Sätze, Theoreme, Lemma usw.

Es handelt sich um Sätze, Lemmata usw. der Linearen Algebra 2

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S. K.

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S. K.

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Diese Lernkarten behandeln fortgeschrittene mathematische Konzepte auf Universitätsniveau, insbesondere Sätze, Theoreme und Lemmata im Bereich der linearen Algebra. Sie konzentrieren sich auf Themen wie unitäre und orthogonale Abbildungen, Eigenwerte, Eigenvektoren, sowie die Diagonalisierbarkeit von Matrizen. Die Karteikarten sind besonders nützlich für Studierende der Mathematik, die sich mit abstrakten algebraischen Strukturen und deren Anwendungen auseinandersetzen, da sie grundlegende und fortgeschrittene Konzepte der linearen Algebra vertiefen.

Flashcards

Students

Language

German

Category

Maths

Level

University

Created / Updated

03.05.2016 / 28.07.2016

Similar cards

\(\text{Was gilt wenn }\pi\text{ eine orthogonale Projektion ist}\)

\(1)\ ker(\pi)=im(id-\pi)=(im(\pi))^\perp\\ 2)\ im(\pi)=ker(id-\pi)=(ker(\pi))^\perp\\ 3)\ V=ker(\pi)\oplus im(\pi)\)

\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\)

\(1)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 2)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n \)

\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\\)

\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)

\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\\)

\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)

\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\\)

\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 4)\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n \)

\(\mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ ONB\\ F\in End_K(V)\ und\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})\\ \text{Was ist äquivalent zu:}\\ \text{Die Zeilenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\)

\(1)\ \text{F ist orthogonal (unitär)}\\ 2)\ A^T\cdot\overset{(-)}{A}=E_n\\ 3)\ A\cdot\overset{(-)}{A^T}=E_n\\ 4)\ \text{Die Spaltenvektoren von A bilden eine ONB von }K^n\\\)

Was ist äquivalent zu:

F ist unitär

\(\text{Es gibt eine ONB } \mathscr{A}\text{ aus Eigenvektoren von F }\\ \text{und alle EW haben Betrag 1. Also:}\\ \mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n)\ und\ F(v_j)=\lambda_j\cdot v_j\ mit \ |\lambda_j|=1\ und\ :\\ A=M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} \lambda_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\)

\(\text{Wie kann eine Matrix }A\in O(2)\text{ dargestellt werden}\)

\(Falls\ det(A)=1:\\ A= \begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}\\ Falls\ det(A)=-1\\ A= \begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix}\)

Was ist äquivalent zu:

F orthogonoal

\(\text{Es gibt ONB }\mathscr{A}\text{ von V, sodass:}\\ M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} 1&&&&&&&&&&&0\\ &\ddots\\ &&1\\ &&&-1\\ &&&&\ddots\\ &&&&&-1\\ &&&&&&\cos\alpha_1&-\sin\alpha_1\\ &&&&&&\sin\alpha_1&\cos\alpha_1\\ &&&&&&&&\ddots\\ &&&&&&&&&\cos\alpha_r&-\sin\alpha_r\\ 0&&&&&&&&&\sin\alpha_r&\cos\alpha_r \end{pmatrix}\\ bzw:\\ M(\mathscr{A},F,\mathscr{A})= \begin{pmatrix} E_{n_+}\\ &E_{n_-}\\ &&A_1\\ &&&\ddots\\ &&&&A_r \end{pmatrix} \ mit:\ A_j= \begin{pmatrix} \cos\alpha_j&-\sin\alpha_j\\ \sin\alpha_j&\cos\alpha_j \end{pmatrix}\)

Was ist äquivalent zu:

F ist selbstadjungiert

F ist unitär diagonalisierbar und alle EW von F sind reell

\(K=\mathbb{R}\ oder\ K=\mathbb{C}\\ s:V\times V\to K\\ \text{Wann genau ist s positiv definit}\\ \text{und welche Voraussetzungen müssen gegeben sein}\)

\(\text{s muss symmetrische bilinearform oder hermitesche sesquilinearform sein}\\ \text{Dann gilt:}\\ \text{s ist positiv definit genau wenn:}\\ \text{Die Eigenwerte von }F_B\in End_K (K^n)\text{alle positiv sind}\\ \text{wobei die Abbildung durch die darstellende Matrix B von s charakerisiert ist} \)

Was besagt das Hurwitz-Kriterium

\(\text{Wenn die Matrix A symmetrisch bzw. hermitesch ist, dann gilt:}\\ \text{A ist positiv definit genau wenn:}\\ \forall l\in \{1,\ldots,n\}:det(A_l)\text{>}0\\ wobei\ A_l\ eine "Untermatrix"\ ist \ der\ größe\ l\)

Was besagt die Hauptachsentransformation

\(Wenn:\ s:V\times V\to K\\ \text{symmetrische Bilinearform oder hermitsche Sesquiliniearform}\\ Dann\ gilt:\\ \text{Für jede Basis }\mathscr{B}=(w_1,\ldots,w_n)\text{ existiert eine Basis}\\ \mathscr{A}=(v_1,\ldots,v_n),\ sodass:\\ S=M(\mathscr{B},\mathscr{A})\in O(n)\ bzw.\ U(n)\\ \text{und die darstellende Matrix von s bzgl. }\mathscr{A}\\ \text{hat die Gestalt:} \begin{pmatrix} \lambda_1&&0\\ &\ddots\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\)

Was besagt der Sylvesterscher Trägheitssatz

\(K=\mathbb{R}\ oder\ K=\mathbb{C}\ s:V\times V\\ \text{symmetrische Bilinearform oder hermitesch sesquilinearform}\\ \text{Dann existiert eine Basis }\mathscr{C}\text{ von V}\\ \text{sodass die darstellende Matrix von s bezg. }\mathscr{C}\\ \text{sylvester Normalform hat, also:}\\ \begin{pmatrix} 1&&0&&&&&&0\\ &\ddots&&&\\ 0&&1&&&&&\\ &&&-1&&0\\ &&&&\ddots\\ &&&0&&-1\\ &&&&&&0&&0\\ &&&&&&&\ddots\\ 0&&&&&&0&&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c|} E_{k_+}&0&0\\ \hline 0&E_{k_-}&0\\ \hline 0&0&0 \end{array} \end{pmatrix}\)

\(F,G\in End_K(V)\\ F\circ G=G\circ F\\ \text{Was kann über }F(Eig_{\mu}(G))\text{ gesagt werden}\\ \text{Was kann zusätzlich gesagt werden wenn}\\ \text{F und G diagonalisierbar sind}\\ \text{Was muss für den VR gelten in beiden Fällen}\\ \text{Was gilt falls K algebraisch abgeschlossen}\)

\(1)\ F(Eig_\mu (G))\subset Eig_\mu (G)\\ 2)\ \text{Sie sind simultan Diagonalisierbar, d.h:}\\ \text{ Es gibt Basis }(v_1,\ldots,v_n)\ mit:\\ F(v_j)=\lambda_jv_j\ und\ G(v_j)=\mu_jv_j\\ 3)\text{ Im ersten Fall muss V lediglich ein K-VR sein}\\ \text{Im zweiten Fall muss er endlichdimensional sein}\\ 4)\text{dann gibt es einen simultanen EV, also:}\\ F(y)=\lambda y\ und\ G(y)=\mu y\)

Was besagt der Spektralsatz

\(\text{V ein untärer }\mathbb{C}-VR\\ F\in End_\mathbb{C}(V)\ Dann\ gilt:\\ 1)\text{ F ist normal genau wenn}\\ \text{F unitär diagonalisierbar ist}\\ 2)\ \lambda_j\text{ sind paarweise verschiedene EW von F}\\ \text{Dann sind }\overline{\lambda_j}\text{ die paarweise}\\ \text{verschiedenen EW von }F^{ad}\ und:\\ Eig_{\lambda_j}(F)=Eig_{\overline{\lambda_j}}(F^{ad})\)

Was sind äquivalente Aussagen zu:

F ist unitär diagonalisierbar?

1) F ist normal

2) F ist selbstadjungiert

3) F ist unitär

Was ist äquivalent zu F ist normal in bezug auf Diagonalisieren

F ist unitär diagonalisierbar und alle EW sind reell

Was ist äquivalent zu F ist selbstadjungiert in bezug auf Diagonalisieren

F ist unitär diagonalisierbar und alle EW sind reell

Was ist äquivalent zu ist unitär in bezug auf Diagonalisieren

F ist unitär diagonalisierbar und alle EW haben Betrag eins

\(\text{Es sei } n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und }det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante und } A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann wenn:}\\ \text{1) }det(\lambda A)\\ \text{2) Falls in A ein Spaltenvektor der Nullvektor ist}\\ \text{3) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Vertauschen }\\ \text{zweier Spaltenvektoren also: }\tilde{A}=A\cdot P_{ij}\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\ \text{4) Wenn }\tilde{A}\text{ aus A entsteht durch Addition des}\\ \lambda -Fachen \text{ der j-ten Spalte zur i-ten Spalte also: } \\\tilde{A}=A\cdot Q_{ij}(\lambda)\\ \text{was gilt dann für }det(\tilde{A})\\\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(\text{1) }det(\lambda\cdot A)=\lambda^n\cdot det(A), \forall A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{2) Dann ist } det(A)=0\\ \text{3) } det(\tilde{A})=-det(A)\\ \text{4) }det(\tilde{A})=det(A)\)

\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\text{ und } det:Mat_\mathbb{K}(n\times n)\to\mathbb{K}\\ \text{eine Determinante}\\ \text{1) Falls }\sigma\in S_n \text{ und }A=\Big(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)}\Big)\\ \text{mit der Standardbasis }(e_1,\dots ,e_n) \\ \text{was gilt dann für det(A)}\\ \text{2) Falls }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\text{eine obere Dreiecksmatix ist}\\ \text{d.h wenn gilt:}\\ A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & &* \\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_n \end{pmatrix}\\ \text{was gilt dann für det(A)\\ }\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(\text{1) }det(A)=sgn(\sigma)\\ \text{2) }det(A) =\lambda_1\cdot \ldots \cdot \lambda_n\)

\(\text{Wie lässt sich die Determinante einer Matrix berechnen?}\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A)=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)\cdot a_{\sigma(1),1}\cdot\ldots\cdot a_{\sigma(n),n}\)

\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was gilt dann für:}\\ det(A^T)\\ \)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A^T)=det(A)\)

\(\text{Sei }n\in\mathbb{N}\backslash\{0\} \text{ und }A\in Mat_\mathbb{K}(n\times n)\\ \text{was ist äquivalent zu:}\\ \text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig}\\ \text{2) A ist invertierbar}\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(\text{1) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig} \Leftrightarrow \\ det(A)=0\\ \text{2) A ist invertierbar}\Leftrightarrow\\ det(A)\neq 0\)

Wenn die Spaltenvektoren einer Matrix l.u. sind was gilt dann für die Determinante

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A)=0\)

Wenn die Matrix A invertierbar ist was gilt dann für die Determinante

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A)\neq0\)

\(\text{Was ergibt }det(A\cdot B)\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)\)

\(\text{Was ergibt: }det(A^{-1})\text{ (falls A invertierbar ist)}\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(det(A^{-1})=[det(A)]^{-1}\)

\(Wenn \ A=(a_{ij})=(a_1,\ldots,a_n)\\ \text{Wie ist }A_{ij}\text{ definiert}\\ \text{und wie die Streichmatrix }A_{ij}'\)

Keyboard commands:

= turn,

= for-/backward,

= scroll

\(A_{ij}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&1&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\\ \text{Die Matrix entsteht also aus A indem, die j-te Spalte, also }a_j\\ \text{durch }e_j\text{ ersetzt wid und die i-te Zeile durch }e_i^T\\ \text{Bzw. indem j-te und i-te Zeile durch 0 ersetzen und}\\ \text{an der Stelle (ij) eine 1}\\ A_{ij}'= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}\\ \text{Diese Matrix entsteht durch streichen der j-ten Spalte und i-ten Zeile}\)

\(\text{Wie kann }\\ 1)\ det(a_1,\ldots,a_{j-1},e_i,a_{j+1},\ldots,a_n)\\ 2)\ det(A_{ij})\\ \text{berechnet werden}\\ \)

\(1)\ det(a_1,\ldots,a_{j-1},e_i,a_{j+1},\ldots,a_n)=(-1)^{i+j}det(A_{ij}')\\ 2)\ det(A_{ij})=(-1)^{i+j}det(A_{ij}')\\\)

\(\text{Wenn A eine Matrix und }\tilde{A}\text{ die zu A komplementäre Matrix}\\ \text{Was ergibt: } A\cdot\tilde{A}\)

\(A\cdot\tilde{A}=\tilde{A}\cdot A=det(A)\cdot E_n\\\ mit\ A\in Mat_K(n\times n)\)

\(\text{Wenn A invertierbar ist, wie lassen sich die Einträge berechenen mit:}\\ A^{-1}=(\alpha_{ij})\)

\(\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\frac{det(A_{ji}')}{det(A)}\)

\(x,b\in K^n\\ \text{Wie lässt sich folgenden Gleichungssystem}\\ \text{mit der Cramer'schen Regel lösen:}\\ Ax=b\)

\(x_j=\frac{det(a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n)}{detA}\\ \text{MaW: Man setzt in der Matrix a an die j-te Spalte den Ergebnisvektor b}\)

Ist die Determinante der Darstellenden Matrix einer Abbildung bezüglich einer Basis,

also M(A,F,A), unabhängig von der Wahl der Basis?

\(\text{Ja weil folgendes gilt:}\\ det(M(\mathscr{A},F,\mathscr{A}))=det(M(\mathscr{B},F,\mathscr{B}))\)

\(\text{Wie kann folgende Komposition berechnet werden:}\\ det(F\circ G)\)

\(det(F\circ G)=det(F)\cdot det(G)\)

Was für Aussagen gelten für Eigenräume

\(1)\ Eig_{\lambda}(F)\subset V\ ist \ UVR\\ 2)\ Eig_{\lambda}(F)\backslash\{0\}=\{\text{EV von F zum EW }\lambda\}\\ 3)\ Eig_{\lambda}(F)\backslash\{0\}\neq \emptyset\Leftrightarrow \lambda\text{ ist EW von F}\\ 4)\ Eig_{\lambda}(F)=ker(F-\lambda id)\\ 5)\ Falls\ \lambda_1\neq\lambda_2:\ Eig_{\lambda_1}(F)\cap\ Eig_{\lambda_2}(F)=\{0\}\)

\(\text{Was gilt wenn }v_1,\ldots,v_r\text{ EV von F zu paarweise}\\ \text{verschiedenen EW sind}\)

\((v_1,\ldots,v_r)\text{ bildet eine linear unabhängige Familie}\)

Welche Eigenschaften treffen auf das Charakteristische Polynom zu?

1) Es ist eindeutig bestimmt

2) Die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte

Was gilt wenn die Eigewerte von F paarweise verschieden sind?

Dann ist F diagonalisierbar

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Flashcards

\(K=\mathbb{R}\ oder\ K=\mathbb{C}\\ s:V\times V\to K\\ \text{Wann genau ist s positiv definit}\\ \text{und welche Voraussetzungen müssen gegeben sein}\)