-f(x)}{z-x}}\)

Ist f eine reelle Funktion, und f' ihre Ableitungsfunktion, so gilt:

\((c \cdot f)' = c \cdot f' (c \in R)\)

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Satz (Summenregel) + Herleitung

Seien f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g'. Dann kann man auch die Ableitungsfunktion der Funktion \(f+g: x \rightarrow f(x) + g(x)\)bestimmen: 

\((f+g)'(x) = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{(f+g)(z)-(f+g)(x)}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{[f(z)+g(z)]-[f(x)+g(x)]}{z-x}} =\)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)+g(z)-g(x)}{z-x}} = \)\(\lim\limits_{z \rightarrow x}{[\frac{f(z)-f(x)}{z-x}+\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]}\)

Nähert sich z unbegrenzt der Zahl x, so strebt \(\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\) gegem f'(x) und \(\frac{g(z)-g(x)}{z-x}\) gegen g'(x). Folglich strebt der Ausdruck in der eckigen Klammer gegen f'(x)+g'(x).

Satz(Summenregel):

Sind f und g reelle Funktionen mit den Ableitungsfunktionen f' und g', so gilt: (f+g)' = f' + g'

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Definition (Monotonie):

 

Sei \(f: A \rightarrow R\)eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

f heißt streng monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \ll f(x_2)\)

f heißt streng monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\)gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \gg f(x_2)\)

f heißt monoton steigend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)

f heißt monoton fallend in M, wenn für alle \(x_1, x_2 \in M\) gilt: \(x_1 \ll x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)\)

 

 

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Satz von der Intervallmonotonie

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion, \(f': A \rightarrow R\) ihre Ableitung und \(I \subseteq A\) ein Intervall.

Gilt \(f'(x) \gg 0\) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton steigend in I.

Gilt \(f'(x) \ll 0 \) für alle inneren Stellen x von I, so ist f streng monoton fallend in I.

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Satz vom Ableitungsvorzeichen

Sei f eine Polynomfunktion und I ein Intervall. Besitzt f' keine Nullstelle in I, so gilt entweder f'(x) > 0 für alle \(x \in I\) oder f'(x) < 0 für alle \(x \in I\).

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Definition (Maximum- und Minimumstelle)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion und \(M \subseteq A\).

Die Stelle \(p \in M\) heißt Maximumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \leq f(p)\).
Die Stelle \(p \in M\) heißt Minimumstelle von f in M, falls für alle \(x \in M\) gilt: \(f(x) \geq f(p)\)

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Definition (lokale Extremstellen) mit Umgebung

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Maximumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \leq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

Eine Stelle \(p \in A\) heißt lokale Minimumstelle von f, wenn es eine Umgebung \(U(p) \subseteq A\) gibt, so dass \(f(x) \geq f(p)\) für alle \(x \in U(p)\).

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Satz (lokale Extremstellen) - Ableitung

Sei f eine Polynomfunktion. Dann gilt: 

Ist p eine lokale Extremstelle von f, so ist f'(p) = 0.

 

Beachte: Umkehrung gilt nicht ( f(x) = x^3, f'(0) = 0 aber keine Extremstelle) - Sattelpunkte

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Definition (Krümmung)

Sei \(f: A \rightarrow R\) eine reelle Funktion mit Ableitungsfunktion f', und \(I \subseteq A\) ein Intervall. 

Die Funktion f heißt in I linksgekrümmt, wenn f' in I streng monoton steigend ist. 
Die Funktion f heißt in I rechtsgekrümmt, wenn f' in I streng monoton fallend ist. 

Eine Stelle \(p \in A\) heißt Wendestelle von f, wenn sich an der Stelle p das Krümmungsverhalten von f ändert. Der Punkt (p|f(p)) heißt in diesem Fall Wendepunkt des Graphen von f.

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Satz (lokale Extremstellen / 2. Ableitung)

Sei \(f: I \rightarrow R\) eine reelle Funktion, I ein Intervall und peine innere Stelle von I. 

Dann gilt: 
Ist \(f'(p) = 0\) und \(f''(p) \ll 0\), so ist p eine lokale Maximumstelle von f.
Ist \(f'(p) = 0\) und \(f''(p) \gg 0\), so ist p eine lokale Minimumstelle von f.

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Definition (Grenzwert)

Sei \(f:A \rightarrow R\) eine reelle Funktion und p eine Häufigkeitsstelle* von A. Die Zahl q heißt Grenzwert von f an der Stelle p, wenn folgendes gilt: 

Zu jedem \(\epsilon \gg 0\) gibt es ein \(\delta \gg 0\), sodass für alle \(z \in A\) mit \(z \neq p\) und \(| z-p | \ll \delta\) gilt: \(|f(z)-q|\ll \epsilon\)

Man schreibt: \(\lim \limits_{z\rightarrow p}{f(z)=q}\)

------------------------------------------------------------

* Um vom Grenzwert einer reellen Funktion \(f: A \rightarrow B\) an der Stelle p sprechen zu können, verlangt man nicht, dass f an der Stelle p definiert ist. Wesentlich ist aber, dass man sich der Stelle p mit Werten \(z \in A\) unbegrenzt nähern kann, dh. dass in jeder Umgebung von p Elemente des Definitionsbereichs A liegen. Eine solche Stelle p nennt man eine Häufigkeitsstelle von A.

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Definition (Grenzwert) mit Umgebungsbegriff

Sei \(U(a; r) = \{x \in R: a-r \ll x \ll a+r \}\)die Umgebung von a mit dem Radius r.

Dann kann man die Grenzwertdefinition folgendermaßen definieren: 

Zu jeder Umgebung \(U(q;\epsilon)\) gibt es eine Umgebung \(U(p;\delta)\), sodass für alle \(z \in U(p;\delta)\)\\(\{p\}\) gilt: \(f(z) \in U(q;\epsilon)\)

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Definition (stetig)

Eine reelle Funktion \(f: A \rightarrow R\) heißt an der Stelle \(p \in A\) stetig, wenn \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{f(z)} = f(p)\) ist. 

Die Funktion f heißt stetig in der Menge \(M \subseteq A\), wenn f an allen Stellen \(p \in M\) stetig ist.

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Satz (Grenzwertregeln)

Seien \(f: A\rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) reelle Funktionen und p ein Häufigkeitspunkt von A. 

Ist \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{f(z)} = a\) und \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{g(z)} = b\), dann gilt: 

1) \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{[f(z) + g(z)]} = a +b\)

2) \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{[f(z) - g(z)]} = a -b\)

3) \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{[f(z) \cdot g(z)]} = a \cdot b\)

4) \(\lim \limits_{z \rightarrow p}{\frac{f(z)}{g(z)}} = \frac{a}{b}\) (wobei \(b \neq 0\) und \(g(z) \neq 0\;\;\forall z \in A\))

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Satz (Stetigkeitsregeln)

Jede Polynomfunktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. 
Jede rationale Funktion ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. 

Seien \(f:A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) reelle Funktionen und \(p \in A\).
Sind f und g an der Stelle p stetig, so sind auch die Funktionen f+g, f-g, f*g und f/g (sofern existent) an der Stelle p stetig.

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Definition (Differenzierbarkeit)

 

Eine reelle Funktion \(f: A \rightarrow R\) heißt an der Stelle \(p \in A\) differenzierbar, wenn \(\lim \limits_{z\rightarrow p}{\frac{f(z)-f(p)}{z-p}}\) existiert.

Ist das der Fall, so nennt man \(f'(p) = \lim \limits_{z\rightarrow p}{\frac{f(z)-f(p)}{z-p}}\) den Differentialquotienten (die Änderungsrate, die Ableitung) von f an der Stelle p.

Ist eine Funktion f an jeder Stelle ihres Definitionsbereich differenzierbar, so nennt man f eine differenzierbare Funktion.

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Satz (Differenzierbarkeitsregeln)

1) Jede konstante Funktion \(f:R \rightarrow R, x \rightarrow c\), ist an jeder Stelle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt: \(f'(x) = 0\).

2) Jede Potenzfunktion \(f:R \rightarrow R, x \rightarrow x^n \; (n\in N^*)\), ist an jeder Stelle \(x \in R\) differenzierbar, und es gilt: \(n \cdot x^{n-1}\).

3) Ist  \(f:A \rightarrow R\) an jeder Stelle \(x\) differenzierbar und \(c \in R\), so ist auch \(c \cdot f: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: \((c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x)\).

4) Ist  \(f:A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an jeder Stelle \(x\) differenzierbar und \(c \in R\), so ist auch \(f + g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: \((f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)\).

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Satz (differenzierbar,stetig) + Beweis

Ist eine Funktion f an einer Stelle p differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig.

Bew: 

Für alle z aus dem Definitionsbereich von f mit \(z \neq p\) gilt: \(f(z) = f(p) + \frac{f(z)-f(p)}{z-p}\cdot (z-p)\).
Aufgrund der Grenzwertregeln folgt daraus:

\(\lim \limits_{z \rightarrow p}{f(z)} = \lim \limits_{z \rightarrow p}{[f(p) + \frac{f(z)-f(p)}{z-p}\cdot (z-p)]}\)\(= \lim \limits_{z \rightarrow p}{f(p)} + \lim \limits_{z \rightarrow p}{ \frac{f(z)-f(p)}{z-p}} \cdot \lim \limits_{z \rightarrow p}{(z-p)}\) \(= f(p) + f'(p) \cdot 0 = f(p)\)

Somit ist f stetig an der Stelle p.

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Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Aus der Stetigkeit folgt im Allemeinen nicht die Stetigkeit: So ist, z.B., die Funktion \(x \mapsto |x|\) an der Stelle 0 stetig, jedoch nicht differenzierbar.

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Satz (Quotientenregel) + Beweis

Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, und ist \(g(x) \neq 0\) so ist auch die Funktion f/g an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: 

\((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\)

 

\(\frac{\frac{f}{g}(z)-\frac{f}{g}(x)}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)}{g(z)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{g(z)g(x)}}{z-x}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{f(z)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(z)}{(z-x)g(z)g(x)}\)\(=\frac{1}{g(z)g(x)}\cdot[g(x)\frac{f(z)-f(x)}{z-x}-f(x)\frac{g(z)-g(x)}{z-x}]\)

Da g an der Stelle x stetig ist, gilt: \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{1}{g(z)g(x)}} = \frac{1}{(g(x))^2}\)

Da f und g an der Stelle x differenzierbar sind, gilt: 

\(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{f(z)-f(x)}{z-x}} = f'(x)\) und \(\lim \limits_{z \rightarrow x}{\frac{g(z)-g(x)}{z-x}} = g'(x)\)

Anwenden der Grenzwertsätze ergibt daher: \((\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\) 

 

 

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Satz (Potenzregel für ganzzahlige Exponenten)

Ist \(n \in Z\) und \(x \neq 0\), so gilt: \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

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Satz (Produktregel)

Sind die Funktionen \(f: A \rightarrow R\) und \(g: A \rightarrow R\) an der Stelle x differenzierbar, so ist auch die Funktion \(f \cdot g\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt: 

\((f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x)\)

 

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Beweis wie Quotientenregel

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Definition (Verkettung von Funktionen)

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Dann heißt die Funktion \(h: A \rightarrow R\) mit \(h(x) = g(f(x))\) die Verkettung von f und g. Man bezeichnet diese Funktion h mit \(g \circ f\).

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Satz (Kettenregel)

Seien \(f: A \rightarrow R\) und \(g: B \rightarrow R\) Funktionen, wobei \(f(x) \in B\) für alle \(x \in A\).
Ist f an der Stelle x und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist auch \(g \circ f\) an der Stelle x differenzierbar, und es gilt:

\((g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)\)

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Satz über Stetigkeit der Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) + Beweis

Die Funktion \(f: R^+_0 \rightarrow R, x \mapsto \sqrt{x}\) ist stetig in \(R^+_0\)

Bew:

Sei \(\epsilon \gg 0\) und \(x_0 \neq 0\). Wähle \(\delta = \epsilon \cdot \sqrt{x_0}\).

Dann ist \(| \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = | \sqrt{x} - \sqrt{x_0}| \cdot \frac{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|}\)\(= | x - x_0| \cdot \frac{1}{| \sqrt{x} + \sqrt{x_0}|} \ll | x - x_0| \cdot \frac{1}{\sqrt{x_0}}\)\(\ll \frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\ll \epsilon\)

für alle \(x \in R^+_0\) mit \(|x| \ll \delta\).