Physik Step 27 (neu)

Eine „gestreckte“ Kreisbahn mit zwei Brennpunkten; die Sonne steht nicht im Mittelpunkt, sondern in einem der beiden Brennpunkte. Die Planetenbahnen sind nur wenig gestreckt, fast Kreise.

Perihel: der sonnennächste Punkt der Bahn; Aphel: der sonnenfernste Punkt. Beide liegen auf der langen Achse der Ellipse, auf gegenüberliegenden Seiten.

Im Perihel Anfang Januar (≈ 147 Mio. km von der Sonne), im Aphel Anfang Juli (≈ 152 Mio. km) – die Jahreszeiten entstehen also nicht durch den Abstand, sondern durch die Neigung der Erdachse.

Die Verbindungslinie Sonne–Planet (der „Fahrstrahl“) überstreicht in gleichen Zeiten gleich grosse Flächen.

Nahe der Sonne (kurzer Fahrstrahl) muss der Planet in derselben Zeit einen längeren Bogen zurücklegen – er ist dort schneller; weit weg von der Sonne ist er langsamer.

Am grössten im Perihel (sonnennächster Punkt), am kleinsten im Aphel (sonnenfernster Punkt).

Die Gravitationskraft der Sonne hat auf diesem Bahnstück eine Komponente in Bewegungsrichtung und beschleunigt den Planeten; auf dem Weg zum Aphel bremst sie ihn.

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der grossen Halbachsen (mittleren Bahnradien) ihrer Bahnen.

T₁² / T₂² = a₁³ / a₂³ bzw. T² / a³ = konstant – für alle Körper, die denselben Zentralkörper umkreisen (T = Umlaufzeit, a = grosse Halbachse oder mittlerer Bahnradius).

Je grösser der mittlere Abstand zur Sonne, desto länger die Umlaufzeit – und zwar überproportional: 4-facher Abstand bedeutet 8-fache Umlaufzeit (4³ = 64 = 8²).

Nein. Die Konstante T²/a³ gilt nur für Körper um denselben Zentralkörper – Planeten um die Sonne oder Monde um die Erde, nicht gemischt.

T_M² / T_E² = a_M³ / a_E³ ⇒ T_M = T_E ⋅ √(1,52³) = 1 Jahr ⋅ √3,51 ≈ 1,9 Jahre

T_J = 1 Jahr ⋅ √(5,20³) = 1 Jahr ⋅ √140,6 ≈ 11,9 Jahre

a³ = T² ⋅ (1 AE)³ / (1 Jahr)² = 64 AE³ ⇒ a = ∛64 AE = 4,0 AE

T² / r³ = 4π² / (G ⋅ M) – sie hängt nur von der Masse M des Zentralkörpers ab; damit lässt sich aus T und r eines Satelliten die Masse des Zentralkörpers bestimmen.

Die Gravitationskraft der Sonne ist die Zentripetalkraft des Planeten (Kreisbahn als Näherung): G ⋅ M ⋅ m / r² = m ⋅ v² / r

Die Bahngeschwindigkeit ist Umfang durch Umlaufzeit: v = 2π ⋅ r / T, also v² = 4π² ⋅ r² / T²; einsetzen: G ⋅ M ⋅ m / r² = m ⋅ 4π² ⋅ r / T²

Durch m teilen, mit r² und T² multiplizieren: G ⋅ M ⋅ T² = 4π² ⋅ r³ ⇒ T² / r³ = 4π² / (G ⋅ M) – rechts stehen nur Konstanten, also ist T²/r³ für alle Planeten gleich.

Sie steht in der Gravitationskraft und in der Zentripetalkraft als Faktor und kürzt sich heraus – schwere und leichte Planeten mit gleichem Bahnradius hätten dieselbe Umlaufzeit.

Kepler (1571–1630) fand die drei Gesetze empirisch aus Beobachtungsdaten (Tycho Brahe) – sie beschreiben die Bahnen. Newton (1643–1727) erklärte sie mit dem Gravitationsgesetz und konnte das dritte Gesetz herleiten.

Ja, für jeden Körper, der einen viel schwereren Zentralkörper umkreist; die Konstante im dritten Gesetz ist dann 4π² / (G ⋅ M) mit der Masse M des jeweiligen Zentralkörpers.