Numerik 2
Definitionen, wichtige Lemmata und Sätze aus meiner Numerik 2 Vorlesung an der Universität Göttingen SoSe 2014
Definitionen, wichtige Lemmata und Sätze aus meiner Numerik 2 Vorlesung an der Universität Göttingen SoSe 2014
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Lernkarten
Definition: Haarscher Raum
U heißt Haarscher Raum, falls U ein UVR von C[a,b] mit dim U = n und jedes Element u aus U, u != 0 hat in [a,b] höchstens n-1 verschiedene Nullstellen
Definition: Tschebyscheff-System
Eine Basis {u1, ..., un} eines Haarschen Raumes heißt Tschebyscheff-System
Beispiele für Tschebyscheff-Systeme:
- Die Monome {1, x, ..., xn} auf jedem Intervall [a,b] aus den Reellen Zahlen
- {1, ex, ..., enx} auf jedem Intervall [a,b] aus den Reellen Zahlen
- {1, sin x, cos x, ..., sin nx, cos nx} auf jedem rellen halboffenen Intervall der Länge 2pi
Definition: Lagrange-Grundpolynome
Zu n+1 paarweise verschiedenen Knotenpunkten heißen
lj(x) = (Produkt von k=0 bis n, k != j) (x - xk) / (xj - xk) für j = 0, ..., n
die zu diesen Knoten gehörenden Lagrange-Grundpolynome
Rekursionsformel für Interpolation an einer Stelle (Neville- bzw. Aitken-Algorithmus)
Es gilt die Rekursionsformel:
- pk(x) = yk für k = 0, ..., n
- pk_0, ..., k_r(x) = [(x - xk_0) * pk_1, ..., k_r(x) - (x - xk_r) * pk_0, ..., k_r-1(x)] / (xk_r - xk_0)
Auswertungsalgorithmen:
Neville: Dreiecksschema ohne Übeschneidungen
Aitken: Dreiecksschema mit Überschneidungen
Beispiel (Auswertung mit Neville Algorithmus):
Gegeben: xk 0 1 3
yk 1 3 2
Gesucht: Funktionswert an x = 2
x0 = 0 p0(2) = 1
x1 = 1 p1(2) = 3 p01(2) = 5
x2 = 3 p2(2) = 2 p12(2) = 5/2 p012(2) = 10/3
Definition: Newton-Grundpolynome (Rekursiv und Explizit)
Rekursiv:
1. u0(x) = 1
2. uj(x) = (x - xj-1) * uj-1(x) für j = 1, ..., n
Explizit:
uj(x) = (Produkt von k = 0 bis j-1) (x - xk) für j = 1, ..., n
Definition: Dividierte Differenz j-ter Ordnung
Leitkoeffizient der höchsten Potenz xj eines Interpolationspolynoms pj zu den Stützstellen x0, ..., xj und pj(xk) = yk für k = 1, ..., n
Schreibweise: [y0, ..., yn]
Rekursionsformel: Dividierte Differenz
[y0, ..., yk] lässt sich rekursiv bestimmen durch:
[yi] = yi
[yi, ..., yi+r] = ([yi+1, ..., yi+r] - [yi, ..., yi+r-1]) / (xi+r - xi)
Darstellung des Interpolationspolynoms durch dividierte Differenzen
pn(x) = [y0] + [y0,y1] * (x - x0) + ... + [y0, ..., yn] * (x - x0) ... (x - xn-1)
Hornerschema:
pn(x) = [y0] + (x - x0) * ([y0,y1] + (x - x1) * ([y0,y1,y2] + ... + (x - xn-1) * [y0, ..., yn]) ... ))
Rekursive Definition: Vorwärtsdifferenzen
Dryk = ??
(Hier steht D für ein großes Delta)
D0yk = yk
Dryk = Dr-1yk+1 - Dr-1yk
Darstellung Dividierter Differenzen durch Vorwärtsdifferenzen (inkl. Voraussetzung)
Voraussetzung: Stützstellen äquidistant, d.h. xk = x0 + kh, k = 0, ..., n mit h > 0
Dann gilt:
[yk, ..., yk+r] = Dryk / (hr * r!)
Leibnizregel für Dividierte Differenzen
Ist f = g*h das Produkt zweier Funktionen, so gilt zu der Knotenfolge x0 < ... < xn für die dividierte Differenz
f[x0, ..., xn] = (Summe von i = 0 bis n) g[x0, ..., xi] * h[xi, ..., xn]
Integraldarstellung der dividierten Differenzen
f aus Cn[x0,xn] hat zu den Knoten x0 < ... < xn die Integraldarstellung
f[x0,...,xn] = (Integral von x0 bis xn) f(n)(t)*Gn-1(t) dt
mit dem Peano-Kern Gn-1(t)
Definition: Peano-Kern Gn-1(t)
Gn-1(t) = (Summe von k=0 bis n) wk * ( (xk - t)+n-1) / (n-1)!
wobei wk = (Produkt von (m = 0, m != k) bis n) 1 / (xk - xm) und x+n die abgeschnittene Potenz ist (Nur für x >= 0 als xn, für x < 0 gilt =0)
