Modellbildung und Simulation fluidtechnischer Systeme und Komponeten

Ein Differentialgleichungssystem ist im Allgemeinen nicht analytisch lösbar. Mit Hilfe von numerischen Integrationsverfahren kann jedoch eine schrittweise Berechnung der Lösung erfolgen.

- Lösungen von unterschiedlich feinen Netzen werden verglichen
- erst wenn Lösung sich nicht mehr ändert ist Netz ausreichend fein

• Lösungsgebiet unterteilt in finite Anzahl an nicht überlappender Kontrollvolumina (KVs)
• Erhaltungsgleichungen auf jedes KV angewendet
• Variablen werden im Rechenknoten (Schwerpunkt des KV) berechnet
• Bilanzierung der Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie) erfolgt durch Integration über KV  \(\rightarrow\) Integralform der Erhaltungsgleichungen
• häufig bei kompressiblen Strömungen angewendet (robust und sehr genau bei Unstetigkeiten)

Die Ölkompressibilität wird mit Hilfe des Kompressionsmoduls \(K'_{Öl}\) beschrieben.

\(\rho = {\rho_0 \over {1-{p-p_o\over K'_{Öl}}}}\)

• Direkte numerische Simulation (DNS)
• Large Eddy Simulation (LES)
• Statistische Methode

• stationär: 
  - Lösung der instationären Erhaltungsgleichungen bei zeitlich konstanten Randbedingungen bis stationäerer Zustand des Strömungsfeldes erreicht
  - Zeitliche Entwicklung des Strömungsfeldes spielt keine Rolle
• instationär:
  - Berehcnung der zeitlichen Entwicklung des Strömungsfeldes
  - zu jedem Zeitschritt erfolgt eine komplette Berechnung des Strömungsfeldes ("innere Interationen")
  - Diskretisierung der Zeit als "vierte Koordinate" (x,y,z,t)
  - die Zeitdiskretisierung und die numerische Berechnung der zeitlichen Entwicklung ("äußere Iterationen") erfolgt mit ähnlichen Verfahren wie bei gewöhnlichen DGL (Euler, Runge Kutta, Prädiktor-Korrektur...)

siehe Bild

• explizit: Der gesuchte Wert x_i+1 wird nicht zur Berechnung des Näherungswertes x_i+1 benötigt
  Einschrittverfahren: Eulersche Methode, Heunsche Methode, Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
• implizit: Der gesuchte Wert x_i+1 ist auf beiden Seiten der Gleichung enthalten (gute Stabilitätseigenschaften, erhöhter Rechenaufwand)
  Einschrittverfahren: Trapezmethode

• Lösungsgebiet unterteilt in finite Anzahl an nicht überlappender Kontrollvolumina (KVs)
• Erhaltungsgleichungen auf jedes KV angewendet
• Variablen werden im Rechenknoten (Schwerpunkt des KV) berechnet
• Bilanzierung der Erhaltungsgrößen (Masse, Impuls, Energie) erfolgt durch Integration über KV  \(\rightarrow\) Integralform der Erhaltungsgleichungen
• häufig bei kompressiblen Strömungen angewendet (robust und sehr genau bei Unstetigkeiten)

- durch Vektor-Matrix-Darstellung besonders für Simulationen am Digitalrecher geeignet

• Differentialgleichungen (gewöhnlich, partiell)
• algebraische Gleichungen

Drossel: laminare Strömung \(\Delta p \sim Q\)

Blende: turbulente Strömung \(\Delta p \sim Q^2\)

technische Widerstände: laminar-turbulente Strömung (gemischter Ansatz) \(\Delta p \sim Q+Q^2\)

Differentialform:

Fluid strömt durch ein infinitesimal kleines Volumenelement, Erhaltungsgleichung in Differentialform, Diskretisierung als Finite-Differenzen-Verfahren (FD)
Vorteile: mathematisch anschaulicher, da keine Integrale auftauchen
Nachteile: physikalisch unanschaulicher, da Volumen gegen Null geht
 

Integralform: Fluid strömt durch ein endliches Kontrollvolumen V, Erhaltungsgleichung in Integralform, Diskretisierung als Finite-Volumen-Verfahren (FV)
Vorteile: physikalisch anschaulicher: zeitliche Änderung der Strömungsgröße im Inneren des Kontrollvolumens V entspricht der Änderung der Flüsse durch die Kontrolloberfläche A; ist bei unstetigen Verläufen wie bei Verdichtungsstößen genauer
Nachteile: mathematisch komplexer, da Integrale auftauchen

• Masseeinfluss eines bewegten (strömenden) Ölvolumens
• Maß für erforderliche Druckdifferenz, die zur zeitlichen Änderung eines Volumenstroms erforderlich ist
• über hydraulische Induktivität \(L_h={\rho l \over A}\) erfolgt die Berechnung der Flussvariable Q aus der Differenzvariable \(\Delta p\)

\(\dot{Q}={1 \over L_h} \Delta p\) 

• \(c_{p,0}= {\kappa \over {\kappa-1}}*R_S\)ist spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
• \(c_{V,0}=R_S*({\kappa \over {\kappa -1}}-1)\)ist spezifische Wärmekapzität bei konstantem Volumen
• verknüpft über Isentropenkoeffizient \(\kappa={c_p \over c_V}\)

Knoten: Verbindungsstelle, an der alle Pontenzialvariablen gleichgesetzt und die Summe aller Flussvariablen zu Null adidiert (bilanziert) werden. =Anwendung der Kirchhoff'schen Gesetze (z.B. Mechanik: SummeF=0=

Element: repräsentieren physikalische Gesetzmäßigkeiten; werden durch Gleichungen beschrieben, die die mathematischen Beziehungen zwischen den definierten Variablen der Ports und blockinterner Variablen (Zustands-, Hilfgrößen) abbilden. D.h. Elemente definieren Beziehungen zw. Fluss- und Differenzvariablen (z.B.: mechanische Feder:: F=k*deltax)

 - um das Verhalten der Strömung in Wandnähe besser zu erfassen, da dort die turbulenten Schwankungsbewegungen behindert werden und sich die viskosen Einflüsse nicht mehr vernachlässigen lassen

• zwischen Blöcken: gerichteter Signalfluss (kausale Modellierung)
• Block repräsentiert mathematische Funktion, die auf das Eingangssignal angewendet wird
• Blöcke sind rückwirkungsfrei (Rückwirkungen extra durch Verknüpfung der Signale)
• Signal werden ohne physikalische Interpreation verwendet → Verknüpfung von Signalen unterschiedlicher Herkunt möglich
• Häufige Anwendung für regelungstechnische Frgestellungen

siehe Bild

- mehr Unbekannte als Gleichungen

Blockorientierte Modellierung:

• mit Signalflüssen (signalorientierte Modellierung)
• mit Energieflüssen (physikalisch orientierte Modellierung)

Textorientierte Modellierung:

• Herkömmliche Programmiersprachen (Fortran, Pascal, C, C++)
• Simulationssprachen (CSSL-Sprachen: ASCL, objektorientierte Sprachen: Modelica)

Ortskurve: Frequenzgang über Frequenz

Wurzelortskurve: Verlauf der Polstellen in der komplexen Zahlenebene

siehe Bild

white Box: theoretisch; physikalische Gesetzt (algebraische und Differentialgleichungen)

black Box: experimentell (Identifikation); Eingangs-/Ausgangsverhalten (Kennlinien, -feld, Übertragungsfkt.)

ideal: inkompressibel (keine kapazitiven Eigenschaften), massebehaftet (induktive Eigenschaften, d.h. Fluidträgheit speichert kinetische Energie), reibungsfrei (keine dissipativen Eigenschaften)

real: kompressibel (kapazitive Eigenschaften, d.h. Speicherung von Kompressionsenergie), massabehaftet (induktive Eigenschaften, d.h. Fluidträgheit speichert kinetische Energie), reibungsbehaftet (dissipative Eigenschaften, d.h. innere Reibung und Wandreibung -> Wärme im Flüssigkeitsstrom und an der Wand -> Energieverlust)

• direkte numerische Simulation
• Large Eddy Simulation
• Reynolds Average Navier Stokes Equations

• Adams-Bashfoorth-Methode 4 Schritt (explizit)
• Adams-Moulton-Methode 4 Schritt (implizit)
• BDF (Backward Differentiation Formulas) = DASSL (Differential Algebraic System Solver) (implizit)
• MEBDF (Modified Enhanced BDF) implizit

• geringere Rechenzeit
• Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zum Rand = Null
• Normalspannungen = Null

Anwendungsfall: laminare Rohrströmung: 3D \(\rightarrow \) 2D

- komplexe Antwort eines Systems auf Anregung mit einem sinusförmigen Eingangssignal
 

• thermisch: Druck p [bar], Volumen V [m³], Temperatur T [K]
• kalorisch: innere Energie U [J], Enthalpie H [J], Entropie S [J]
• Prozessgrößen: Wärme Q [J], mechanische Arbeit W [J]

siehe Bild

- unabhängig von Realität wird laminarer Ansatz gebildet

- Turbulezen werden nicht abgebildet \(\rightarrow\) Fehler

siehe Bild

• turbulente Spannungen sind analog zu viskosen Spannungen proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten
• Gesamtspannung als Summe der viskosen und turbulenten Spannungen darstellbar

Vertreter: Standard k-\(\epsilon\)-Modell, k-\(\omega\)-Modell, SST-Modell

• hohe Kompressibilität (\(\rightarrow \) große Energiespeicherfähigkeit, hohe Elastizität, lastabhängige Geschwindigkeit, stoßarme Umsteuerbewegungen)
• niedrige Viskosität (\(\rightarrow \) geringere Strömungsverluste \(\rightarrow \) lange Rohrleitungen ohne hohe Energieverluste, kleine Dämpfungskräfte \(\rightarrow \) schwingungsanfällig)

• abgegrenzter Teil aus einzelnen Komponenten zusammengesetzt, die durch Marterie-, Energie- und Informationsfluss verknüpft (wechsel- und einseitig) sind
• Gesamtheit aller Verküpfungen heißt Struktur des Systems
• Eingangsgrößen sind Führungs-, Störgrößen etc.
• Komponenten können ihrerseits ebenfalls Subsysteme sein
• Abgrenzung muss abhängig von konkreter Aufgabenstellung sinvoll gewählt werden
• Wirklininien über Grenzen hinaus sind Eingangs- bzw. Ausgangsgrößen
• Ausgangsgrößen charakterisieren dsa Systemverhalten; Eingangsgrößen nehmen Einfluss auf Komponenten
• Systemparameter bestimmen Systemverhalten und beschreiben System zusammen mit Struktur eindeutig

- ermöglicht den Entwurf einer allgemeinen numerischen Methode zur Lösung unterschiedlichster Strömungsaufgaben

• Verhältnis der Geschwindigkeit v (bspw. eines Körpers oder eines Fluids) zur Schallgeschwindigkeit c des umgebenden Fluids
• \(Ma = {w \over a} = {v \over c} < 0,3 \rightarrow\)Gasströmungen können als inkompressibel angesehen werden
• \(Ma= {w \over a} ={v \over c} > 0,3 \rightarrow\)Gasströmungen müssen als kompressibel angesehen werden

Experimentelle Systemanalyse:

• am realen System
• Anregung mit Eingangsgrößenverläufen (Testsignale) und Ermittlung der Verläufe der Ausgangsgrößen
• Vorteil: zuverlässige Daten
• Nachteile: langwierig; kostenintesiv; Verfälschung der Ergebnisse durch Messung selbst; risikobehaftet; undurchführbar, wenn reales System noch nicht vorhanden

Systemanalyse auf Basis von  Simulationen

• am Modell
• Vorteile: Zeit-; Kostenersparnis; Reproduzierbarkeit; Risikofreiheit; Änderung von Systemparametern
• Nachteile: Aufwand für Modellbildung, Implementierung und Verifikation; Modellfehler; numerische Fehler; blindes Vertraun in Simulationsergebnisse